三角形垂心的性质总结
三角形垂心性质
三角形垂心性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1中考数学重点：三角形垂心性质三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。
、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/APtanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松（Simson）定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
中考数学重点：三角形的重心定义与性质三角形的重心定义：重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形的垂心与外心的性质比较
三角形的垂心与外心的性质比较三角形是几何学中最常见且重要的形状之一，而三角形的垂心和外心是与三角形内部和外部关联紧密的重要点。
本文将比较三角形的垂心和外心的性质，探讨它们在几何学中的应用。
一、垂心垂心是指三角形内部三条高的交点，也是垂直于三边的高线交于一点的位置。
垂心的性质如下：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，垂心到三个顶点的距离都相等，即AH = BH = CH。
2. 垂心到三角形三边的距离之和最小。
也就是说，垂心到三边的距离之和比其他任何一个点到三边的距离之和都要小。
3. 垂心到三角形三个顶点的连线上，每条连线的中垂线都会经过垂心。
也就是说，三角形的垂心是三条边上中垂线的交点。
垂心在几何学中具有重要的作用。
例如，垂心是三角形三条高的交点，可以用来确定三角形的高线长度与位置，寻找三角形的垂直平分线等。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，也是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心的性质如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，外心到三个顶点的距离都相等，即OA = OB = OC。
2. 外心在三角形的外部。
也就是说，三角形的三个顶点、外心和外接圆上的一点是共圆的。
3. 外心是三角形内部角的中垂线的交点。
也就是说，三角形的外心是三个内角平分线的交点。
外心在几何学中也具有重要的作用。
例如，外心可以用来确定三角形的外接圆的位置、半径和性质，计算三角形的外心角等。
三、垂心与外心的比较垂心和外心都是与三角形内部和外部关联紧密的重要点，它们具有一些相似的性质，比如到三角形的顶点的距离相等等。
但垂心和外心也存在一些区别。
首先，垂心与三角形内部的关系更加密切，是三个高线的交点，而外心则是与三角形外接圆关联紧密的点。
其次，垂心在三角形内部，而外心则在三角形外部。
垂心到三角形三边的距离之和最小，而外心到三角形三点的距离相等。
最后，垂心和外心在几何学中的应用也有所不同。
垂心常用于确定三角形的高线、中垂线等属性，而外心常用于确定三角形的外接圆的性质以及计算外心角等。
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE错误!于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
错误!因为CF⊥AB，BE错误!所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在错误!中，若点O满足错误!，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由错误!得错误!，所以错误!。
同理OB错误!，错误!，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数错误!的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为错误!的垂心，则上面的向量表示得错误!因为错误!的三个顶点都在函数错误!的图象上，所以设错误!，错误!因为错误!，所以错误!所以错误!所以错误! (1)同理：由错误!得错误! (2)三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
(整理)三角形垂心的质总结
三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
三角形的垂心和重心
三角形的垂心和重心三角形是几何学中的重要概念，它由三条线段或边构成，而三角形的垂心和重心则是与三角形相关的两个重要点。
本文将详细介绍三角形的垂心和重心的概念、性质和应用。
一、垂心的定义和性质1. 定义：三角形的垂心是从三个顶点分别作三条高线所交的点。
即三个高线的交点即为三角形的垂心。
2. 性质：a. 垂心到三角形三个顶点的距离相等，即垂心到每个顶点的线段长度相等。
b. 垂心到三角形三边的距离乘积最小，即垂心到三个边上各点的线段长度之积最小。
