ch5-5指派问题
指派问题实例研究报告
指派问题实例研究报告指派问题是一种在组织或团队中分配资源或任务的决策问题。
指派问题的目标是在给定的约束条件下，找到最佳的分配策略，以最大化整体效益或满足特定的目标。
以下是一个指派问题实例的研究报告：标题：某医院护士调班指派问题研究报告一、背景介绍某医院的护士人员经常需要调整工作班次，以适应不同的工作需要和员工的个人需求。
然而，手动调整班次非常耗时且容易出错。
为解决这个问题，研究团队决定使用指派问题的方法来自动化调班过程，提高整体效率和员工满意度。
二、问题描述该医院有10个护士，每天有3个班次，分别为早班、中班和晚班。
每个班次需要不同数量的护士进行工作，早班需要4个护士，中班需要3个护士，晚班需要3个护士。
护士们的个人需求不同，包括对班次的偏好和工作时长的限制。
研究团队的目标是找到一种最佳的调班指派策略，使得整体的工作需求得到满足，同时最大限度地满足护士的个人需求。
三、问题建模研究团队将这个指派问题建模为一个二部图匹配问题，其中：- 每个护士是一个节点，表示第一部分。
- 每个班次是一个节点，表示第二部分。
- 然后建立起两部分节点之间的边。
根据班次的需求量和护士的个人需求进行边的权重赋值。
四、算法实现研究团队选择使用匈牙利算法来解决这个指派问题。
该算法能够在多项式时间内找到最大匹配，以满足所有的需求。
该算法的具体实现过程如下：1. 初始化所有边的权重。
2. 选取一条边进行匹配。
3. 如果找到了一条可行路径，将匹配进行调整。
4. 如果找不到可行路径，将权重进行调整并回到第二步。
5. 重复前面几步，直到找到最优解或无法找到新的匹配。
五、结果分析通过实际测试和模拟实验，研究团队发现，使用匈牙利算法可以高效地解决护士调班指派问题。
该算法能够在合理的时间内找到最佳的调班方案，满足医院的工作需求，并且最大程度地满足护士的个人需求，提高员工满意度和工作效率。
六、结论本研究报告基于指派问题实例，研究了某医院护士调班指派问题。
第5章 整数-指派问题
(if i ≠ k ); cij , bij = ckj + a, (if i = k ).
则以b 则以 ij为系数的新指派问题的目标函数为 n n z = ∑i =1 ∑ j =1 bij xij
= ∑i ≠ k ∑ j =1 cij xij + ∑ j =1 (ckj + a ) xkj
n n
= ∑i =1 ∑ j =1 cij xij + a ∑ j =1 xkj = z + a
n n n
利用性质1, 利用性质 ,可使原系数矩阵变换为含 有很多0元素的新系数矩阵 元素的新系数矩阵, 有很多 元素的新系数矩阵,而最优解保 持不变,在系数矩阵(b 中 持不变,在系数矩阵 ij)中,我们关心位 于不同行不同列的0元素 元素, 于不同行不同列的 元素,以下简称为独 立的0元素. 立的 元素. 元素 利用性质2,若能在系数矩阵(b 中找 利用性质 , 若能在系数矩阵 ij)中找 个独立的0元素 出n个独立的 元素;则令解矩阵 ij)中对 个独立的 元素;则令解矩阵(x 中对 应这n个独立的 元素的元素取值为1, 个独立的0元素的元素取值为 应这 个独立的 元素的元素取值为 ,其 他元素取值为0. 他元素取值为 .将其代入目标函数中得 到zb=0,它一定是最小. ,它一定是最小. 这就是以 ij)为系数矩阵的指派问题的 这就是以(b 为系数矩阵的指派问题的 最优解.也就得到了原问题的最优解. 最优解.也就得到了原问题的最优解.
