麦克斯韦-玻耳兹曼分布
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
84麦克斯韦玻尔兹曼分布
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
m ——分子的质量 T ——热力学温度 k ——玻耳兹曼常量
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
麦克斯韦速 率分布曲线
f (v)
面积= dN/N
f (v)
N
0
dN N
0
f vdv
1
归一化条件
速率分布曲线
2、麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，
分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数
的比率为
3
dN v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2dv
N
2kT
麦克斯韦速率分布函数
圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能
通过S达到D
l v
v l
3、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
解：
f (v) d N
N dv
1. f (v)dv dN N
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
统计力学中的玻尔兹曼分布与麦克斯韦速度分布
统计力学中的玻尔兹曼分布与麦克斯韦速度分布统计力学是一门物理学的分支，它研究的是大量微观粒子所组成的系统在宏观上的行为。
而玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是统计力学中的两个重要概念。
首先，让我们来了解一下玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布是描述非简并理想气体平衡态的分布函数。
简单来说，它告诉我们在热力学平衡状态下，不同能级上粒子的数目与相应能级的能量成正比。
根据玻尔兹曼分布定律，粒子在不同能级上的分布可以通过玻尔兹曼因子来描述，玻尔兹曼因子等于自然对数的底e与能级对应的能量除以系统的热力学温度的乘积。
玻尔兹曼分布的重要性在于，它提供了理论上求解热力学平衡态下系统宏观性质的方法。
正是基于玻尔兹曼分布，我们可以计算出气体的压强、体积、温度等宏观物理量的统计平均值。
接下来，我们来探讨一下麦克斯韦速度分布。
麦克斯韦速度分布描述了气体分子在各个速度范围内的分布情况。
根据麦克斯韦速度分布定律，气体中分子的速度分布服从高斯分布，也就是正态分布。
在一维情况下，麦克斯韦速度分布可以用以下公式表示：f(v) = (m/2πkT)^(1/2) * exp(-mv^2/2kT)其中，f(v)表示速度为v的分子的分布函数，m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的热力学温度。
麦克斯韦速度分布告诉我们，气体分子的速度在不同范围内服从不同的分布。
更具体地说，分子的速度大致呈正态分布，而且随着速度的增大而逐渐减小。
这个分布曲线在速度较小的情况下逐渐上升，然后在速度达到峰值后迅速下降。
麦克斯韦速度分布的重要性在于，它可以帮助我们理解气体的热运动性质。
通过麦克斯韦速度分布，我们可以计算出气体中分子的平均速度、平均动能等重要参数，进而推导出气体的热力学性质。
总结一下，统计力学中的玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是描述非简并理想气体平衡态的重要工具。
玻尔兹曼分布告诉我们系统中不同能级上粒子的分布情况，而麦克斯韦速度分布描述了气体分子的速度分布。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布
什么是玻尔兹曼分布？
麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
玻尔兹曼分布的应用：
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。
它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。
如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
O
v p
v
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一温度下不同种气体速率分布比较
大时， v 的统计平均值可表示为
Nivi
v i N
因为速率连续分布， 所以有
v 0 vdNv N
关于 v 的任意函数 g(v) 在 v1 v2 速率区间的统计平均值为
v2 g(v)dN v2 g(v) f (v)dv
g(v) v1 v2 dN v1 v2 f (v)dv
麦克斯韦
3
f
(v)
4
m
2k T
2
e mv2
v ( 2kT ) 2
T ——热力学温度
m ——单个分子的质量
k ——玻尔兹曼常量
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