c. 三条高线在垂心处相交，且垂心到三条高线的距离都为0，即垂心是三个高线的交点。
二、重心的定义和性质1. 定义：三角形的重心是三个顶点和三条中线的交点所构成的点。
即三个中线的交点即为三角形的重心。
2. 性质：a. 重心到三个顶点的距离之和最小，即重心到每个顶点的线段长度之和最小。
b. 重心将三角形的内部面积和外部面积划分成两份，且内部面积是外部面积的2倍。
c. 三条中线在重心处相交，且重心到每个中线的距离都是中线长度的2/3。
三、垂心和重心的关系三角形的垂心和重心有一定的几何关系，具体如下：1. 垂心和重心都处于三角形的内部。
2. 当三角形为等边三角形时，垂心和重心重合于同一点。
3. 当三角形不是等边三角形时，垂心和重心一般不重合。
四、垂心和重心的应用1. 垂心的应用：a. 垂心与外接圆、内切圆的关系：三角形的垂心是三角形外接圆的圆心，与三角形内切圆的切点之一。
b. 垂心与欧拉线的关系：欧拉线是通过三角形的垂心、重心和外心的一条直线，具有重要的几何性质。
c. 垂心与角平分线的关系：三角形的垂心是三个角平分线的交点之一。
2. 重心的应用：a. 重心与面积的关系：三角形的重心将三角形的内部面积和外部面积划分成两份，可以用于计算三角形的面积。
b. 重心与三条中线的关系：三角形的重心是三条中线的交点，用于证明三角形的一些性质和定理。
c. 重心与质心的关系：三角形的重心被认为是三个顶点处物体的质心，可用于物理学或力学上的分析和计算。
如何判断三角形的垂心
如何判断三角形的垂心三角形是几何学中的基本概念，而三角形的垂心则是三角形内部的一个特殊点。
判断三角形的垂心可以通过几种方法，本文将介绍其中两种常用的方法。
一、垂心的定义和性质垂心是指三角形内部到三条边的垂线交点。
对于任意三角形ABC，垂心记作H，其性质如下：1. 垂心H到三角形三个顶点A、B、C的垂线AH、BH、CH等长；2. 垂心H到任一边的垂线所构成的线段上的点，与构成这条边的两个顶点相互颠倒；3. 垂心H与三角形三个顶点A、B、C构成的线段上的点，满足互为共轭的关系；4. 垂心H到三角形三边的距离之和最小。
二、方法一：垂心的几何判断法根据垂心的定义和性质，我们可以通过几何方法来判断三角形的垂心。
具体步骤如下：Step 1：画出给定的三角形ABC；Step 2：以顶点A为中心，以边BC为半径画一个圆，记作圆(O)；Step 3：以顶点B为中心，以边AC为半径画一个圆，记作圆(P)；Step 4：以顶点C为中心，以边AB为半径画一个圆，记作圆(Q)；Step 5：连接圆(O)与圆(P)的交点，记作D；连接圆(O)与圆(Q)的交点，记作E；连接圆(P)与圆(Q)的交点，记作F；Step 6：连接点D、E、F与对应的顶点A、B、C，形成垂线；Step 7：垂线交点H即为所求的垂心。
图示：```B/ \/ \D/_______\E/ H \/__________\A F C```三、方法二：垂心的坐标计算法除了用几何方法判断垂心外，我们还可以利用三角形的坐标来计算垂心的位置。
具体步骤如下：Step 1：设三角形的三个顶点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)；Step 2：计算边AB、AC的斜率，分别记作k1和k2；Step 3：计算垂线BC所在直线的斜率，记作k3，k3为边BC的负倒数；Step 4：计算垂线BC所在直线的截距，记作b3，b3为点B的纵坐标y2加上边BC长度的一半；Step 5：垂线BC所在直线的方程为 y = k3x + b3；Step 6：类似地，可以求得边AC的垂线方程 y = k1x + b1 和边AB 的垂线方程 y = k2x + b2；Step 7：求解垂线方程的交点，即为垂心H的坐标(x, y)。
初中数学 什么是三角形的垂心
初中数学什么是三角形的垂心在初中数学中，三角形的垂心是指一个三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
垂心在三角形的性质和应用中具有重要的作用，下面将详细介绍垂心的性质以及与垂心相关的一些重要概念。
1. 垂心的定义：垂心是指一个三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
换句话说，垂心是使得三条垂直平分线相交于一个点的点。
2. 垂心的存在性：对于任意一个三角形，垂心都是存在的。
这是因为三角形的三条垂直平分线必定会相交于一个点，这个点就是垂心。
3. 垂心与垂直平分线的关系：垂心是三角形的三条垂直平分线的交点。
也就是说，如果你将一个三角形的三条垂直平分线画出来，那么它们将会相交于一个点，这个点就是垂心。
4. 垂心的性质与应用：-垂心到三角形的顶点的距离相等：垂心到三角形的三个顶点的距离相等。
这意味着，从垂心到三角形的每个顶点的距离都是相等的。
-垂心是三角形内心、外心和重心的一个特例：垂心是三角形内心、外心和重心的一个特例。
内心是三角形内接圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心，而重心是三角形三条中线的交点。
垂心同时具有这三个特点，因此可以看作是它们的一个特例。
