【人教A版】2017-2018学年数学选修1-2优化练习：第三章 章末检测 Word版含解析
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2学业分层测评：
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图4-1-6所示流程图中，判断正整数x是奇数还是偶数，判断框内的条件是()图4-1-6A．余数是1？B．余数是0?C．余数是3? D．余数不为0?【解析】依据判断框的出口进行选择，出口为“是”时x为偶数．故判断框内应该填“余数是0？”．【答案】 B2．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是() A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.【答案】 C3．如图4-1-7，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是()【导学号：81092059】图4-1-7A．26 B．24C．20 D．19【解析】由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】 D4．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为() A．17分钟B．19分钟C．23分钟D．27分钟【解析】把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．【答案】 A5．阅读下边的程序框图4-1-8，运行相应的程序，则输出S的值为()图4-1-8A．2 B．4C．6 D．8【解析】S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.【答案】 B二、填空题6．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图4-1-9所示，则空白处应为________.【导学号：81092060】图4-1-9【解析】由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．【答案】a＝4，b＝27．如图4-1-10是计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图，判断框中应填的内容是________，处理框中应填的内容是________．图4-1-10【解析】用i来表示计数变量，故判断框内为“i>99？”，处理框内为“i＝i＋2”．【答案】i>99？i＝i＋28．执行如图4-1-11所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．图4-1-11【解析】第1次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，a<b，此时i＝2；第2次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，a<b，此时i＝3；第3次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a>b，输出i＝3.【答案】 3三、解答题9．设计一个计算1＋2＋…＋100的值的程序框图．【解】程序框图设计如下：10．数学建模过程的流程图如图4-1-12.图4-1-12根据这个流程图，说明数学建模的过程．【解】数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，如果不合乎实际，进行修改后重新提出问题．如果合乎实际，则成为可用的结果．[能力提升]1．某工厂加工某种零件的工序流程图如图4-1-13：图4-1-13按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序()A．3B．4C．5D．6【解析】由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序．【答案】 B2．执行两次如图4-1-14所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为()图4-1-14A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.8【解析】 第一次：a ＝－1.2<0，a ＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2<0，a ＝－0.2＋1＝0.8>0，a ＝0.8≥1不成立，输出0.8.第二次：a ＝1.2<0不成立，a ＝1.2≥1成立，a ＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.【答案】 C3．如图4-1-15所示算法程序框图中，令a ＝tan 315°，b ＝sin 315°， c ＝cos 315°，则输出结果为________.【导学号：81092061】图4-1-15【解析】 程序框图的算法是求出a ，b ，c 三个数中的最大值．对于tan 315°＝－1，sin 315°＝－22，cos 315°＝22，故输出的结果为22.【答案】 224．某市环境保护局信访工作流程如下：(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办；(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈；(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．据上画出该局信访工作流程图．【解】流程图如图所示．。
高中数学人教版选修1-2同步培优课时作业(含答案)第三章 变化率与导数 精品资料 改好76页
第三章 导数及其应用§3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课时目标1.导数概念的实际背景.2.函数在某一点附近的平均变化率.3.导数的定义求函数在某点处的导数．2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0limx →Δy Δx＝____________，我们称它为函数y =f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 或即f ′(x 0) ＝0limx→Δy一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0limx →f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于 ( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.1at 0 D ．2at 07．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位臵)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－f ′(x 0)．]5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4.10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx ) ＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx＝lim Δx →[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt ＝li m Δt →0 ΔsΔt＝at 0.由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. §3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y ＝f (x )＝c 的导数为____________，它表示函数y ＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y ＝f (x )＝x 的导数为__________，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝______； (2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝________； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________； (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝________ (a >0)； (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝________；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝________ (a >0，且a ≠1)； (8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．1105237．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________．8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________. 9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．13．求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度 静止 y ′＝1 瞬时速度 匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x.]2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227， 所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ， 得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)， 即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]． ∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3， ∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.]7．x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0.8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.(4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝nn ＋1.a n ＝lg x n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2. 13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e，∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能综合利用求导公式和导数的四则运算法则求解导函数．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝____________； (2)[cf (x )]′＝________ (c 为常数)； (3)[f (x )·g (x )]′＝______________；(4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝________________ (g (x )≠0)．一、选择题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 32．曲线y ＝x e x＋1在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＋2＝03．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－84．