v
p
v
v
p
vp 100
v
p
vp 100
vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率
分布律改写成如下简单形式：
玻尔兹曼分布
在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别为：,所以能级的粒子总和为。
那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为：通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，这和我们的常识认知是一致的（这里希望大家能彻底搞懂什么是熵，这个概念很重要，熵在自然语言处理中会大量的使用，大家先看看维基百科，然后在自己学习一下，熵我打算在自然语言处理中在详细讲解），下面给出熵的定义：其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。
把带进上式的：现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即：，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为：得到：我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以把化简为：然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式;联立和两式的到：化简得到为：从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，且上式等式右边的指数和我们的退火算法很像，同时上式就称为玻尔兹曼分布。
好，从上面我们推倒了玻尔兹曼分布的来历。
他是来源于热力学，大家通过我讲的简单型的可以完全理解了，掌握这些东西就够用了，如果对此感兴趣的同学可以看看完整版的玻尔兹曼分布，那里比这里稍微复杂一点，但是有这里的基础，看完整版的就会很容易了，好了，玻尔兹曼分布到此结束，下一节我们将模拟退火算法、玻尔兹曼分布和Hopfield神经网络结合起来，构建一个新的神经网络即随机神经网络或者说是玻尔兹曼机。
玻尔兹曼常量系热力学的一个基本常量，记为“K”，数值为：K=1.3806505×zhi10^-23J/K，玻尔兹曼常量可dao以推导得到，理想气体常数R等于玻尔兹曼常数乘以阿伏伽德罗常数。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律
麦克斯韦波尔茨曼分布定律麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个基本定律，用于描述粒子在热平衡态下能量分布的概率。
该定律是从统计力学的角度推导出来的，可以用来解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律是描述粒子速度分布的定律之一。
它指出，在热平衡状态下，理想气体中的粒子速度分布服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
这个分布的特点是，速度较小的粒子数目多，速度较大的粒子数目少，呈现出“钟形曲线”的形状。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的推导过程相对复杂，涉及到统计力学的相关知识。
但是我们可以从直观的角度来理解这个分布定律。
首先，我们知道在一个封闭的系统中，粒子的速度是随机的，存在着各种不同的速度。
其次，由于热运动的存在，粒子的速度会在一定范围内变化，即存在一定的速度分布。
最后，根据统计力学的理论，证明了这个分布的概率密度函数是一个关于速度的二次函数，也就是麦克斯韦波尔茨曼分布定律。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律可以用来解释一些重要的物理现象。
首先是气体分子的速度分布。
根据这个定律，我们可以知道在热平衡状态下，气体分子的速度分布是呈现出一定规律性的。
速度较小的分子数目多，速度较大的分子数目少，符合高斯分布的特点。
这也就解释了为什么我们观察到的气体分子速度分布呈现出“钟形曲线”的形状。
其次是能量分布。
根据麦克斯韦波尔茨曼分布定律，粒子的能量分布也是符合一定规律的。
能量较低的粒子数目多，能量较高的粒子数目少。
这个定律的应用非常广泛，可以用来解释气体的热力学性质，如内能、压强等。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的应用不仅限于理想气体，还可以推广到其他粒子系统。
例如，可以用来描述固体晶格中的声子的能量分布，以及等离子体中电子的能量分布等。
在这些系统中，粒子的速度分布和能量分布也会服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
总结起来，麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个重要定律，用于描述粒子在热平衡状态下的速度分布和能量分布。
它的应用范围广泛，可以解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.
