拉普拉斯变换、复频域分析习题课

拉普拉斯变换、复频域分析习题课
1. 求下列函数的拉氏变换。

（1）1at e
-- （2）sin 2cos t t + （3）2t te - （4）sin(2)t e t -
（5）(12)t t e -+ （11）1()t t e e αββα
---- （13）(2)(1)t te u t --- （15）()t
a t e f a
-，设已知[()]()L f t F s = 解：（1）11[1]()
at a L e s s a s s a --=-=++ （2）2221221[sin 2cos ]111s s L t t s s s ++=
+=+++ （3）221[](2)
t L te s -=+ （4）22[sin(2)](1)4
t L e t s -=++ （5）23[(12)](1)t
s L t e s -++=+ （11）11111[()]()()()
t t L e e s s s s αββαβααβαβ---=+=--++++ （13）由于(2)(1)(1)(1)[(1)](1)t t t te
u t e t e e u t -------=-+- （15）[()](1)t
a t L e f aF as a
-=+
2求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。

（1）()(2)t
f t e u t -=- （2）(2)()(2)t f t e u t --=- （3）(2)()()t f t e u t --= （4）()sin(2)(1)f t t u t =-
（5）()(1)[(1)(2)]f t t u t u t =----
解：（1）因为(2)2()(2)t f t e
e u t ---=-，所以 2
22(1)11[()]11s s L f t e e e s s ---+==++ （2）21[()]1
s L f t e s -=+ （3）因为2()()t f t e e u t -=，所以
2
[()]1
e L
f t s =+ （4） ()sin[2(1)2](1) {sin[2(1)]cos 2cos[2(1)]sin 2}(1)
f t t u t t t u t =-+-=-+-- 2222cos 2sin 22cos 2sin 2[()]()444
s s s s L f t e e s s s --+=+=+++ （5）()(1)(1)(2)(2)(2)f t t u t t u t u t =-------
222221111[()][1(1)]s s s s s L f t e e e s e e s s s s
-----=--=-+ 3求下列函数的拉普拉斯逆变换。

（1）11
s + （2）423s + （3）4(23)s s + （4）21(5)
s s + （5）
3(4)(2)s s ++ （6）3(4)(2)s s s ++
4 电路如图4-8所示，t=0以前开关位于“1”，电路已进入稳定状态，t=0时开关从“1”倒向“2”，求电流()i t 表达式。

图4-8 图4-9
解：开关S 位于“1”时
(0)2
c E u -= 画出0t ≥时电路的s 域等效电路，如图4-9所示，将初始电压等效为电压源。

列方程有 1()()2E sL I s sC s
+
= 即 22()1E L I s s LC =+
所以
())()i t u t = 5 图4-29所示几幅s 平面零、极点分布图，分别指出它们是否是最小相移两络函数。

如果不是，应由零、极点如何分布的最小相移网络和全通网络来组合。

图4-29
解： (a) 图4-29 (a)的零点位于左半平面，因此此网络是最小相移网络。

(b) 3非最小相移网络，可以通过如图4－30 (a)所示的最小相移网络与如图4-30（b ）所示的全通网络的级联来实现。

(c)非最小相核网络，可以通过如图4-30 (c)所示的最小相移网络与如图4-30（d ）所示的全通网络的级联来实现。

(d)非最小相移网络，可以通过如图4-30 (e)所示的最小相移网络与如图4-30（f ）所示的全通网络的级联来实现。

6 求出题7-37图所示连续时间系统的系统函数并确定使系统稳定的常数β。

()
Y s ()F s 1s 22s +β
解：该系统由两个反馈环路构成。

根据系统的联结可知，反馈环路的系统函数可由式(7-4)得到，即
()()()()
1121H s H s H s H s =+ 根据这一关系式，先求出由)2
2s +和β构成的反馈环路的系统函数()1H s ，再求出整个系统的系统函数()H
s ，
最后由()H s 的极点在s 平面的左半平面这一条件求出使系统稳定的常数β。

()12
2222212
s H s s s ββ+==++++ ()()()()()
()12121222122221122H s s s s H s s s H s s s s βββ++===+++++++ 要使()H s 的极点在s 平面的左半平面，应有220β+>，即1β>-时，系统稳定。

7. 已知网络函数()H s 的极点位于3s =-处，零点在s a =-，且()1H ∞=。

此网络的阶跃响应中，包含一项为31t K e -。

若a 从0变到5，讨论相应的1K 如何随之改变。

解：()1H ∞=的网络函数的常系数为1，即()3s a H s s +=
+ 输出的象函数1131()()()333
s a a a R s H s s s s a s s +-===⋅-⋅++ 阶跃响应33()()33t a a r t e u t --⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 133a K -=-所以1213K -从变到。