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94e 2 C ．2e 2D ．e 26．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋17．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.9．已知函数f (x )＝x 2·f ′(2)＋5x ，则f ′(2)＝______. 三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝x ＋cos x x －cos x；(2)y ＝2x cos x －3x log 2 009x ； (3)y ＝x ·tan x .11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)答案知识梳理 (1)f ′(x )±g ′(x ) (2)c ·f ′(x ) (3)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2作业设计1．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．]2．A [y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1， 即x －y ＋1＝0.]3．A [∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 4．D [由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 5．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x ＝2＝e 2.∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.] 6．A [y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1.]7．y ＝2x ＋3解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3. 8.12516解析 ∵s ′＝2t －3t2， ∴v ＝s ′|t ＝4＝8－316＝12516(m/s)． 9．－53解析 ∵f ′(x )＝f ′(2)·2x ＋5，∴f ′(2)＝f ′(2)×2×2＋5，∴3f ′(2)＝－5，∴f ′(2)＝－53. 10．解 (1)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (2)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 009 x ＋(log 2 009x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 009 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 009 e x ]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e.(3)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 11．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．D [y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1e x ， ∵e x ＋1e x ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0， ∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.]13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线 x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．3．求函数单调区间的步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)确定f(x)的单调区间．一、选择题1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．sin x B．x e xC．x3－x D．ln x－x4．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是()A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0]7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．11.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．能力提升12．判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3 导数在研究函数中的应用3．3.1 函数的单调性与导数答案知识梳理1．f ′(x )>0 f ′(x )<0 单调递减 f ′(x )＝02．变化得快 陡峭 平缓作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.]3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D 中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.] 4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．]5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x，函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x≥0， ∴a ≥1x .由x >12得1x<2， 要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.] 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0， ∴a ≤－3.9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x， 由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0， 得0<x <12， ∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，12. 11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3， 即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3.当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．3.1.3导数的几何意义课时目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了________________________________________．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么 ()A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是 ()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P (1，－3)且与曲线y ＝x 2相切的直线的斜率．11．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1 (a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．能力提升12．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．13．在曲线E ：y ＝x 2上求出满足下列条件的点P 的坐标．(1)在点P 处与曲线E 相切且平行于直线y ＝4x －5；(2)在点P 处与曲线E 相切且与x 轴成135°的倾斜角．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0lim x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x0)＝f′(x0) (x －x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3．1.3 导数的几何意义答案知识梳理1．f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况3．导函数 导数 lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 作业设计1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝lim Δx →02(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx ＝lim Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.] 3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．]4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．]6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．] 7．－1解析 由偶函数的图象和性质可知应为－1.8．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x . ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7 ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12. 13．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， 设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．(2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.3.3.3 函数的最大(小)值与导数课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．最大值：如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有______________，则称f (x 0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )的图象是一条______________的曲线，那么f (x )必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．3．一般地，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的________；(2)将f (x )的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )A ．f (1)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)3．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e 2 C ．当x ＝0时，y ＝0 D ．当x ＝12，y ＝12e 4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－3 B.1 C ．－1 D ．－1或－37．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为__________________． 9．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．