解 按上述第一步,将这系数矩阵进行变换.
min 12 7 9 7 9 7 5 0 2 0 8 9 6 6 6 6 2 3 0 0 7 17 12 14 9 7 → 0 10 5 7 15 14 6 6 10 6 9 8 0 0 4 10 7 10 9 4 0 6 3 6 2 0 2 4 5
运筹学课件ch5指派问题[全文]
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运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
配对与指派问题
配對與指派問題
Matching and Assignment Problem
配對 Matching
每個節點最多只有一條弧線與之相連的弧 線集合
1
3
5
1
3
5
2
4
2
4
2
指派 Assingment
A bipartite graph:
所有節點可分成兩個子集合S、T所組成 弧線均為連接S與T兩子集合內的節點(同一子集合之節點 間沒有弧線相連)
6
Maximum-cardinality Matching
擴張路徑(augmenting path) :
起點與迄點均為暴露節點(exposed vertex)，且 路徑中配對弧線與未配對弧線交互出現
暴露節點(exposed vertex):
未與任何配對弧線相連的節點
1
2
3
4
5
6
7
Maximum-cardinality Matching
1
12
43
6
3
5
4
65
7
36
4 7
2
8
59
1 10
3
4
8
5
11
3 12
6 13
14
指派(assignment)即是在一個bipartite graph中的配對 (matching)，每個節點恰有一條弧線相連
1
4
1
4
2
5
2
5
3
6
3
6
3
配對與指派的應用
司機員排班 球賽賽程 工作指派
4
Maximum-cardinality Matching
5.5 指派问题
cij 为第 i 个人为完成第 j 项任务时的工时消
3. 指派问题数学模型—标准形式 如果一个指派模型满足以下三个条件：
1)目标要求为min
2)效率矩阵(cij)为m阶方阵
3)效率矩阵中所有元素cij≥0,且为常数
则称上面的数学模型为指派问题的标准形.
4. 指派模型的标准形的特点: 含有m×m个决策变量,均为0-1变量 m+m＝2m个约束方程 给定一个指派问题时，必须给出效率矩阵（系数矩阵） C=(cij)mxm,且cij0，因此必有最优解 。
0 1 0 0
0 0 0 1
指派问题的解矩阵应具有如下特点： （1）解矩阵(xij)中各行各列的元素之和都是1； （2）可行解（最优解）中恰含有４个非零元，即4个1； （3）可行解（最优解）矩阵中的1恰取于不同行不同列。
人 工作 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 任务
甲 2 15 13 4 1
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj， 则[bij]的最优解的结构等价于[cij]的最优解的结构.
证明：将从[bij]中得到的解 代入分配问题模型的目标函数式，有
从只有一个0元素的行（或列）开始，
给这个0元素加圈，记， 这表示对这行所 代表的人，只有一种任务可指派。 然后划去所在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。 这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人
0
6
13
7 6 3 0
0 9 2 0
5 1
0
给只有一个0元素的列（或行）中的0元素加圈， 记， 然后划去所在的行（或列）的其他0元素，记作Ø。 这表示这行所代表的人已指派完， 不必再考虑他做别的任务了。 反复进行上述两步，直到所有的0元素都被圈出和 划掉为止。
运筹学指派问题课件
c
i 1 j 1
n
n
ij
xij
n xij 1 i 1 n st . xij 1 (i , j 1, 2, ..., n) j 1 x 1or 0 ij
运筹学教程
例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
