黑龙江省虎林市高级中学2017届高三4月模拟数学理试题
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2017届黑龙江省虎林市高三四月份模拟考试试题
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U N *
=,集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==,则图中的阴影部分表示的集合为
A. {}2
B. {}2,4,6
C.{}4,6
D. {}1,3,5 2.已知复数1z i =-(i 为虚数单位),则
2
2z z
-的共轭复数的虚部是( ) A .13i - B .13i + C .13i -+ D .13i --
3.若cos 23
πα⎛⎫
-=
⎪⎝⎭,则()cos 2πα-= A.
59 B. 59- C. 29 D.29
- 4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长五尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的,a b 分别为5、2,则输出的n =( )
A . 2
B . 3 C. 4 D .5
5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12(2)n n S a n =+≥,且12a =,则20S =( ) A .1921- B .2122- C. 1921+ D .21
22+
6.已知圆C :2
2
4x y +=,点P 为直线290x y +-=上一动点,过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ,,A B 为切点,则直线AB 经过定点( ) A .48(,)99 B .24(,)99
C. (2,0) D .(9,0) 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A
.
.
C.
.8. 212
()log (21)f x ax x =+-
,()g x =,若不论2
x 取何值,对12()()f x g x >任意173
[,]102
x ∈总是恒成立,则a 的取值范围是( )
A .7(,)10-∞-
B .4(,)5-∞- C. 63(,)80-+∞ D .404
(,)495
--
9.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边33B C 上有10个不同的点
1210,,P P P ,记2(1,2,,10)i i m AB AP i =∙=,则1210m m m +++的值为( )
A
. B .
45 C. D .180
10.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数,且对任意的,x y R ∈都有
()()()f x y f x f y +=+,若动点(,)P x y 满足等式22(22)(83)0f x x f y y +++++=,
则x y +的最大值为( )
A .
5 B .
-5 C. 5 D .5
11.数列{}n a 满足143a =
,*1(1)()n n n a a a n N +=-∈,且12
111
n n
S a a a =+++
,则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )
A .{0,1,2}
B .{0,1,2,3} C. {1,2} D .{0,2}
12.已知函数()()
221x
f x x x e =
--,则方程()()()2
0ef x tf x t R +-=∈⎡⎤⎣⎦的根的个
数为
A. 5
B. 4
C. 3
D.2
第Ⅱ卷
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.某校今年计划招聘女教师x 人,男教师y 人,若,x y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
,则该学校今年计
划招聘教师最多 人. 14.已知函数2()2sin(
)12
f x x x x π
=-+的两个零点分别为,
()m n m n <,则
=⎰
.
15.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上,5AB AC ==,8BC =,AD ⊥底面ABC ,G 为ABC ∆的重心,且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为1
2
,则球O 的表面积为 .
16.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且,a b a c >
>,ABC ∆的外接圆半径为1,a =BC 上一点D 满足2BD DC =,且90BAD ∠=,则ABC ∆的面积为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()
21.n n a S n N *
=+∈,
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若()21n n b n a =-⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .
18. 如图,已知四棱锥S ABCD -中,SA ⊥平面ABCD ,90ABC BCD ∠=∠=,且
2SA AB BC CD ===,E 是边SB 的中点.
(1)求证://CE 平面SAD ;
(2)求二面角D EC B --的余弦值大小.
19. 某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中,现有甲、乙两个建设项目供选择,若投资甲项目一年后可获得的利润为1ξ(万元)的概率分布列如表所示:
且1ξ的期望1()120E ξ=;若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ(万元)与该项目建设材料的成本有关,在生产的过程中,公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整,两次调整相互独立,且调整的概率分别为(01)p p <<和1p -,乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与2ξ的关系如表所示:
(1)求,m n 的值; (2)求2ξ的分布列;
(3)根据投资回报率的大小请你为公司决策:当p 在什么范围时选择投资乙项目,并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少?(投资回报率=年均利润/投资总额×100%)
20. 如图,曲线Γ由曲线22
122:1(0,0)x y C a b y a b
+=>>≤和曲线
22
222:1(0,0,0)x y C a b y a b
-=>>>组成,其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,点
34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.
(1)若23(2,0),(6,0)F F -,求曲线Γ的方程;
(2)如图,作直线l 平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点,A B ,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;
(3)对于(1)中的曲线Γ,若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ,求1CDF ∆的面积的最大值.
21. 已知函数()2
2cos f x x ax b x =++在点,22f π
π⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程为3.4y π= (1)求,a b 的值,并讨论()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的增减性; (2)若()()12f x f x =,且120x x π<<<,求证:1202x x f +⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
.
参考公式cos cos 2sin
sin
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+--=-
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩(ϕ为参数),曲线2C 的参数
方程为cos sin x a y b ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
(0,a b ϕ>>为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标
系中,射线:l θα=与12,C C 各有一个交点,当0α=时,这两个交点间的距离为2,当2
π
α=时,这两个交点重合.
