2021年广东中考一模考试《数学卷》含答案解析

广东中考数学模拟测试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
1.﹣34的绝对值是（ ） A. ﹣34 B. 34 C. ﹣43 D. 43
2.如果分式11
x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 1x ≠-
B. 1x >-
C. 全体实数
D. 1x =- 3.2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo 使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo 轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（ ）公里．
A. 50.6510⨯
B. 36510⨯
C. 46.510⨯
D. 56.510⨯ 4.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
5.下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 835a b ab -=
B. 352()a a =
C. 842a a a ÷=
D. 23a a a ⋅= 6.如图，已知AB ∥CD ，AF 交CD 于点E ，且BE ⊥AF ，∠BED ＝40°，则∠A 的度数是（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 90°
7.这组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是（ ） A. 20，23 B. 21，23
C. 21，22
D. 22，23
8.若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ）
A. 0k ≥
B. 0k ≥且2k ≠
C. 32k ≥
D. 32
k ≥且2k ≠ 9.如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2m y x
=（m 为常数且0m ≠）的图象都经过()()1,2,2,1A B --，结合图象，则不等式m kx b x +>的解集是（ ）
A. 1x <-
B. 10x -<<
C. 1x <-或02x <<
D. 10x -<<或2x >
10.如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为S ．则S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分.)
11.因式分解：2a 2﹣8= ．
12.如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是_____．
13.273＝_____．
14.计算：
1
11
x
x x
+=
--
_____
．
15.已知圆
的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．16.已知有理数a≠1，我们把11a-称为a的差倒数，如：2的差倒数是112-＝﹣1，﹣1的差倒数是()
11
112
=
--．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么
a1+a2+…+a100的值是___________．
17.如图，点A 的坐标是（﹣2，0），点B 的坐标是（0，6），C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y =
k
x
的图象恰好经过A′B 的中点D，则k_________．
三、解答题
18.
3
1
32tan60(2019)
2
-
⎛⎫
+-+︒--
⎪
⎝⎭
19.先化简，再求值：
22
121
1
y
x y x y y x
⎛⎫
-÷
⎪
-+-
⎝⎭
，其中x＝y+2020．
20.如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若4
BC=，30
BAC
∠=︒，求BE的长．
21.为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了名学生，两幅统计图中的m＝，n＝．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人?
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
22.为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积．
24.如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE 于点E．
（1）证明：直线PD是⊙O切线；
（2）如果∠BED=60°，3PA长；
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
25.如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；
（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.
答案与解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
1.﹣34
的绝对值是（ ） A. ﹣34 B. 34 C. ﹣43 D. 43
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义直接计算即可解答． 【详解】解：﹣
34的绝对值是34， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查绝对值的定义．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.如果分式11
x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 1x ≠-
B. 1x >-
C. 全体实数
D. 1x =- 【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：10x +≠，
1x ≠-，
故选A ．
【点睛】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo 使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo 轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（ ）公里．
A. 50.6510⨯
B. 36510⨯
C. 46.510⨯
D. 56.510⨯
【答案】C
科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．
【详解】解：科学记数法表示65000公里为46.510⨯公里．
故选C ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选D ．
【点睛】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
5.下列各式中，计算正确的是（ ）
A 835a b ab -= B. 352()a a = C. 842a a a ÷= D. 23a a a ⋅=
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
【详解】解：A 、8a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；
B 、()326a a =，故选项B 不合题意；
C 、844a a a ÷=，故选项C 不符合题意；
D 、23a a a ⋅=，故选项D 符合题意．
故选D ．
【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6.如图，已知AB ∥CD ，AF 交CD 于点E ，且BE ⊥AF ，∠BED ＝40°，则∠A 的度数是（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】 直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】解：∵BE ⊥AF ，∠BED ＝40°，
∴∠FED ＝50°，
∵AB ∥CD ，
∴∠A ＝∠FED ＝50°．
故选：B ．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED 的度数是解题关键
7.这组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是（ ）
A. 20，23
B. 21，23
C. 21，22
D. 22，23
【答案】D
【解析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】先把数据按从小到大排列顺序20，21，22，23，23，则中间的那一个就是中位数.
众数是出现次数最多的那个数就是众数，即是23.