运筹学教程
指派问题解法：匈牙利解法 解法思想：
若从系数矩阵C的任何一行（列）各元素中分别减去 一个常数K（K可正可负）得到新矩阵C’,则以C’为系 数矩阵的指派问题与原问题有相同的解，但最优值 比原问题最优值小K。
匈牙利法条件： MIN、i=j 、Cij≥0
运筹学教程
匈牙利法的主要步骤： 步骤1：变换系数矩阵，使在各行各列都出现零元素。 （1）从矩阵C的每行元素减去该行的最小元素；
0 11 8 7 7 3 3 2 1 C ' 5 0 4 3 4 0
第二步 圈0 寻找不同行不同列的0元素，圈之。 所在行和列其它0元素划掉
0 0 0 0 0 3 0 11 8 第三步 打 无的行打，打行上0列打 ， 1 7 7 3 打列上行打，打行上0列打 ' 2 3 2 1 C 0 5 0 4 0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 2 3 4 0 C ' 0 2 3 2 1 第四步 确定方案划线 0 0 5 0 4 没有打行上画一条横线； 0 2 3 4 0 有打列上画一条竖线；
15 120 15 12 0 14 100 14 100 8 7 0 0 8 7
指派问题遗传算法
指派问题（Assignment Problem）是一种组合优化问题，涉及到在给定的一组任务和一组执行者之间找到最佳的任务-执行者分配方案，以最小化总体成本或最大化总体效益。
遗传算法是一种基于生物学演化过程的启发式优化算法，被广泛应用于解决组合优化问题。
以下是指派问题遗传算法的详细步骤：1. 定义问题：▪任务集合：包含需要执行的所有任务。
▪执行者集合：包含可以执行任务的所有执行者。
▪成本矩阵：描述将任务分配给执行者的成本或效益。
2. 初始化种群：▪随机生成初始的任务-执行者分配方案，形成一个种群。
3. 适应度函数：▪设计适应度函数，用于评估每个个体（分配方案）的优劣。
适应度函数的目标是最小化总体成本或最大化总体效益。
4. 选择操作：▪使用选择操作（如轮盘赌选择）根据个体的适应度值选择父代个体，以构建新的种群。
5. 交叉操作：▪通过交叉操作（如单点交叉或多点交叉）产生新的个体，以模拟生物学中的基因交流。
6. 变异操作：▪引入变异操作，随机改变个体的某些分配，以增加种群的多样性。
7. 替代策略：▪使用替代策略，如代沟保留或精英保留，选择个体进入下一代种群。
8. 终止条件：▪定义终止条件，如达到最大迭代次数或找到满意的解决方案。
9. 迭代过程：▪重复执行选择、交叉、变异、替代等步骤，直到满足终止条件。
10. 最终结果：▪返回种群中具有最佳适应度值的个体，即为指派问题的解。
注意事项：▪调整算法参数，如交叉率、变异率等，以提高算法性能。
▪可以使用不同的交叉和变异操作，根据具体问题的特点进行调整。
示例：考虑一个具体的指派问题，如工人与任务的分配，成本矩阵表示每个工人执行每个任务的成本。
遗传算法将尝试找到最佳的工人-任务分配，以最小化总体成本。
这个过程需要根据具体问题的特点进行调整，但以上步骤提供了一个通用的遗传算法框架，可用于解决指派问题。
指派问题及实现代码示例
a
i 1 j 1
n
n
ij
xij （工时）
xij 1(每人做一件事) jn 1 s.t. xij 1(每事由一人做) i 1 （ xij 只取0或者1 i , j 1 n）
二. 定理
1.从效率矩阵（aij）n 每一行（或列）加一个常数ui (v j )， n 所得的新的矩阵（bij）n的最优指派与原矩阵的最优指 n 派相同。
2 ） 在没有红圈的右下角如果有 0 11 8 0 3 5 0 4 0 0 零，一定是新的独立零元素 3 4 0 0 2 7 7 3 0 1 3 2 1 0 2 3 ） 用直线覆盖红圈所在行
0 11 8 0 3 5 0 4 0 0 3 4 0 0 2 7 7 3 0 1 3 2 1 0 2
• •
(4) 重复 (2), (3), 直到无勾可打为止. (5) 对没有打勾的行画一横线, 对打勾的列画 一竖线. • 这样剩下没有画线的元素中没有零元素. •
第三步：加0元
• 求出其中的最小元素. 各行都减去这个最小 元素（同一个数）, 这时在已被划横线的元 素中的零元素变成负元素, 在它们所在的列 中加上这个最小元素. 还不够所需0元，转 步骤2.