(1)分别说明12,C C 是什么曲线,并求a 与b 的值; (2)设当4
π
α=
时,l 与12,C C 的交点分别为11,A B ,当4
π
α=-
时,l 与12,C C 的交点分
别为22,A B ,求直线1212,A A B B 的极坐标方程. 23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()()22.f x x x m m R =+--+∈ (1)若1m =,求不等式()0f x ≥的解集;
(2)若方程()f x x =有三个实数根,求实数m 的取值范围
2017届黑龙江省虎林市高三四月份模拟考试试题
理科数学答案
1-12 CABCC AADDA BC 13. 10 14. 2
π
15.
6349
π
16.
17. 解:
18.
(1)证明:取SA 中点F ,连接EF , FD ,
∵E 是边SB 的中点,∴//EF AB ,且1
2
EF AB =
, 又∵90ABC BCD ∠=∠=,∴//AB CD ,又∵2AB CD =,即1
2
CD AB =
∴//EF CD ,且EF CD =,
∴四边形EFDC 为平行四边形,∴//FD EC ,又FD ⊆面SAD ,CE ⊄面SAD ,∴CE ∥面SAD .
(2)解:在底面内过点A 作直线//AM BC ,则AB AM ⊥,又SA ⊥平面ABCD , 以,,AB AM AS 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图.
设2AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(1,0,1)A B C D E , 则(0,2,0),(1,0,1)BC BE ==-,(1,0,0),(1,2,1)CD CE =-=--,
设面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =,则0
n BC n BE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩,即200y x z =⎧⎨-+=⎩
令1x =,则1z =,∴(1,0,1)n =.
同理可求面DEC 的一个法向量为(0,1,2)m =,10
cos ,||||
n m n m n m ∙<>=
=, 由图可知,二面角D EC B --是钝二面角, 所以其平面角的余弦值为. 19.
解:(1)由题意得:0.41
1101200.4170120
m n m n ++=⎧⎨
+⨯+=⎩,
得:0.5,0.1m n ==.
(2)2ξ的可能取值为41.2,117.6,204.0,
2(41.2)(1)[1(1)](1)P p p p p ξ==---=-
222(117.6)[1(1)](1)(1)(1)P p p p p p p ξ==--+--=+-
2(204.0)(1)P p p ξ==-
所以2ξ的分布列为
(3)由(2)可得:
222()41.2(1)117.6[(1)]204.0(1)E p p p p p p ξ=⨯-+⨯+-+⨯-
21010117.6p p =-++
根据投资回报率的计算办法,如果选择投资乙项目,只需12()()E E ξξ<,即
21201010117.6p p <-++,得0.40.6p <<.
因为22()1010117.6E p p ξ=-++,所以当1
2
P =时,2()E ξ取到最大值为120.1,所以预测投资回报率的最大值为12.01%.
20.(Ⅰ)222222
3620
416
a b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩, 则曲线Γ的方程为221(0)2016x y y +=≤和22
1(0)2016
x y y -=>
(Ⅱ)曲线2C 的渐近线为b y x a =±
,如图,设直线:()b
l y x m a
=- 则22
22
()1b y x m a x y a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+
=⎪⎩2
2222()0x mx m a ⇒-+-=
22222(2)42()4(2)0m m a a m m ∆=-∙∙-=->⇒<<
又由数形结合知m a ≥,∴a m ≤<
设点112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ,则1222122x x m
m a x x +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩,
∴12022x x m x +=
=,00()2b b m
y x m a a =-=-∙ ∴00b y x a =-,即点M 在直线b
y x a
=-上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲线22
1:
1(0)2016
x y C y +=≤,点4(6,0)F 设直线1l 的方程为6(0)x ny n =+>
22
221(45)4864020166x y n y ny x ny ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
222(48)464(45)01n n n ∆=-∙∙+>⇒>
设3344(,),(,)C x y D x y ,由韦达定理:342342484564
45n y y n y y n -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∴34||y y -==
11414
143411||||||822CDF CF F DF F S S S F F y y ∆∆∆=-=∙-=∙∙=
令0t =>,∴221n t =+,
∴121
9494CDF t
S t t t ∆==++ ∵0t >,∴9412t t +≥,当且仅当32
t =
,即n =时等号成立
n =
时,∴1max 112CDF S ∆==
21.
22.(本题满分10分)【选修4—4 坐标系统与参数方程】 (Ⅰ) 1C 是圆,2C 是椭圆
当0α=时,射线l 与1C ,2C 交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a , 因为这两点间的距离为2,所以3a =; 当2π
α=时,射线l 与1C ,2C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b , 因为这两点重合,所以1b =.
(Ⅱ) 1C ,2C 的普通方程分别为22
1x y +=和2
219x y +=
当4π
α=时,射线l 与1C 的交点1A 的横坐标为x =,与2C 的交点1B 的横坐标为
'x = 当4π
α=-时,射线l 与1C ,2C 的交点2A ,分别与1A ,1B 关于x 轴对称 因此直线12A A 、12B B 垂直于极轴,故直线12A A 和12B B 的极坐标方程分别为
sin ρθ=,sin ρθ= 23. 23.。