相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p
0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m
3 2
e
mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
信息学院 物理教研室
例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
气体分子布朗运动速度
气体分子布朗运动速度
气体分子的布朗运动速度是一个复杂的问题，因为它涉及到分子的热运动和统计物理学的概念。
根据理想气体的基本假设，气体分子的速度是服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布的。
根据这个分布，气体分子的速度是呈现高斯分布的，也就是说大部分分子的速度集中在某个数值附近。
根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布，气体分子的速度与温度有关，速度分布的宽度与温度成正比。
具体来说，对于温度为T的气体，气体分子的速度v服从以下的麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数：
f(v) = (m / (2πkT))^1/2 exp(-mv^2 / (2kT))。
其中，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是温度。
这个分布函数描述了不同速度下气体分子的分布情况。
另外，根据理想气体的方程，PV = nRT，其中P是气压，V是体积，n是摩尔数，R是气体常数，T是温度。
从这个方程可以推导出气体分子的平均动能与温度成正比的关系。
根据动能定理，气体分子的平均动能与速度的平方成正比，因此可以得出气体分子的平
均速度与温度成正比。
总的来说，气体分子的布朗运动速度受到温度的影响，根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布，气体分子的速度呈高斯分布，大部分分子的速度集中在某个数值附近，而且平均速度与温度成正比。
这些因素共同决定了气体分子的布朗运动速度。
分子的方均根速率
分子的方均根速率分子的方均根速率是指在一定温度下，所有分子速度平方的平均值的平方根。
它是描述气体分子速度分布的一个重要参数，也是描述气体热运动状态的一个重要物理量。
一、分子速度分布1. 麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布定律麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布定律是描述理想气体中不同速度分子数目的概率密度函数。
该定律表明，在一定温度下，气体中不同速度的分子数目与其速率平方成正比，与其质量成反比。
2. 分子碰撞气体中的分子在高温下具有高速运动状态，会发生碰撞。
这些碰撞会影响到气体性质和热力学过程。
碰撞可以使能量从一个分子转移到另一个分子，从而使热能传递。
二、方均根速率1. 方均根速率公式方均根速率公式为：v_rms = sqrt(3kT/m)其中，v_rms表示方均根速率；k表示玻尔兹曼常数；T表示温度；m 表示单个分子的质量。
2. 方均根速率的意义方均根速率是描述气体分子速度分布的一个重要参数。
它可以用来计算气体中不同速度分子数目的概率密度函数，也可以用来计算气体的平均动能和热容等热力学量。
三、影响方均根速率的因素1. 温度温度是影响方均根速率的主要因素。
随着温度升高，分子运动速度加快，方均根速率也会增加。
2. 分子质量分子质量越大，其运动惯性越大，需要更多能量才能达到相同的速度。
因此，较重的分子具有较低的方均根速率。
3. 分子形状不同形状的分子具有不同的惯性和转动自由度。
这些因素会影响到方均根速率。
四、应用实例1. 碰撞频率计算在化学反应中，碰撞频率是描述反应物之间碰撞次数和反应速率之间关系的一个重要参数。
可以利用方均根速率公式计算出碰撞频率。
2. 气体扩散气体扩散是气体分子从高浓度区域向低浓度区域传播的过程。
方均根速率可以用来计算气体分子的平均速度，从而预测气体扩散速率。
3. 热力学过程计算方均根速率可以用来计算气体的平均动能和热容等热力学量。
这些参数对于理解气体的热力学过程和性质具有重要意义。
总之，分子的方均根速率是描述气体分子速度分布和热运动状态的一个重要物理量，其值受温度、分子质量和形状等因素影响。
maxwell bh曲线
maxwell bh曲线摘要：1.麦克斯韦- 玻尔兹曼分布的背景和概念2.Maxwell-Boltzmann 分布的数学表达式3.Maxwell-Boltzmann 分布的应用领域4.对Maxwell-Boltzmann 分布的批评和修正正文：Maxwell-Boltzmann 分布，通常简称为Maxwell 分布，是描述气体分子速度分布的经典理论。
它是以英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）和奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）的名字命名的。
这一分布对理解气体动理论和热力学过程具有重要意义。
1.麦克斯韦- 玻尔兹曼分布的背景和概念在19 世纪末，麦克斯韦和玻尔兹曼独立地研究了气体分子速度分布的问题。
他们的工作为统计力学的发展奠定了基础，特别是在气体动理论方面。
麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是基于气体分子的速度和碰撞次数的统计规律，从而揭示了气体压强、温度等宏观物理量的微观本质。