两个简便的方法
• 1.先列后行 • 2.max-min（不是很严谨） • 只是对匈牙利方法不能直接给出解答的带 来方便。 • （1）行最小 • （2）最小元中的最大先指派，划去行列 • （3）重复
• 关于指派问题还有很多内容，限于水平、 时间等就不多掰了
Matlab 线性规划的解法
• 在用矩阵求解方程组时，不一定要确切的数值代入， Matlab中可以用字母来表示。 • 比如：计算行列式：
指派问题
13 0 5 1
7 6 3 0
0 9 ( b ij ) 2 0
第二步： 进行试指派，以寻求最优解。为此，按以 下步骤进行。 经第一步变换后，系数矩阵中每行每 列都已有了0元素；但需找出n个独立的0 元素。若能找出，就以这些独立0元素对 应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0， 这就得到最优解。当n较小时，可用观察 法、试探法去找出n个独立0元素。若n较 大时，就必须按一定的步骤去找，常用 的步骤为：
•减数得零—求初始匹配 •圈零划线—查是否最大匹配 •找数调整—求新的最优匹配 运筹学
指派问题的解法
第一步： 使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中 都出现0元素。 (1) 从系数矩阵每行元素减去该行的最小元素； (2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列 的最小元素。 若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。
④
7 4 0 11 0
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
0 0 5 0 4
2 0 0 4 3
运筹学
已具有n个独立0元素。这 就得到了最优解，相应的解 矩阵为： 由解矩阵得最优指派方案 甲—B，乙—D，丙—E，丁—C，戊—A
0 0 0 0 1
想想看！
运筹学
指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及 一系列完成任务的被指派者（assignees）， 所需要解决的问题就是要确定出哪一个人 被指派进行哪一项任务，使总的效率最高？
运筹学
指派问题的假设
被指派者的数量和任务的数量是相同的 每一个被指派者只完成一项任务 每一项任务只能由一个被指派者来完成
表1
任 人员 甲 乙 丙 丁 务
指派问题的解法
指派问题的解法总结问题引入：在工作的时候，常常需要对一些人进行工作安排，由于某些条件的限制，每个人只能进行一种工作，怎么安排才能使得总工作时间最小。
我们把这一类问题称为指派问题。
在这里，我只对人和工作刚好一对一的指派问题的解法进行总结，而对于不是一对一的，则可以通过文献1中的一些方法进行变换。
目前问题解法的总结。
1：最广泛应用的解法：匈牙利算法。
算法简介：库恩（fW．W．Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法．他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数。
这个解法称为匈牙利解法。
匈牙利算法虽是运用最广泛的算法，但其操作过程却过于复杂。
在划0的时候也不方便记忆，对于初学者来说掌握不便。
于是国内很多学者对指派问题给出了几个较简单，方便易记的算法。
2：指派问题新解法——目标值子矩阵法。
算法描述：任取变量矩阵X某一行中的最小元素，为该行元素目标值的最优解(但不一定是系统目标函数的最优解)，应该是系统目标函数满意解中的一个元素，记作a11 划去a11 所在的行和列，取剩下的子矩阵中某一行的最小元素，记作a22。
依次类推，直到最后一个元素a nn．这些元素相加得系统目标函数的一个满意解，此为一次运算．第二次运算取变量矩阵X中含a 以外的任一行，做与上面相同运算，又可以得到系统的第二个满意解．相同地，对于n行做n次运算，共得到系统的n个满意解，系统的最优解即应该是这 n个满意解当中的最小值．若第i的最小元素在前面以被取用过，则在进行第i的运算时，不选取该元素，取该行中未被选用过的元素中最小的一个进行运算。
算法分析：相对于匈牙利算法，此算法简单，方便操作。
但不能给出所有最优解，得出的最优解唯一，若要给出全部最优解，则算法的次数将大大增加。
当矩阵维数较大的时候，可以对矩阵进行划分，以更快计算。
算法举例：对于变量矩阵x；3：递归思想在指派问题中的运用算法描述：对目标函数的解，等于min{a1+A1，a2+A2,a3+A3，…..a n+An}；其中a i为第一行中的第i个元素，A i为除去第i个元素所在行和列的子矩阵。
05指派问题
t
i 1 j 1 p 1 q 1
n
n
n
n
ip
d jq xij x pq
18
车间选址问题
min tip d jq xij x pq
i 1 j 1 p 1 q 1 n n n n n
组合优化
s.t.