三、解答题10．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．11．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝12x 2e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a 、b 的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．3.3 函数的最大(小)值与导数答案知识梳理1．f (x )≤f (x 0) 定义域上2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近3．(1)极值 (2)端点处的函数值f (a )，f (b ) 最大 最小作业设计1．D [函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值．]2．D [f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝2.∵f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6.∴最大值为f (5)，最小值为f (2)．]3．A [y ′＝e x －x ·e x (e x )2＝1－x e x ，令y ′＝0得x ＝1. ∵x ＝0时，y ＝0，x ＝1时，y ＝1e ，x ＝2时，y ＝2e 2， ∴最大值为1e(x ＝1时取得)．] 4．A [y ′＝12x －121－x.由y ′＝0，得x ＝12. 又0<x <12时，y ′>0，12<x <1时，y ′<0， 所以y max ＝ 12＋ 1－12＝ 2.] 5．B [∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.]6．C [y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或 a ＝－32(舍去)．] 7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8.⎣⎡⎦⎤12，12e π2解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤12e π2. 9．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.10．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x . 令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3. ∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0，当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.11．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1. 因为f (－13)＝8627， f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．12．解 (1)f ′(x )＝x e x ＋12x 2e x ＝e x 2x (x ＋2)．由e x 2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间，由e x 2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0， ∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0.故m 的取值范围为(－∞，0)．13．解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3ax 2－12ax .令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4.∵4∉ [－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得，f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ，f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3，最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3， 当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29， 综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.第三章 章末检测 (A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( )A ．(－1,3)B ．(－1，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2,3)2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( )A ．(－∞，－1)及(0,1)B ．(－1,0)及(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠0 5．函数y ＝x 2－4x ＋1在[0,5]上的最大值和最小值依次是( )A ．f (5)，f (0)B ．f (2)，f (0)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (2)6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为( )A ．－log 2 0102 009B ．－1C ．(log 2 0102 009)－1D ．17．方程－x 3＋x 2＋x －2＝0的根的分布情况是( )A ．一个根，在（－∞，－13）内 B ．两个根，分别在（－∞，－13）、(0，＋∞)内 C ．三个根，分别在（－∞，－13）、（－13，0）、(1，＋∞)内 D ．三个根，分别在（－∞，－13）、(0,1)、(1，＋∞)内 8．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )A.827πB.1627πC.89πD.169π 10. 已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )11．函数f (x )＝ln x －x 2的极值情况为( )A ．无极值B ．有极小值，无极大值C ．有极大值，无极小值D ．不确定12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8x 22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 14．f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是________． 15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________________________________________________________________________．16．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)当x ∈（0，π2）时，证明：tan x >x .18．(12分)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．若规划建设的仓库是高度与AB 的长相同的长方体建筑，问AB 长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)19.(12分)已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积．20．(12分)要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r 和高h 之比为何值时造价最省？21.(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第三章 导数及其应用(A) 答案1．B [∵f ′(x )＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1.f (－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M (－1，－3)．]2．A [y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．]3．D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由f (x )在x ＝－3时取得极值，即f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.]4．C [f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，等价于f ′(x )＝0有两个不等实根，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ≠0， Δ＝4－12a >0. 解得a <13且a ≠0.] 5．D [y ′＝2(x －2)．x ＝2时，y ′＝0；x <2时，y ′<0；x >2时，y ′>0.∴x ＝2是极小值点，f (2)＝－3；又f (0)＝1，f (5)＝6，故f (5)是最大值，f (2)是最小值．]6．B [∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1. 所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2 010(12·23·…·2 0092 010)＝log 2 01012 010＝－1.]7．A [令f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1，令－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝1，或x ＝－13，故函数f (x )在x ＝1和x ＝－13处分别取得极大值f (1)＝－1和极小值f ⎝⎛⎭⎫－13＝－5927，据此画出函数的大致图象，可知函数图象与x 轴只有一个交点，即方程只有一个根，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内．] 8．A9．A [设圆柱横截面圆的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2.∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3，∴V ′＝2πR (2－3R )＝0.令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23. 经检验知，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49×23＝827π.] 10．A [∵(－∞，－2)时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]11．C [因为f (x )＝ln x －x 2，所以f ′(x )＝1x－2x ， 令f ′(x )＝0得x ＝22 (x ＝－22舍去)． 当0<x <22时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x >22时，f ′(x )<0，函数单调递减．所以函数f (x )＝ln x －x 2在x ＝22处取得极大值，无极小值．] 12．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 令x ＝0得y ＝－a 2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 13．a ≥3解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a ≥3x 2， x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.14．