2.Maxwell-Boltzmann 分布的数学表达式麦克斯韦- 玻尔兹曼分布的数学表达式为：f(v) = (1/((2πkT)^(3/2))) * exp(-(v^2)/(2kT))其中，f(v) 表示速度v 的分子概率密度函数；k 为玻尔兹曼常数；T 为气体的温度。
3.Maxwell-Boltzmann 分布的应用领域Maxwell-Boltzmann 分布广泛应用于气体动理论、热力学、统计力学等领域。
例如，它可以用来解释气体压强的微观起源，预测气体在一定温度下的扩散速率，以及分析气体在等温过程中的能量分布等。
4.对Maxwell-Boltzmann 分布的批评和修正尽管麦克斯韦- 玻尔兹曼分布为描述气体分子速度分布提供了一个基本框架，但在某些情况下，它并不能准确地反映实际情况。
例如，当气体分子间相互作用显著时，需要考虑更复杂的统计力学模型，如Bose-Einstein 分布和Fermi-Dirac 分布。
完全气体速度计算公式
完全气体速度计算公式1.完全气体：我们假设气体是完全理想的，即气体分子之间没有相互作用力，分子也是点状的（没有体积）。
2.牛顿定律：我们假设气体分子是自由运动、无限小质点，其运动受到牛顿定律的支配。
3.碰撞模型：我们假设气体分子之间的碰撞是完全弹性碰撞，即碰撞前后的动能守恒。
根据以上假设，可以得出气体的速度分布也是一个统计性质，即分子速度符合一定的概率分布。
最常用的是麦克斯韦-玻尔兹曼分布，根据这个分布可以得出气体分子速度的概率密度函数（PDF）。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布的概率密度函数如下：f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * exp(-mv^2/2kT)其中，f(v)表示分子速度v的概率密度函数，m是气体分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的温度。
根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布，可以推导出一些与速度相关的平均值，例如平均速度、平均速度平方等。
平均速度（v_avg）表示所有分子速度的平均值，可以通过积分计算得到：v_avg = ∫v * f(v) dv对于理想气体，该积分可以近似为：v_avg = （8RT/πM）^(1/2)其中，R是气体常量，T是气体的温度，M是气体分子的摩尔质量。
平均速度平方（v^2_avg）表示所有分子速度的平方的平均值，可以通过积分计算得到：v^2_avg = ∫v^2 * f(v) dv对于理想气体，该积分可以近似为：v^2_avg = 3RT/M除了平均速度和平均速度平方，根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布还可以得到速度的其他统计性质，例如速度的方均根（v_rms）：v_rms = (3RT/M)^(1/2)以上就是完全气体速度计算公式的推导过程和结果。
请注意，这些公式是在理想气体状态下的近似计算，实际气体可能会有相互作用力和分子体积等因素的影响。
此外，以上推导过程中也忽略了一些细节和实际情况，仅做简化说明。
第四章麦克斯韦波尔兹曼分布律
麦克斯韦分布律的应用
例4.1 利用麦克斯韦速度分布 律求理想气体的状态方程
解 在气体内部任一点A，取一面元dA
速度在v ~ v dv的分子:
左边分子给右边分子的动量为
dA
vA
x
vx
mvx vxdA nf (v )dv nmvx2 f (v )dvdA
每个分子带来的 向右的动量
单位时间内该 体积内的分子 可到达面元
____
t k
3 2
kT
表明系统温度反映了大量分子热运动的平均动能。
5
第四章 麦克斯韦－波尔兹曼分布律
____
且有
t k
,T ，说明分子热运动越剧烈。
由
____
t k
1 2
m
____
v2
3 2
kT
得分子运动的方均根速率
___
v2
3kT
m
3RT ( 摩尔质量）
由（T
(v x
,vy
,vz )=(
m
2 kT
) e 3 2
1 2
m
(v
x
2
vy2
vz2
)
/
kT
m
3 1 mv2 / kT
(
) 2e 2
16
2 kT
第四章 麦克斯韦－波尔兹曼分布律
若 f (v ) 已知，可求得分布任一区间内 v1 v2 的分子
数△N占总分子数的比率，即
N v2 f (v )dv
同理
1 f (vz )
df (vz ) dv z 2
高二物理竞赛麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律PPT(课件)
16
理想气体内能
内能：气体内所有分子的动能、分子内的势能与分子间的 相互作用势能的总和。
理想气体内能： • 对理想气体，分子间的势能为0； • 对刚性分子，分子内的势能为0。
k R 波尔兹曼常数
NA
理想气体内能是其所有分子的平均动能之和。
刚性分子：无内部相对运动。
• 单原子分子： (He氦、Ne氖、…)
i t 3
• 双原子分子： (O2、H2、CO…)
• t=3 • r=2 • 绕轴转动自由度无意义
i tr 5
• 多原子分子： (H2O 水蒸气、CO2、…)
i tr 6
14
能量均分定理(按自由度)
在温度为T 的平衡态下，气体分子
每个自由度所对应的平均动能都等于
双原子分子： (O2、H2、CO…)
1 kT 2
1. 平动情况： 重力场中粒子按高度的分布
6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
重力场中粒子按高度的分布
1 3 6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
由平均平动动能： mv kT 重力场中粒子按高度的分布
2 2 对刚性分子，分子内的势能为0。
2 k
9* 真实气体 范德瓦耳斯方程
统计物理学的奠基人之一.