x
i 1 n j 1
ij
1, j 1, , n 1, i 1, , n
23
算法
• “男士选择，女士决定”
组合优化
• 每位男士都选择他最钟爱的女士。 • 如果有女士被两位或者以上的男士选择，则这几位男 士中除了她最喜欢的之外，对其他男士都表示拒绝。 • 被拒绝的那些男士转而考虑他（们）的除被拒绝之外 的最满意女士。如果存在冲突（包括和之前选择某女 士的男士发生冲突），则再由相应的女士决定拒绝哪 些男士。 • 以上过程持续进行，直至不再出现冲突为止。
m3 : w1
组合优化 • 不论每人的偏好顺 序为何，稳定婚姻 总是存在，且用上 述算法可在 O(n 2 ) 内找到一组稳定婚 姻。 • “女士选择，男士 决定”算法也可找 到一组稳定婚姻。
25
最优性
组合优化
• 称一组稳定婚姻是男方最优的，如果在该 组婚姻中，每位男士都认为其配偶不比任 何一组稳定婚姻中他的配偶来的差。 • 男方最优的稳定婚姻是唯一的，同时必是 女方最劣的。 • “男士选择，女士决定”算法给出的总是一 组“男方最优” 的稳定婚姻。
xij 0
4
匈牙利算法
• 两位匈牙利数学家D. König和E. Egervary于先后证明了若干关于二 部图匹配问题的重要性质 • 1953年，H. W. Kuhn在以上工作 基础上给出了求解指派问题的匈牙 利算法，这是组合优化问题最早的 有效算法之一
指派问题的算法
指派问题的算法分析与实现摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。
然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。
指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。
这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。
在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。
在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。
通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。
与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。
最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。
关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型1. 问题陈述指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作效率（如熟练程度等），怎样安排会使总销量达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值。
假设有n 件工作分派给n 个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。
若给出各人对各项工作所具有的工作效率。
问应该如何安排人选，及发挥个人特长又能使总的效率最大。
为此用0-1整数规划来实现指派问题即如何安排人选。
指派问题详解
第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配， 所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)， 对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖， 定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。
北邮运筹学ch5-5 指派问题
则
min w
cij xij
ij
与
max z c x 运筹学 北ij京i邮j 电大学 的最优解相同。
ij
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
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【例】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
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不平衡的指派问题
当人数m大于工作数n时，加上m－n项工作，例如
5 9 10
11 6
3
8 14 17
6
4
5
3 2 1
5 9 10 0 0
11 6 3 0 0
8 14 17 0 0
6
4
5 0 0
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The End of Chapter 5
运筹学 北京邮电大下学 一章：图与网络 Exit
Ch5 Integer Programming
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求最大值的指派问题 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0
设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值 max z
cij xij
ij
将其变换为求最小值
令
M
max i, j
cij
C (M cij )
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020/1/27
指派问题回溯法
指派问题回溯法
指派问题回溯法是一种解决任务分配问题的数学算法。
该方法在实际生活中被广泛应用，如人力资源管理、航空调度、医院排班等领域。
指派问题是一个典型的优化问题，通常可以用线性规划、贪心算法、遗传算法等多种方法求解。
而指派问题回溯法则是其中一种比较简单但有效的算法。
其基本思想是从一个初始解开始，逐步调整已分配的任务或者重新分配未完成的任务，直到找到最优解。
在此过程中，需要注意一些约束条件，如每个任务只能被一个人完成，每个人只能完成一个任务等。
具体来说，指派问题回溯法可以通过以下步骤进行：
1. 初始化：确定初始任务分配方案，并计算当前方案的成本。
2. 变换：对当前方案进行变换，包括交换任务的分配、增加或减少任务等。
3. 评估：计算新方案的成本，并与当前方案进行比较。
4. 更新：如果新方案优于当前方案，则更新任务分配方案，否则保留原方案并返回上一步。
5. 终止：当满足一定条件时，停止迭代并输出最优解。
虽然指派问题回溯法可能不是最优解决方案，但它的优点在于简单易懂，可以快速得到可行解。
因此，在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的算法来解决任务分配问题。
《运筹学》胡运权清华版-5-05指派问题
任务 A
B
C
D
人员
甲
9
17 16
7
乙
12
7
14 16
丙
8
17 14 17
丁
7
9
11
9
解：设决策变量xij,i＝1,2,3,4; j＝1,2,3,4
xij 01
表示分派第i人做第j项工作 表示不分派第i人做第j项工作
任务 A
B
C
D
人员
甲
x11
x12
x13
x14
乙
x21
x22
x23
x24
丙
x31
③反复进行①、 ②两步，直到所有0元素都被圈出 或划掉为止。
注：若遇到在所有的行和列中，0元素都不止一个 时，可任选其中一个0元素加O；然后作一直线覆盖该 列元素（或该行元素）。
对于本例
用一直线覆 盖所在列
第一行只有 一个0元素
2 10 5 0
c'ij
5 0
0 9
3 9 2 9
0 2 0 2
x11
x21
...