故选D
【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8.若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ）
A. 0k ≥
B. 0k ≥且2k ≠
C. 32k ≥
D. 32
k ≥且2k ≠ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，
∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根， ∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩
， 解得：32k ≥
且k≠2． 故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
9.如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2m y x
=（m 为常数且0m ≠）的图象都经过()()1,2,2,1A B --，结合图象，则不等式m kx b x
+>的解集是（ ）
A. 1x <-
B. 10x -<<
C. 1x <-或02x <<
D. 10x -<<或2x >
【答案】C
【解析】
【分析】 根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围便是不等式m kx b x
+>的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数()10y kx b k =+≠的图象在反比例函数2m y x
=（m 为常数且0m ≠）的图象上方时，x 的取值范围是：1x <-或02x <<， ∴不等式m kx b x
+>
的解集是1x <-或02x <<. 故选C ．
【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
10.如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为S ．则S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件得到ABC ∆是等腰直角三角形，推出四边形EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，当移动的距离a <时，如图1，S =正方形的面积-△EE H '的面积；当移动的距离a >时，如图2，AC H S S '=，
根据函数关系式即可得到结论；
【详解】解：在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =， ABC ∆∴是等腰直角三角形，
EF BC ⊥，ED AC ⊥，
∴四边形EFCD 是矩形， E 是AB 的中点， 12EF AC ∴=，12DE BC =， EF ED ∴=，
∴四边形EFCD 是正方形，
设正方形的边长为a ，
如图1当移动的距离a <时，S =正方形的面积-△EE H '的面积2212
a t =-；
当移动的距离a >时，如图2，22211(2)2222
AC H S S a t t at a '==-=-+，
S ∴关于t 的函数图象大致为C 选项，
故选C ．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分.)
11.因式分解：2a2﹣8= ．
【答案】2（a+2）（a-2）.
【解析】
【详解】2a2-8=2（a2-4）=2（a+2）（a-2）.
故答案2（a+2）（a-2）
【点睛】考点：因式分解.
12.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
连接BD交AC于点O，利用正方形的性质及AE=CF证明得出四边形BEDF为菱形，再根据勾股定理求出DE即可得到答案.
【详解】如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝84
2
-
＝2，
由勾股定理得：DE22
OD OE
+＝5
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×55故答案为：5
【点睛】此题考查正方形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，判定四边形BEDF 是菱形是解题的关键. 13.273＝_____． 【答案】3【解析】
【详解】解：原式=33323=． 故答案为3
14.计算：111x x x
+=--_____． 【答案】1
【解析】
【分析】
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式111
x x x =--- 11
x x -=- 1=．
故答案为1．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____． 【答案】3
【解析】
分析】
易得正三角形的中心角为120︒，那么中心角的一半为60︒，利用60︒的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．
【详解】解：如图，圆半径为6，求AB 长．
3603120AOB ∠=︒÷=︒
连接,OA OB ，作OC AB ⊥于点C ，
∵OA OB =，
∴2,60AB AC AOC =∠=︒， ∴3sin60633AC OA =⨯︒==， ∴263AB AC == 故答案为3 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC 的值是解决本题的关键．
16.已知有理数a ≠1，我们把11a
-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112-＝﹣1，﹣1的差倒数是()11112
=--．如果a 1＝﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是___________． 【答案】152-
【解析】
【分析】
根据题意，先求出这列数的前几项，从而得出这个数列以-2，
13，32依次循环，且-2+13+32=-16
，再求出这100个数中有多少个循环组，从而得出答案．
【详解】解：∵a 1=-2， 2111(2)3
a ∴==--， 31
31
213a ==-，
4
1
2
3
1
2
a==-
-，
……
∴这个数列以-2，
1
3
，
3
2
依次循环，且-2+
1
3
+
3
2
=-
1
6
，
∵100÷3=33…1，
∴a1+a2+…+a100=33×（-
1
6
）-2=-
15
2
．
故答案为：-
15
2
．
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
17.如图，点A 的坐标是（﹣2，0），点B 的坐标是（0，6），C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y =
k
x
的图象恰好经过A′B 的中点D，则k_________．
【答案】15
【解析】
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO＋∠A′BH＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB ≌△BHA ′（AAS ），
∴OA ＝BH ，OB ＝A ′H ，
∵点A 的坐标是（−2，0），点B 的坐标是（0，6），
∴OA ＝2，OB ＝6，
∴BH ＝OA ＝2，A ′H ＝OB ＝6，
∴OH ＝4，
∴A ′（6，4），
∵BD ＝A ′D ，
∴D （3，5），
∵反比例函数y ＝
k x
的图象经过点D ， ∴k ＝15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化−旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题
18.3
012tan 60(2019)2-⎛⎫+︒-- ⎪⎝⎭
【答案】9
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：原式821=+ 9=．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19.先化简，再求值：
221211y x y x y y x
⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x ＝y+2020． 【答案】x ﹣y ，2020
【解析】
【分析】
先利用分式混合运算的运算法则进行化简，再将x ＝y+2020代入即可得出结果．
【详解】解：原式=12()()()y x y y x y x x y x y
-+⋅⋅+--+ ＝﹣（2y ﹣x ﹣y ）
＝x ﹣y ，
∵x ＝y+2020，
∴原式＝y+2020﹣y ＝2020．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握基本运算法则是解题的关键．
20.如图，四边形ABCD 是矩形．
（1）用尺规作线段AC 的垂直平分线，交AB 于点E ，交CD 于点F （不写作法，保留作图痕迹）； （2）若4BC =，30BAC ∠=︒，求BE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）433
BE =
. 【解析】
【分析】
(1)根据线段的垂直平分线的作图解答即可；
(2)利用解直角三角形的知识进行解答即可．
【详解】(1)如图所示：
(2)∵四边形ABCD 是矩形，EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AE EC =，30CAB ACE ∠=∠=︒，
∴60ECB ∠=︒，
∴30CEB ∠=︒，
∵4BC =，
∴343tan 433
BE BC CEB =∠=⨯=. 【点睛】本题考查了基本作图，矩形的性质，解直角三角形等，关键是根据线段的垂直平分线的作图和性质解答．
21.为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m ＝ ，n ＝ ．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A ”类图书的学生约有多少人?