每个平动自由度的平均平动动能：
经典名著：《气体理论讲义》 dN /(N ·dv)：某 v 处单位速率间隔内分子数与总数N之比。
重力场中粒子按高度的分布
玻耳兹曼
1844年～1906年
5. 气体动理论
5.1 热运动的描述 理想气体模型和状态方程 5.2 分子热运动和统计规律 5.3 气体动理论的压强和温度公式 5.4 能量均分定理 理想气体的内能 5.5 麦克斯韦速率分布律 5.6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
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ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
按能级分布与按量子态分布
Nl
el /(kT )
N
q
q
eh /(kT )
h
3.粒子全同性的修正
平动能不能为零，必须有外部限制作用，才能 使粒子定域，所以不可能有独立的定域子，但 特定条件下，定域子可以简化为独立子（12.9 节）。定域子可以通过其所处位置与其他定域 子区分，不需要全同性修正。
gj Nj
N
j
N j Nj
ln
j
gj Nj
N
j
0
N
jNj
N
N
j
j
0
E
j jN j E
j
jN
j
0
拉格朗日未定乘数法
ln j
gj Nj
N
j
0
N
N
j
j
0
E
j
jN
j
0
j ln
gj Nj
j
N j
0
ln
g0 N0
0
N0
ln
g1 N1
1
N1
ln
ii
0, 1, 2,
Ng je j /(kT ) q
N e
( v 0 ) kT
N0
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
子数之比为0.01，则处于振动第一激发能级的分子
数与基态分子数之比是多少？
解：
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
e
xp
i
kT
j
6 1
e
xp
h2(14 3)
8m a2kT
6exp 0.1kT 11 1.99 kT
例1 设HCl分子可看作线型刚性转子，计算它在 300K时分子按转动能级的分布
解：
r J (J 1)h2 /(82 I )
J 0, 1, 2,
gr 2J 1
N j
12-5 麦克斯韦玻耳兹曼分布
1.独立子系统的三种最概然分布
麦克斯韦-玻耳兹曼分布（MB分布） 适用于由经典粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互可以区别。
玻色-爱因斯坦分布（BE分布） 适用于波函数为对称的粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互不可区别，多个粒子可以具有相同量子态。
费米-狄拉克分布（FD分布） 适用于波函数为反对称的粒子组成的独立子系统。
粒子可分辨时，微观状态数为 N !
Nj!
j
粒子可分辨时，在一量子态中有哪些粒子会对状态波函数
产生影响，粒子不可分辨时，由于波函数的对称性，不产
生影响，所以对于上述给定的量子态分布，不可辨粒子系
统的微观状态数为
1
了解一下，不作要求！
按能级分布
能
级 0 1 2 ··· j ···
能级简并度 g0 g1 g2 ··· g j ···
g2 N2
2
N2
ln
g3 N3
3
N3
L
ln
gj Nj
j N j L
0
拉格朗日未定乘数法
j ln
gj Nj
j
N j
0
ln
gj Nj
j
0
N
N
j
j
0
E
j
jN
j
0
j 0, 1, 2, 3,
N j, ,
求取未定乘数 和
ln
gj Nj
j
0
N j g jee j
6
用N!修正粒子的全同性过头了
当体系中粒子的密度非常低，且温度足够高，以致 没有两个粒子处于一个量子态上的情况出现，用N! 修正粒子的全同性就恰好不多不少。
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
下关系： h2 8ma 2
0.1kT
，试计算平动量子数分别为1，
2， 3的能级与平动量子数分别为1，1，1的能级的粒子
分布数比值。
解：
1,2,3
h2 8ma
2
12 22 32
14h2 8ma 2
1,1,1
h2 8ma
2
12 12 12
3h2 8ma 2
Ni Nj
gi gj
ω
分布
N j
0 N j
N j j , g j
2.麦克斯韦-玻耳兹曼分布
求最概然分布
能
级 0 1 2 ··· j ···
能级简并度 g0 g1 g2 ··· g j ···
粒子分布数 N0 N1 N2 ··· N j ···
N!