xn1
1
...
x1n x2n ... xnn 1
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k， 得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k
C'
c21
cn1
c12 k c22 ... cn2
... c1n k
17 7 17
16 14 14
7 16
-7 -7
17 -8
5.5指派问题
15 12 A1
15
12
A1'
14 10 A2
14
10
A2'
8 7 A3
8 7 A3'
上面的系数矩阵有6行5列，为了使“人”和“事”的数目相同， 引入一件虚拟的事B6，使之成为标准指派问题的系数矩阵：
B1 B2 B3 B4 B5 B6
4 8 4 8 7 9 7 9 6 9 6 9
7 15 12 0 A1
确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法； 当n较大时，可按下列顺序进行 • 从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作， 然后划去所在的列（行）的其它0元素，记作。 •给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作，然后划去所 在行的0元素，记作。 •反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。
•如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路）， 可任选其中一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0 元素。被划圈的0元素即是独立的0元素。
3.作最少数目的直线，覆盖所有0元素（目的是确定系数矩 阵的下一个变换），可按下述方法进行 1） 对没有的行打“✓”号； 2）在已打“✓”号的行中，对 所在列打“✓” 3）在已打“✓”号的列中，对所在的行打“✓”号； 4）重复2）3），直到再也找不到可以打“✓”号的行或列为止； 5）对没有打“✓”的行划一横线，对打“✓”的列划一纵线，这样 就得到覆盖所有0元素的最少直线数。
若某个人可做几件事，则可将该人看做相同的几个人来接受指 派。这几个人作同一件事的费用系数当然都一样。 • 某事一定不能由某人作的指派问题
若某事一定不能由某个人做，则可将相应的费用系数取做足够 大的数M。
例3：对于例2的指派问题，为了保证工程质量，经研究 决定，舍弃公司A4和A5，而让技术力量较强的建设公司A1， A2，A3参加招标承建，根据实际情况，可允许每家建设公司 承建一项或二项工程。求使总费用最少的指派方案。
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§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2012年7月12日星期四 Page 3 of 12
10 0 C ＝ 13 9 3 8 12 5 22 17 16 15 5 0 5 7
§5.5 指派问题 Assignment Problem
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用匈牙利法求解：
10 0 C ＝ 13 9 7 0 C ＝ 8 4 3 8 12 5 0 8 7 0 22 17 16 15 9 7 1 0 5 0 5 7 2 0 0 2 7 0 C ＝ 8 4 0 8 7 0 19 17 11 10 1 2 0 0 2 1
§5.5 指派问题 Assignment Problem
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【定理5.2 】 若矩阵A的元素可分成“ 0”与非“ 0”两部分，则覆盖 “ 0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“ 0”元素（称为 独立元素）的最大个数。 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“ 0”元素，令这些零元 素对应的xij等于1，其余变量等于0，得到最优解。定理5.1告诉我们 如何将效率表中的元素转换为有零元素，定理5.2告诉我们效率表中 有多少个独立的“ 0”元素。 【例5.7 】已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分 配方案。
【定理5.1 】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 （或加上）一个常数ui（被称为该行的位势），从每一列分别减去 （或加上）一个常数vj（称为该列的位势），得到一个新的效率矩 阵[bij]，若其中bij=cij－ui－vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解。这 里cij、bij均非负。
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第三步：用最少的直线覆盖所有“ 0”，得
第四步：这里直线数等于3（等于4时停止 运算），要进行下一轮计算。
（1）从矩阵未被直线覆盖的数字中 找出一个最小的数k，表中k＝3。
9 14 0 3
15 5 0 6
0 0 0 0
9 9 3 0
最优解：
1 X＝
1
即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项。 总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
§5.5 指派问题 Assignment Problem
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2012年7月12日星期四 Page 11 of 12
12 17 3 6 19 9 4 10 0 0 0 0 17 17 11 8
9 14 0 3
15 5 0 6
0 0 0 0
9 9 3 0
Min 3
4
0
8
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