-垂心对于三角形的性质和应用具有重要作用：垂心在三角形的性质和应用中具有重要作用。
例如，通过利用垂心的性质，我们可以证明三角形的垂心、重心和垂心的连线共线，判断三角形是否为等腰三角形，解决与垂心相关的几何问题等等。
总结起来，垂心是指一个三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
垂心是三角形的三条垂直平分线的交点，具有与垂直平分线相关的性质。
垂心到三角形的顶点的距离相等，是三角形内心、外心和重心的一个特例。
垂心在三角形的性质和应用中具有重要作用。
三角形垂心性质.doc
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在平面几何中，三角形是一个非常重要的概念。
而垂心是三角形中一个重要的点，它具有许多独特的性质和特点。
定义
三角形的垂心指的是三角形的三条高线交于一点的点。
在一个三角形 ABC 中，垂心H 是从点 A、B、C 到相对边 a、b、c 上的垂线交点。
性质
1. 垂足
2. 垂心到三角形三边上所有点的距离相等
垂心到三角形三边上所有点的距离相等，也就是说，垂心离三角形的三边距离相等。
以垂心 H 为圆心，以垂心到三角形三边上所有点的距离为半径，可以得到一个与该三角形外接圆相交的圆。
在所有这样的圆中，以垂心到三角形三边上所有点的距离的平方和最小的圆与该三角形外接圆是切圆。
4. 垂心是对边中垂线的交点
5. 垂心与外心和重心共线
三角形 ABC 的外心 O 和重心 G 与垂心 H 共线，且垂心在 G 和 O 的中点。
这一性质可以表示为 OH = 3OG。
应用
三角形垂心的性质可以应用在许多几何问题中。
例如，可以用垂心的性质求得三角形内切圆的半径，也可以用垂心的性质解决关于三点共线问题。
垂心的性质还可以应用在三角函数的求解过程中。
三角形的垂心与高
三角形的垂心与高三角形是数学中的基本几何形状之一，它由三条线段所构成，而其中的垂心与高则是关于三角形的重要概念。
本文将介绍三角形的垂心与高的定义、性质以及应用。
一、垂心的定义与性质1. 垂线：对于任意给定的三角形ABC，如果通过顶点A作BC边的垂线，通过顶点B作AC边的垂线，以及通过顶点C作AB边的垂线，那么这三条垂线交于一点，称为三角形ABC的垂心H。
2. 性质1：垂心是三角形ABC外接圆的圆心。
3. 性质2：垂心到三角形三个顶点的距离相等。
4. 性质3：垂心到三角形三条边的距离乘积等于常数k，即AH *BH * CH = k（其中k可能等于0，负数或正数）。
二、高的定义与性质1. 高：对于任意给定的三角形ABC，从顶点A所引垂直于边BC的线段AD被称为三角形ABC的高。
2. 性质1：三角形的三条高相交于一点，该点被称为三角形的垂心H。
三、垂心与高的应用1. 定位垂心：垂心可用于定位三角形的位置。
当已知三角形的三个顶点坐标时，可以通过求解垂心的坐标来确定这个三角形的位置。
2. 求解垂心到边的距离：通过垂心的定义和性质，可以求解垂心到三角形各条边的距离。
这个距离在许多三角形的几何问题中有着重要的应用。
3. 利用垂心性质解决几何问题：垂心的定义和性质是解决许多与垂线、内切圆、外接圆等相关的几何问题的基础。
通过运用垂心定理，我们可以推导出一系列与三角形相关的结果。
总结：本文介绍了三角形的垂心与高的定义、性质以及应用。
垂心是三角形三条垂线的交点，具有很多重要性质，如垂心为三角形外接圆的圆心以及垂心到三个顶点的距离相等。
高是从顶点引垂直于底边的线段，三角形的三条高相交于一点，也就是垂心。
垂心与高在几何学中具有广泛的应用，不仅可以用于定位三角形的位置，还可以求解垂心到边的距离，并通过垂心的性质解决各种几何问题。
掌握了垂心与高的概念与性质，我们可以更深入地理解和研究三角形的几何性质，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
三角形的垂心与中心
三角形的垂心与中心三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。
本文将探讨三角形的垂心与中心，包括定义、性质和应用等方面。
1. 三角形的垂心垂心是指一个三角形内三条高线的交点，这个点被称为三角形的垂心。
三角形的高线是指由三个顶点和对应边的垂直平分线所决定的线段。
垂心通常用字母H表示。
三角形的垂心具有以下性质：- 垂心是三条高线的交点，因此垂心到三条边的距离分别相等，即AH = BH = CH；- 垂心到三个顶点的连线上的任意一点，与垂心连线的长度相等，即AH = BH = CH；- 垂心到三个顶点的连线上的任意一点，与垂心连线的夹角相等；- 三角形的垂心在三角形内部时，垂心到三条边的距离比较短；当垂心在三角形外部时，垂心到三条边的距离比较长。
2. 三角形的中心三角形的中心是指三角形内各种特殊点的交点，常见的包括重心、外心、内心和垂心等。
在本文中主要讨论三角形的重心和外心。
- 重心：三角形的重心是三条中线的交点，中线是指由三个顶点和对边中点所决定的线段。
重心通常用字母G表示。
重心具有以下性质： * 重心到三角形三个顶点的距离相等；* 重心到三个顶点的距离比垂心到三个顶点的距离短；* 如果三角形的三边相等，则重心和外心重合。