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【答案】（1）200 ， 8415m n ==，；（2）1224人；（3）见解析，
23
. 【解析】
【分析】 （1）用喜欢阅读“A ”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B ”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m 的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n 的值； （2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A ”类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）6834%200÷＝，
所以本次调查共抽取了200名学生，
20042%84m ⨯＝＝，
30%100%15%200
n =⨯=，即15n ＝； （2）360034%1224⨯＝，
所以估计该校喜欢阅读“A ”类图书的学生约有1224人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4， 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率4263
==． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
22.为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元．
（1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元?
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；（2）当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱，见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A 型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元，
35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，57
x y =⎧⎨=⎩， 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯200a （﹣）
只，费用为w 元， 5720021400w a a a +-+＝（）＝-，
3200a a ≤-（），
150a ∴≤，
∴当150a ＝时，w 取得最小值，此时110020050w a ＝，﹣＝
答：当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
23.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE=DF ，
（1）求证：AE=CF ；
（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD 的面积．
【答案】(1)见解析3【解析】
分析：（1）由矩形的性质得出OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，∠ABC=90°，证出OE=OF ，由SAS 证明△AOE ≌△COF ，即可得出AE=CF ；
（2）证出△AOB 是等边三角形，得出OA=AB=3，AC=2OA=6，在Rt △ABC 中，由勾股定理求出22=33AC AB -ABCD 的面积．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，∠ABC=90°
， ∵BE=DF ，
∴OE=OF ，
在△AOE 和△COF 中，
OA OC AOE COF OE OF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△AOE ≌△COF ，
∴AE=CF ；
（2）∵OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，
∴OA=OB ，
∵∠AOB=∠COD=60°
， ∴△AOB 是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴AC=2OA=6，
在Rt△ABC中，BC=22=33
，
AC AB
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3×33=93．
点睛：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
24.如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE 于点E．
（1）证明：直线PD是⊙O的切线；
（2）如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，再利用角度的相互转换求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）求出∠P=30°，解直角三角形求出OD，结合勾股定理可得出PO，最后根据PA=PO-AO可得出结果；（3）根据折叠和已知求出∠P=∠PBF，根据平行线的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED=EB，根据菱形的判定推出即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线．
（2）解：∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，3
∴tan30OD PD
︒=，解得OD=1，
∴222
PO PD OD
=+=，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1．
（3）证明：如图2中，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠AFD=∠PBD，
∴∠ADF=∠AFD=∠APD=∠ABF，
∴AD=AF，BF∥PD，即BF∥DE．
又∠DAB+∠DBA=90°，∴∠DAB+∠ADF=90°，
∴DF⊥PB．
∵BE为切线，
∴BE⊥PB，
∴DF∥BE，
∴四边形DFBE为平行四边形，
∵PE 、BE 为切线，
∴BE=DE ，
∴四边形DFBE 为菱形．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理的推论，菱形的判定，平行线的判定，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识，本题是一道综合性的题目，难度较大．
25.如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；
（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.
【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 10131；（3）12(4,5),(8,45)P P --
【解析】
【分析】
（1）OB=OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，即可求解；
（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解； （3）S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12
AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），
则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；
对称轴为：直线1
x
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+A′D+DC′=10+1+A′C′=10+1+13；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=1
2
EB×（y C-y P）：
1
2
AE×（y C-y P）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=5
2
或
3
2
，
即：点E的坐标为（3
2
，0）或（
1
2
，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），
通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．。