【例】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
甲 85 乙 95 C＝ 丙 82 丁 86 92 87 83 90 73 78 79 80 90 95 90 88
【解】M＝95，令 C (95 cij )
4 9 0 0 10 0 0 3 0 0 5 2 7 7 6 0
§5.5 指派问题 Assignment Problem
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画线， 最少直线数等于4。
4 9 0 0 10 0 0 3 0 0 5 2 7 7 6 0
本章介绍了整数规划的数学模型的特征及其应用； 求解方法有：解一般整数规划用分枝定界法、割平面法； 解0－1规划用隐枚举法； 解指派问题用匈牙利法。 试一试，下例结论是否正确： 1．整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整 得到. 2．部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划. 3．求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界. 4．求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界. 5．变量取0或1的规划是整数规划.
85 95 C＝ 82 86
92 87 83 90
73 78 79 80
90 95 90 88
第五步：最优分配
4 9 0 0 × 10 7 0 × 7 0 × 5 6 0 3 2 0 0
最优解： X＝ 1
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求最大值的指派问题 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0 设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值 将其变换为求最小值 令
M max ij c
i, j
max z cij xij
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回到第三步:用最少的直线覆盖所有“ 0”，得
6 11 0 0 12 2 0 3 0 0 3 0 9 9 6 0
未被直线覆盖元素中最小元素k=2,直线相交处的元素加上2， 未被直线覆盖的元素减去2，被直线覆盖而没有相交的元素不 变，得到下列矩阵
1 1
1
最优值Z＝73＋87＋82＋88＝330
§5.5 指派问题 Assignment Problem
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不平衡的指派问题
当人数m大于工作数n时，加上m－n项工作，例如
5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
【解】最优分配方案是怎样安排四人的工作，使得完成工作总时间 最少，是求最小值问题。 第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中减去最 小元素，有
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
Min
85 95 82 86 92 87 83 90 73 78 79 80 90 73 95 78 90 79 88 80
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
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求解例5.4指派问题的方法：匈牙利算法
匈牙利算法是匈牙利数学家克尼格（Konig）证明了下面两个基本 定理，为计算分配问题奠定了基础。因此，基于这两个定理基础上 建立起来的解分配问题的计算方法被称为匈牙利法。 假设问题求最小值，m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的 效率为cij，效率矩阵为[cij] 。
(2) 直线相交处的元素加上k，未被直线覆盖的元素减去k，被 直线覆盖而没有相交的元素不变，得到下列矩阵
6 11 0 0 12 2 0 3 0 0 3 0 9 9 6 0
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
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6．整数规划的可行解集合是离散型集合. 7．将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解 不变. 8．匈牙利法求解指派问题的条件是效率矩阵的元素非负. 9．匈牙利法可直接求解极大化的指派问题. 1整数解切 割掉. 11．指派问题也是一个特殊的运输问题. 12．指派问题也可用运输问题求其最优解. 13．在用隐枚举求解具有n个变量的0-1规划时需枚举2的n次幂个可 能.
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The End of Chapter 5
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当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
15 6 10 20 5 13 10 4 16 9 7 17
15 6 10 0 20 5 13 0 10 4 16 0 9 7 17 0
§5.5 指派问题 Assignment Problem
i j
C ( M cij )
则 与
min w cij xij
i j
max z cij xij
i j
的最优解相同。
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
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