2021年中考数学几何教学重难点专题：圆之切线长定理考察

2021年中考数学几何教学重难点专题：
圆之切线长定理
一．选择题
1．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA ＝7.5cm，则△PMN的周长是（）
A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm
3．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）
A．6B．3C．6 D．3
5．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）
A．9 B．7 C．11 D．8
6．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）
A．B．C．D．
7．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
二．填空题
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，已知∠P＝60°，OA＝2，那么∠AOB所对弧的长度为．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝．
10．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE＝．
11．如图，AB、AC是⊙O的切线，且∠A＝54°，则∠BDC＝．
12．如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．则⊙O 的半径．
13．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为．
14．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，PA＝6，在劣弧AB上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长是．
三．解答题
15．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
16．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F 点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
17．（1）如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E，F，交四边形的对角线AC于点G，H．求证：AH＝CG．
（2）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°．求∠P的度数．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O 的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE＝CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．
19．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．
（1）求△PDE的周长；
（2）若DE＝cm，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
2．解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA＝MC，NC＝NB，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．故选：D．
3．解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
4．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
5．解：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
6．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
7．解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB＝PA＝10cm，
∵EA与EC为⊙的切线，
∴EA＝EC，
同理得到FC＝FB，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB
＝10+10
＝20（cm）．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
8．解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°
∵OA＝2，
∴＝＝．
故答案为：
9．解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD＝CE，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2．
故答案为：2．
10．解：设正方形ABCD的边长为4a，EC＝x，∵AF为半圆O的切线，
∴AF＝AB＝4a，EC＝EF＝x，
在Rt△ADE中，DE＝4a﹣x，AE＝4a+x，
∴AE2＝AD2+DE2，即（4a+x）2＝（4a）2+（4a﹣x）2，解得x＝a，
∴AE＝5a，DE＝3a，
在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝．
故答案为．
11．解：连接OB、OC，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝126°，
∴∠BDC＝∠BOC＝63°．
故答案为：63°．
12．解：连接OP，OB，
∵AP为⊙O切线，PB为⊙O切线，
∴PA＝PB，
∵∠APO＝∠BPO，
PG＝PG，
∴△APG≌△BPG，
∴∠PGA＝90°，
∵△APO为直角三角形，
∠APG＝∠APG，
∴△PGA∽△PAO，
根据垂径定理，得到AG＝GB，
在Rt△PAG中，PG＝＝4，∵△PGA∽△AGO，
∴＝，
∴＝，
∴AO＝．
故答案为：．
13．解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAC＝35°，
∴∠AOB＝110°，
∵PA，PB分别是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P+∠AOB+∠PAO+∠PBO＝360°，∴∠P＝70°．
故答案为：70°．
14．解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB，
同理，DA＝DC，EB＝EC．
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝2×6＝12．故答案是：12．
三．解答题（共5小题）
15．解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，
∴DE＝DA+EB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，
∵∠APB＝52°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，
∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．
16．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2 ，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
＝×1×＝．
∴S
△CDF
17．（1）证明：∵ABCD为平行四边形，BE、DF分别为角平分线，∴AD＝CB，∠DAH＝∠BCG，∠CBG＝∠ADH．
∴△ADH≌△CBG．（ASA）
∴AH＝CG．（全等三角形的对应边相等）．
（2）解：连接OB．
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB＝70°
∴∠AOB＝140°
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∴∠P＝360°﹣∠AOB﹣∠PAO﹣∠PBO＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°．
18．（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE＝CE，∠EDC＝∠ECD；
又∠B+∠ECD＝90°，∠BDE+∠EDC＝90°；
所以∠B＝∠BDE，所以BE＝DE，从而BE＝CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE＝EC＝OC＝OD＝r；
从而BE＝r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC＝AB＝2r，S
＝2r2；
△ABC
（3）解：若EC＝4，BD＝4，则BC＝8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD＝＝；所以∠CBD＝30°；
在Rt△ABC中，＝tan30°，即AC＝BC tan30°＝8×＝，OC＝＝；
另解：设OC＝r，AD＝x；由EC＝4，BD＝4得BC＝8，DC＝4；
则：，解得；即OC＝．
19．解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，
∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝PE+CE+CD+PD
＝PE+BE+AD+PD
＝PA+PB
＝3cm+3cm
＝6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，
∵PA、PB、OC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，
∴∠OBP＝∠OPA＝90°，
∵∠APB ＝60°， ∴∠BOA ＝120°， ∵BE ＝CE ，DC ＝DA ， ∴S △OCE ＝S △OBE ，S △OCD ＝S △ODA ， ∴S 五边AOBED ＝2S △ODE ＝2×××＝4， ∴图中阴影部分的面积＝S 五边AOBED ﹣S 扇形AOB ＝4﹣＝（4﹣π）cm 2．。