- 外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，垂直平分线是指由三个顶点和对边中点垂直的线段。
外心通常用字母O表示。
外心具有以下性质：* 外心到三个顶点的距离相等；* 外心到三个顶点的连线上的任意一点，与外心连线的长度相等；* 如果三角形的三边相等，则外心和重心重合。
3. 三角形垂心和中心的应用垂心和中心是三角形研究中常用的重要概念，具有广泛的应用。
- 当我们需要确定一个三角形的高线、中线或垂直平分线时，垂心和中心的定义和性质为我们提供了准确的方向。
- 在三角形的计算中，垂心和中心是常用的重要参考点，可以帮助我们计算三角形的面积、周长、内接圆半径等。
- 在建筑设计、地理测量、几何建模等领域中，垂心和中心的概念和性质也具有重要的应用价值。
三角形的垂心外心和重心
三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。
一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。
在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。
垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。
也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。
2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。
也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。
3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。
外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。
外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。
2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。
3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。
4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。
三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。
也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。
2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。
3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。
4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。
以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。
这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。
研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。
三角形的垂心与外切圆的性质解析
三角形的垂心与外切圆的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有许多有趣的性质和特征。
其中，垂心与外切圆是三角形中重要的概念和性质之一。
本文将对三角形的垂心和外切圆的性质进行详细解析。
一、垂心的定义与性质1. 垂心的定义对于任意一个三角形ABC，我们可以找到三条高分别由顶点A、B、C引出，而这三条高线交于同一点H，这个点H就被称为三角形ABC的垂心。
2. 垂心的性质（1）垂心到三角形三边的距离相等垂心H到三角形ABC的三边AB、BC、AC上的垂足分别为D、E、F，则有DH=EH=FH。
（2）垂心是三角形外接圆圆心垂心H是经过三角形ABC三个顶点的外接圆的圆心。
（3）垂心到三角形外心的连线上等分角垂心H到三角形ABC外心O的连线OH将角BAC分成两个相等的角。
二、外切圆的定义与性质1. 外切圆的定义对于任意一个三角形ABC，如果存在一个圆，既能够与三角形的三条边相切，又能够经过三角形的三个顶点，则这个圆被称为三角形ABC的外切圆。
2. 外切圆的性质（1）外切圆的半径等于三角形的外接圆半径三角形ABC的外切圆的半径R等于三角形ABC的外接圆半径R。
（2）外切圆的圆心与垂心和重心共线外切圆的圆心和垂心、重心共线，并且位于垂心和重心连线的延长线上。
（3）外切圆的圆心到三角形三边的距离相等外切圆的圆心与三角形ABC的三边的距离相等，且等于外切圆的半径R。
三、垂心和外切圆的关系通过上面的介绍可以看出，垂心和外切圆在三角形中具有密切的联系和重要的性质。