(
gNj j
)
j N j!
求最概然分布
N!
N
q
q i giei
子配分函数
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
条件 平衡，可分辨的独立子 能量形式不限
Nj/N
粒子处于j 能级的概率
g j 越大， N j / N 越大
j 越大， N j / N 越小
gi
)/
kT ] 1
了解一下，不作要求！
玻色-爱因斯坦凝聚 玻色-爱因斯坦分布
Ni
exp[( i
gi
)/
kT ] 1
N i 0 exp[( i ) / kT ] 1 i 0 0(基 态 )
温度下降，化学位上升，当化学位接近基态能级 时，N0 + ，系统中的粒子集中处于基态，这 也是一种相变，称为玻色-爱因斯坦凝聚，普通导 体到超导的转变、普通流体到超流的转变都可以 认为是系统发生了BE凝聚。
同种粒子间相互不可区别，粒子的量子态互不相同。
1.独立子系统的三种最概然分布
麦克斯韦-玻耳兹曼分布（MB分布）
适用于由可分辨粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互可以区别，经典粒子都是可分辨的。
修正：利用量子统计 ➢量子统计指建立在量子力学原理上的统计力学 方法，它区别于经典统计的关键在于量子力学的 基本假定之一：全同性原理。 ➢如果体系实际上由全同粒子构成，相互之间不 可分辨，就要对经典统计作出修正。真实世界是 量子的，所以真实气体中的同种分子都是不可分 辨的，全同性修正是必不可少的。
N
j N j e
j g je j
e N
j g je j
E
j N j j N
j g j je j
j g je j
玻耳兹曼常数
kR L
1 / (kT )
麦克斯韦–玻尔兹曼分布
e N
j g je j
N j gie e j
Ng je j i giei
Ng je j q
N j g je j
独立的离域子系统
N !
(
gNj j
)
j Nj!
温度不太低，密度不太高， 子的质量不太小 (gj>>Nj)
x
x( N ,E ,V )
N
!
x
(
N
,
E
,V
)
j
gNj j
N j ! x
gNj j
j N j!
x
x ( N ,E ,V )
x( N ,E ,V )
j
gNj j
N j ! x
例1 设HCl分子可看作线型刚性转子，计算它在 300K时分子按转动能级的分布
J N j / N0
0
1
1 2.71
3 3.80
6 1.54
例2 设I2可看作单维谐振子，计算I2蒸气分子在 300K时按振动能级的分布
解： v ( 1 / 2)h
gv 1
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
(
gNj j
)
j N j!
ln = lnN! j N jlng j j lnN j!
斯特林近似式 N 1时 ，ln N ! N ln N N
N!
2
N
N
N
exp(
N
)
1
1 12 N
1 288N 2
ln NlnN N j N jlng j j ( N jlnN j N j )
ii
Ng je j /(kT ) q
N
( v 0 )
e kT
h
e kT
N0
N2
2h
e kT
0.01
N0
N1
h
e kT
0.1
N0
了解一下，不作要求！
4.玻色-爱因斯坦分布和费米-狄拉克分布
按量子态分布
子量子态
0 1 2 … j …
能量
0 1 2 ··· j ···
某一时刻
N 0 N1 N 2 ··· N j ···
粒子分布数 N0 N1 N2 ··· N j ···
玻色-爱因斯坦统计 玻色-爱因斯坦分布 费米-狄拉克统计 费米-狄拉克分布
( N i gi 1)! i N i !( gi 1)!
Ni
exp[( i
gi
)/
kT ] 1
gi !
i N i !( gi N i )!