麦克斯韦-玻耳兹曼分布

(
gNj j
)
j N j!
ln = lnN! j N jlng j j lnN j!
斯特林近似式 N 1时 ，ln N ! N ln N N
N!
2
N
N
N
exp(
N
)
1
1 12 N
1 288N 2
ln NlnN N j N jlng j j ( N jlnN j N j )
12-5 麦克斯韦玻耳兹曼分布
1.独立子系统的三种最概然分布
麦克斯韦-玻耳兹曼分布（MB分布） 适用于由经典粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互可以区别。
玻色-爱因斯坦分布（BE分布） 适用于波函数为对称的粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互不可区别，多个粒子可以具有相同量子态。
费米-狄拉克分布（FD分布） 适用于波函数为反对称的粒子组成的独立子系统。
gj Nj
N
j
N j Nj
ln
j
gj Nj
N
j
0
N
jNj
N
N
j
j
0
E
j jN j E
j
jN
j
0
拉格朗日未定乘数法
ln j
gj Nj
N
j
0
N
N
j
j
0
E
j
jN
j
0
j ln
gj Nj
j
N j
0
ln
g0 N0
0
N0
ln
g1 N1
1
N1
ln
ii
0, 1, 2,
Ng je j /(kT ) q
N e
( v 0 ) kT
N0
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
子数之比为0.01，则处于振动第一激发能级的分子
数与基态分子数之比是多少？
解：
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
独立的离域子系统
N !
(
gNj j
)
j Nj!
温度不太低，密度不太高， 子的质量不太小 (gj>>Nj)
x
x( N ,E ,V )
N
!
x
(
N
,
E
,V
)
j
gNj j
N j ! x
gNj j
j N j!
x
x ( N ,E ,V )
x( N ,E ,V )
j
gNj j
N j ! x
e
xp
i
kT
j
6 1
e
xp
h2(14 3)
8m a2kT
6exp 0.1kT 11 1.99 kT
例1 设HCl分子可看作线型刚性转子，计算它在 300K时分子按转动能级的分布
解：
r J (J 1)h2 /(82 I )
J 0, 1, 2,
gr 2J 1
N j
粒子可分辨时，微观状态数为 N !
Nj!
j
粒子可分辨时，在一量子态中有哪些粒子会对状态波函数
产生影响，粒子不可分辨时，由于波函数的对称性，不产
生影响，所以对于上述给定的量子态分布，不可辨粒子系
统的微观状态数为
1
了解一下，不作要求！
按能级分布
能
级 0 1 2 ··· j ···
能级简并度 g0 g1 g2 ··· g j ···
下关系： h2 8ma 2
0.1kT
，试计算平动量子数分别为1，
2， 3的能级与平动量子数分别为1，1，1的能级的粒子
分布数比值。
解：
1,2,3
h2 8ma
2
12 22 32
14h2 8ma 2
1,1,1
h2 8ma
2
12 12 12
3h2 8ma 2
Ni Nj
gi gj
g2 N2
2
N2
ln
g3 N3
3
N3
L
ln
gj Nj
j N j L
0
拉格朗日未定乘数法
j ln
gj Nj
j
N j
0
ln
gj Nj
j
0
N
N
j
j
0
E
j
jN
j
0
j 0, 1, 2, 3,
N j, ,
求取未定乘数 和
ln
gj Nj
j
0
N j g jee j
N
q
q i giei
子配分函数
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
条件 平衡，可分辨的独立子 能量形式不限
Nj/N
粒子处于j 能级的概率
g j 越大， N j / N 越大
j 越大， N j / N 越小
q
g ei /(kT )
ii
q
eh /(kT )
h
例： 设一由极大数目三维平动子组成的系统，粒子运动
于一立方容器中，容器边长a、粒子质量m和温度T有如
下关系： h2 8ma 2
0.1kT
，试计算平动量子数分别为1，
2， 3的能级与平动量子数分别为1，1，1的能级的粒子
分布数比值。
解：
1,2,3
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
按能级分布与按量子态分布
Nl
el /(kT )
N
q
q
eh /(kT )
h
3.粒子全同性的修正
平动能不能为零，必须有外部限制作用，才能 使粒子定域，所以不可能有独立的定域子，但 特定条件下，定域子可以简化为独立子（12.9 节）。定域子可以通过其所处位置与其他定域 子区分，不需要全同性修正。
独立的离域子系统
N !
