七年级数学上册难点突破08有理数的乘除试题含解析新版北师大版

专题08 有理数的乘除
【专题说明】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算,并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系,会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念,能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【知识点总结】
一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘,都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时,必须用括号括起来,如－2与－3的乘积,应列为(－2)×(－3),不应该写成－2×－3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇
数个时,积为负；当负因数的个数有偶数个时,积为正；
（2）几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中,每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘,先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0．反之,如果积为0,那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时,要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”,有时,根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”．
二、有理数的除法
1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如－2的倒数是
1
2
-,－2和
1
2
-是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即
1
(0)
a b a b
b
÷=≠.
法则二：两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数,都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数,所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值．
三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果．
四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里面的．
【精典例题】
一、有理数的乘法运算
1、计算：
(1)(－5)×(－4) (2)
11
31
35
⎛⎫
⨯-
⎪
⎝⎭
(3)
5
50
6
⎛⎫
-⨯
⎪
⎝⎭
【思路点拨】(1)、(2)、(3)均为两数相乘,直接运用乘法法则即可．【答案与解析】
解：(1)(－5)×(－4) (两负数相乘)
＝+(5×4) (同号得正,并把绝对值相乘)
＝20 (2)113135⎛
⎫⨯- ⎪⎝⎭
（异号两数相乘） 1
13135⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭
（异号得负,并把绝对值相乘） 10635⎛⎫=-⨯ ⎪⎝
⎭ （化带分数为假分数便可约分） 4=- (3)55006⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭ (任何数同0相乘,都得0)
【总结升华】第一个负因数可以不用括号,但是后面的负因子必须加括号,如(－4)×(－0．25)可以写成－4×(－0.25),但不能写成－4×－0.25．
2、 (1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；
(2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分．几个数相乘,有一个因数为零,积就为零．
(1)54(3)1(0.25)65⎛
⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548
=-⨯⨯⨯=-； (2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘
；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时,积为0．
3、运用简便方法计算：
(1)5105(12)6⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭
(2)(－0.25)×0.5×(－100)×4
(3)111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯
【思路点拨】 (1)根据题目特点,可以把5
1056-折成51056
--,再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律,把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab +ac ＝a (b +c )．
【答案与解析】
解：(1)5105(12)6⎛
⎫-⨯+ ⎪⎝⎭5105(12)6⎛⎫=--⨯+ ⎪⎝⎭ 510512126
=-⨯-⨯（分配律） 1260101270=--=-
(2)(－0.25)×0.5×(－100)×4
＝（－4×0.25）×[0.5×(－100)] （交换律）
＝－1×(－50)＝50（结合律） (3)1
11(5)323(6)3333
-⨯+⨯+-⨯ 11[(5)2(6)]3
9333⎛⎫=-++-⨯=-⨯+ ⎪⎝
⎭ （逆用乘法的分配律） 27330=--=- 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
4、计算：(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；
(2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分．几个数相乘,有一个因数为零,积就为零． (1)54(3)1(0.25)65⎛
⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548
=-⨯⨯⨯=-； (2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘
；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时,积为0．但注意第一个负因数可以不用括号,但是后面的负因子必须加括号.
5、运用简便方法计算： (1) 10.250.5345⎛
⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ；（2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭
【答案与解析】根据题目特点,(1)可以先用乘法交换律把0.25-与4相乘,再运用乘法结合律将0.5与135-相乘．(2)．计算245273927⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭
的值可运用分配律,计算111881717-⨯+⨯的值则可逆用分配律． 解：(1) 原式1611680.250.54(0.254)5255=⨯⨯
⨯=⨯⨯⨯=； （2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭
245112727+2718839271717⎛⎫=⨯+-⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭
1118125(1+)831717
=-++-⨯= 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合． 6、计算：(1)(－32)÷(－8) （2）1
12(1)36÷-
【答案与解析】 (1)(－32)÷(－8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．
(2)117776212363637⎛
⎫⎛⎫⎛⎫÷-=÷-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……用法则一进行计算． 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的,两数相乘除,同号得正,异号得负；(2)除法的两个法则是一致的,应学会灵活选择．
7、计算： 17(49)2(3)33
⎛
⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 【思路点拨】对于乘除混合运算,首先由负数的个数确定结果的符号,同时应将小数化成分数,带分数化成假分数,算式化成连乘积的形式,再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
解：17(49)2(3)33⎛
⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝
⎭
【总结升华】进行乘除混合运算时,往往先将除法转化为乘法,再确定积的符号,最后求出结果．
三：有理数的乘除混合运算
1、计算：9481(16)49
-÷⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中,应按从左到右的运算顺序进行运算.
9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
【总结升华】在有理数的乘除运算中,可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算,应按从左到右的顺序进行．
2、计算：9481(16)49
-÷⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中,应按从左到右的运算顺序进行运算.
9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
【总结升华】在有理数的乘除运算中,可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算,再应按从左到右的顺序进行．
四、有理数的加减乘除混合运算
1、 计算（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-
+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）111351226412⎛⎫⎛⎫-÷-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案与解析】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭
=6－2+9－5=8 （2）法1：原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
法2：由（1）知：1135182641212⎛⎫⎛⎫-
+-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以16295112128-+-+⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．
2、 计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案与解析】
方法1：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12035121303010-+-⎛⎫⎛⎫=-÷=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
方法2：211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭2112(30)1031065⎛⎫=-+-⨯-=- ⎪⎝⎭ 所以121121303106510⎛⎫⎛⎫-
÷-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决,如果按a ÷(b +c ) ＝a ÷b +a ÷c 进行分配就错了． 五：利用有理数的加减乘除,解决实际问题
1、气象统计资料表明,高度每增加1000米,气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃,那么8000米的高空的气温大约是多少?
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米,气温就降低6℃”,8000米的高空比地面高度增加8000米,因此气温降低6×8＝48℃,由此便可求出高空的气温．
【答案与解析】 解：80002762748211000
-⨯=-=-(℃) 因此8000米的高空的气温大约是－21℃．
【总结升华】本题是生活实际中的问题,关键是读懂题意,弄清各数量之间的关系,再列出正确的算式．
六、含绝对值的化简
1、已知a 、b 、c 为不等于零的有理数,你能求出||||||a b c a b c
++的值吗? 【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值,再代入求值．
【答案与解析】
解：分四种情况：
(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时,||||||1113a b c a b c a b c a b c
++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数,一个为负数时,不妨设a 为负数,b 、c 为正数,
||||||1111a b c a b c a b c a b c
-++=++=-++=；
(3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数,两个为负数时,不妨设a 为正数,b 、c 为负数,
||||||1111a b c a b c a b c a b c
--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时,||||||(1)(1)(1)3a b c a b c a b c a b c
---++=++=-+-+-=-
||||b c b c
+的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中,当不知道绝对值里面的数的正负时,需分类讨论.。