下面将介绍垂心和外切圆的一些关系。
1. 垂心到外切圆的距离等于外切圆的半径若垂心H到外切圆的圆心O的距离为d，则有d = OH = R，其中R为三角形ABC的外接圆半径。
2. 外切圆的圆心和垂心、外心共线外切圆的圆心O与垂心H、外心G（三角形ABC的外接圆圆心）共线，并且位于HG的延长线上。
3. 外切圆的半径与垂心到三角形三边的距离的关系设垂心H到三角形的三边AB、BC、AC的距离分别为x、y、z，则外切圆的半径R满足以下关系式：1/R = 1/x + 1/y + 1/z。
三角形的垂心与内接圆的性质解析
三角形的垂心与内接圆的性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，其性质和特征一直是研究的热点之一。
本文将从三角形的垂心和内接圆两个方面进行解析，介绍它们之间的关系和性质。
一、三角形的垂心垂心是指三角形外接圆上三条高线的交点，通常用H表示。
垂心具有以下性质：1. 垂心到三个顶点的连线上的线段相互垂直。
证明：设垂心为H，连接AH、BH和CH。
根据垂心的定义，AH与BC垂直，同理BH与AC，CH与AB也都垂直。
2. 垂心到三个顶点的连线上的线段相互交于一点。
证明：设垂心为H，连接AH、BH和CH。
根据垂心的定义，AH与BC、BH与AC、CH与AB都垂直。
根据垂直线的性质，在平面上，三个互相垂直的直线总是相交于一点，垂心H就是这个交点。
3. 垂心到三个顶点的连线上的线段长度是不相等的。
证明：设垂心为H，连接AH、BH和CH。
根据垂心的定义，AH与BC、BH与AC、CH与AB都垂直。
根据直角三角形的性质，斜边长度大于直角边的长度，因此AH > BH > CH。
二、三角形的内接圆内接圆是指与三角形的三条边相切于一点的圆，通常称为三角形的内切圆。
内接圆具有以下性质：1. 内接圆的圆心是三角形三条三角形的垂直平分线的交点。
证明：设圆心为O，连接圆心O到三角形的三个顶点A、B和C。
根据内接圆的定义，圆心O到边AB、BC和AC分别与边AB、BC和AC相切。
由于切线与半径垂直，所以垂直于边AB的直线AO、垂直于边BC的直线BO和垂直于边AC的直线CO都经过圆心O，即交于一点。
2. 三角形的三条边与内接圆的切点是三角形的接点（也称为旗点）。
证明：设圆心为O，连接圆心O到三角形的三个顶点A、B和C。
根据内接圆的定义，圆心O到边AB、BC和AC分别与边AB、BC和AC相切。
由于切线与半径垂直，所以切点就是垂心到三个顶点连线的交点。
3. 内接圆的半径等于三角形的周长与面积的比值的一半。
证明：设三角形的周长为L，面积为S。
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三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
三角形垂心的所有结论
三角形垂心的所有结论
三角形垂心是三角形三条高线的交点，它具有以下性质:
1. 三角形垂心到三角形各顶点的距离相等。
2. 三角形垂心到三角形各边的距离相等。
3. 三角形垂心到对边的中点距离是垂心到对边的垂足距离的 2 倍。
4. 三角形垂心平分每条高线的一半。
5. 三角形垂心是三角形重心、外心和内心线的交点。
6. 三角形垂心到三角形内心的距离是到三角形重心的距离的 2 倍。
7. 三角形垂心到三角形顶点的垂足距离是到对边的中点距离的2 倍。
8. 三角形垂心到三角形各边的距离是到对边的垂足距离的 2 倍。
9. 三角形垂心到三角形各顶点的垂足距离相等。
10. 三角形垂心是三角形各顶点的垂心。
这些结论有助于我们在解题时快速找到三角形垂心的位置和性质，从而更好地理解和掌握三角形垂心的概念和应用。
中考数学复习知识点：三角形垂心
中考数学复习知识点：三角形垂心三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。
5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△AB O，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
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三角形垂心的性质总结
山西省原平市第一中学任所怀
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD BC即可。
因为CF AB，BE
所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形
所以∠AFC=∠ADC=90°
即AD BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）
所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE
所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：
若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得