(
gNj j
)
j Nj!
x
x( N ,E ,V )
N
!
x(
N
,E
,V
)
j
gNj j
N j ! x
gNj j
j N j!
x
x ( N ,E ,V )
x( N ,E ,V )
j
gNj j
N j ! x
22 4
3
用N!修正粒子的全同性过头了
32 9
gi
)/
kT ] 1
了解一下，不作要求！
玻色-爱因斯坦凝聚 玻色-爱因斯坦分布
Ni
exp[( i
gi
)/
kT ] 1
N i 0 exp[( i ) / kT ] 1 i 0 0(基 态 )
温度下降，化学位上升，当化学位接近基态能级 时，N0 + ，系统中的粒子集中处于基态，这 也是一种相变，称为玻色-爱因斯坦凝聚，普通导 体到超导的转变、普通流体到超流的转变都可以 认为是系统发生了BE凝聚。
h2 8ma
2
12 22 32
14h2 8ma 2
1,1,1
h2 8ma
2
12 12 12
3h2 8ma 2
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) q
例： 设一由极大数目三维平动子组成的系统，粒子运动
于一立方容器中，容器边长a、粒子质量m和温度T有如
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
上述系统中 玻耳兹曼分布 = 最概然分布 = 平衡分布
g e j /kT j
玻耳兹曼因子
与平衡时系统中能量为
的分子数成正比
j
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
独立的离域子系统
Nj
wenku.baidu.com
g e j /(kT ) j
N
q
Nl
el /(kT )
N
q
温度不太低，密度不太高，
子的质量不太小 (gj >>Nj )
gNj j
j N j!
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) q
J 0 N0 N /
g er /(kT ) r
J J NJ N(2J 1)er /(kT )
g er /(kT ) r
NJ N0
r
(2J 1)e kT
(2J
1)exp
J (J 1)h2 82 IkT
ii
Ng je j /(kT ) q
N
( v 0 )
e kT
h
e kT
N0
N2
2h
e kT
0.01
N0
N1
h
e kT
0.1
N0
了解一下，不作要求！
4.玻色-爱因斯坦分布和费米-狄拉克分布
按量子态分布
子量子态
0 1 2 … j …
能量
0 1 2 ··· j ···
某一时刻
N 0 N1 N 2 ··· N j ···
同种粒子间相互不可区别，粒子的量子态互不相同。
1.独立子系统的三种最概然分布
麦克斯韦-玻耳兹曼分布（MB分布）
适用于由可分辨粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互可以区别，经典粒子都是可分辨的。
修正：利用量子统计 ➢量子统计指建立在量子力学原理上的统计力学 方法，它区别于经典统计的关键在于量子力学的 基本假定之一：全同性原理。 ➢如果体系实际上由全同粒子构成，相互之间不 可分辨，就要对经典统计作出修正。真实世界是 量子的，所以真实气体中的同种分子都是不可分 辨的，全同性修正是必不可少的。
ω
分布
N j
0 N j
N j j , g j
2.麦克斯韦-玻耳兹曼分布
求最概然分布
能
级 0 1 2 ··· j ···
能级简并度 g0 g1 g2 ··· g j ···
粒子分布数 N0 N1 N2 ··· N j ···
N!
(
gNj j
)
j N j!
求最概然分布
N!
例1 设HCl分子可看作线型刚性转子，计算它在 300K时分子按转动能级的分布
J N j / N0
0
1
1 2.71
3 3.80
6 1.54
例2 设I2可看作单维谐振子，计算I2蒸气分子在 300K时按振动能级的分布
解： v ( 1 / 2)h
gv 1
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
N
j N j e
j g je j
e N
j g je j
E
j N j j N
j g j je j
j g je j
玻耳兹曼常数
kR L
1 / (kT )
麦克斯韦–玻尔兹曼分布
e N
j g je j
N j gie e j
Ng je j i giei
Ng je j q
N j g je j
NlnN N j N j 1 lng j lnN j
ln NlnN N j N jlng j j ( N jlnN j N j )
NlnN N j N j 1 lng j lnN j
ln =
j
N
j
1
ln
gj Nj
N
jlnN
j
j
N
j
N jln
粒子分布数 N0 N1 N2 ··· N j ···
玻色-爱因斯坦统计 玻色-爱因斯坦分布 费米-狄拉克统计 费米-狄拉克分布
( N i gi 1)! i N i !( gi 1)!
Ni
exp[( i
gi
)/
kT ] 1
gi !
i N i !( gi N i )!
Ni
exp[( i
6
用N!修正粒子的全同性过头了
当体系中粒子的密度非常低，且温度足够高，以致 没有两个粒子处于一个量子态上的情况出现，用N! 修正粒子的全同性就恰好不多不少。
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q