因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，
因为，所以
所以
所以 (1)
同理：由得 (2)
联立（1）（2）两式，就可解出
显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
（2005年全国一卷理科）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =
分析：H显然为的垂心，我们可取特殊情况来猜想m的值。
于是我取为直角三角形，角A为直角，此时H点与A点重合，且O为BC的中点（如图所示）。
此时，于是猜想m=1.
而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理3：的外心为O，垂心为H，则。
证明：作出的外接圆和外接圆直径AD，连接BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角，所以有，
因为H为的垂心，所以
所以HC//BD，BH//DC,所以四边形BDCH为平行四边形，所以。
因为，且
所以。
点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。
以此为背景出高考题，也确实体现了命题者深厚的知识功底。
三角形垂心性质定理3：
三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
即：的外心为O，垂心为H，D为BC中点，则AH=2OD。
证明：因为D为BC中点
所以
由性质2知：得
所以AH=2OD。
点评：性质定理3，也可看做是性质定理2的推论。
三角形垂心性质定理4：
锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
分析：应用上面的性质定理3，上面这一结论可改为
锐角三角形的外接圆与内切圆径之和等于外心到三角形三边距离之和。
即：如图在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点。
设外接圆半径为R，内切圆半径为r,则OD+OE+OF=R+r.
证明：在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点，则OF，，
所以有
=
设中角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.
在圆O中，弧AB所对的圆心角=2C
又因OA=OB，OF，所以
OF=OA*cosC=RcosC。
同理OD=R*cosB, OE=R*cosA
所以
而由三角形内切圆的性质知：
所以
这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。
而要证OD+OE+OF=R+r，
需证：RcosA+RcosB+RcosC=R+
即需证
需证(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c
而对上式的证明我们可采用正弦定理，化角为边，
即需证：
sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sin B+sinC
需证：sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC
而因为A+B+C=所以sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC 显然成立
所以命题得证。
点评：此题的证明充分联系我们初高中的大量知识，真是做到了“八方联系，浑然一体”（孙维刚老师语）。
通过这样的一个问题，我们的数学能力将大大提高。
三角形垂心性质定理5：
H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
此定理的证明相对简单，读者不妨自已试试。
在此提出这个性质，主要是看到这里存在的一种广义对称性，即四个点中每一点都可为垂心。
这个结论进一步提醒我们要经常换个角度相问题。
三角形垂心性质定理6：
H为△ABC的垂心，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。
而这两圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。
的直径为，的直径为，
因为HD，
所以四边形BEHD是圆内接四边形
所以
所以sinB=sin
所以=
所以，的外接圆为等圆。
同理△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
证明略。
点评：该题的证明过程中，应用到了性质1中的圆内接四边形性质和正弦定理。
这也正是在提示我们要注意八方联系。
以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结，当然也难免还有其它性质，我还没有发现。
我写文章的目的，也就是在于启发读者经常进行总结，在总结中我们才会有新的发现和创新。