3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝3.15．(－2,15)解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.又∵P 点在第二象限内，∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)．16．21解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧ －2＋4＝－2a 3 －2×4＝b 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－24. ∴a －b ＝－3＋24＝21.17．证明 构造函数f (x )＝tan x －x ，判断f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调性． 设f (x )＝tan x －x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′－1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x－1 ＝1cos 2x －1＝1－cos 2x cos 2x＝tan 2x >0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数． 又∵f (x )＝tan x －x 在x ＝0处可导且f (0)＝0，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )>f (0)恒成立， 即tan x －x >0.∴tan x >x .18．解 因为DC AM ＝ND AN，且AM ＝30，AN ＝20.。
2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2：章末评估验收卷(三)含答案
章末评估验收卷(三)(时间：120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．复数i(2－i）＝（）A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i解析：i（2－i)＝2i－i2＝2i＋1＝1＋2i.答案：A2．若复数z＝错误!，其中i为虚数单位，则错误!＝( )A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：z＝错误!＝错误!＝1＋i，所以错误!＝1－i.答案：B3．若复数z＝1＋i,错误!是z的共轭复数,则z2＋错误!2的虚部为( ) A．0 B．－1C．1 D．－2解析：因为z＝1＋i，则错误!＝1－i。
则z2＋错误!2＝(1＋i)2＋(1－i）2＝2i－2i＝0。
因此z2＋错误!2的虚部为0.答案:A4．i是虚数单位,计算i＋i2＋i3＝（)A．－1 B．1C．－i D．i解析：i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1。
答案：A5．复数z满足(z－3)（2－i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数错误!为（)A．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i解析：因为（z－3）（2－i）＝5，所以z－3＝错误!＝2＋i，所以z＝5＋i，所以z－＝5－i.答案：D6．z1＝(m2＋m＋1）＋（m2＋m－4）i，m∈R,z2＝3－2i，则m ＝1是z1＝z2的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分又不必要条件解析:因为z1＝z2⇔错误!⇔m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．答案：A7．已知错误!＝1＋i，则复数z在复平面上的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由已知错误!＝（1＋i）（3＋i）＝2＋4i,所以z＝2－4i，对应点为(2，－4)，在第四象限．答案：D8．已知a，b∈R，i是虚数单位,若（a＋i）(1＋i）＝b i,则a＋b i ＝（)A．－1＋2i B．1＋2iC．1－2i D．1＋i解析：由（a＋i)（1＋i）＝b i，得a－1＋（a＋1)i＝b i,所以错误!解得错误!所以a＋b i＝1＋2i。
2018学年数学人教A版选修2-3优化练习：第三章 章末检测
章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．下列说法正确是()A．相关关系是一种不确定关系，回归分析是对相关关系分析，因此没有实际意义B．独立性检验对分类变量关系研究没有100%把握，所以独立性检验研究结果在实际中也没有多大实际意义C．相关关系可以对变量发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误D．独立性检验如果得出结论有99%可信度，就意味着这个结论一定是正确解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差条件下可以对生产与生活起到一定指导作用，独立性检验对分类变量检验也是不确定，但是其结果也有一定实际意义．故选C.答案：C2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：图(1)中随x增大y减小，图(2)中随u增大v增大．答案：C3．如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科等高条形图，阴影部分表示喜欢理科百分比，从图可以看出()A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科比例约为80%C．男生比女生喜欢理科可能性大些D．男生中不喜欢理科比例约为60%解析：由图可知，女生中喜欢理科比例约为20%，男生中喜欢理科比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科可能性大些．答案： C4．通过随机询问110名性别不同大学生是否爱好某项运动，得到列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得K 2观测值k ＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到正确结论是( A ．有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误概率不超过0.1%前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误概率不超过0.1%前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析：因为k ≈7.8>6.635，所以相关概率大于1－0.010＝0.99，所以选A. 答案：A5．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第3组D ．第5组解析：通过散点图选择，画出散点图如图．应除去第3组，对应点是(－3,4)．故选C.答案：C6．对于一组具有线性相关关系数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中截距为( ) A ．a ＝y ＋b ^xB ．a ＝y ＋b ^xC ．a ＝y －b ^x D ．a ＝y －b ^x解析：由回归直线方程恒过(x －，y －)定点． 答案：D7．假设有两个分类变量X 和Y ，它们可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下：A ．a ＝9，b ＝8，c ＝7，d ＝6B ．a ＝9，b ＝7，c ＝6，d ＝8C ．a ＝8，b ＝6，c ＝9，d ＝7D ．a ＝6，b ＝7，c ＝8，d ＝9解析：对于同一样本|ad －bc |越小，K 2越小，说明X 与Y 之间关系越弱，|ad －bc |越大，K 2越大，说明X 与Y 之间关系越强． 答案：B8．在某种新型材料研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：现准备用下列四个函数中一个近似地表示这些数据规律，其中最接近一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2 xD ．y ＝(12)x解析：把x 值分别代入A 、B 、C 中函数，得函数值与真实值比较易知B 中函数最接近． 答案：B9．某人研究中学生性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联可能性最大变量是( ) 表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量解析：根据K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，代入题中数据计算得D选项K2最大．故选D. 答案：D10．某调查机构调查教师工作压力大小情况，部分数据如表：A．0.01 B．0.05C．0.10 D．0.005解析：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(c＋d)(d＋b)＝100×(53×1－12×34)287×13×65×35≈4.9＞3.841，因此，在犯错误概率不超过0.05前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系．答案：B11．如表及图是某同学记载5月1日至5月12日每天某市某种传染病患者治愈者数据及根据这些数据绘制出散点图.下列说法中，正确有( )①根据此散点图可以判断日期与人数具有线性相关关系； ②根据此散点图可以判断日期与人数具有一次函数关系； ③根据此散点图可以判断日期与人数具有非线性相关关系． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有①正确．故选B. 答案：B12．对具有线性相关关系变量x ， y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a 等于( ) A.116 B.18 C.14D.12 解析：由x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，得x ＝34，y ＝38.由于回归直线方程y ^＝13x ＋a 过样本点(x ，y )，则y ＝13x ＋a ，解得a ＝18.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．对于线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x ，当x ＝3时，对应y 估计值是17，当x ＝8时，对应y 估计值是22，那么，该回归直线方程是________，根据回归直线方程判断当x ＝________时，y 估计值是38.解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.令x ＋14＝38，可得x ＝24.即当x ＝24时，y 估计值是38.答案：y ^＝x ＋14 2414．对有关数据分析可知，每立方米混凝土水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目需要，28天后混凝土抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土水泥用量最少应为________kg. 解析：∵y ^≥89.7，∴0.30x ＋9.99≥89.7， ∴x ≥265.7，故水泥用量最少应为265.7 kg. 答案：265.715．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则这四位同学中，________解析：由题表可知，丁同学相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学试验结果体现A ，B 两变量有更强线性相关性． 答案：丁16. 下列说法正确有________(填写你认为正确序号)．①线性回归方法就是利用样本点去寻找一条贴近这些样本点直线数学方法； ②利用样本散点图可以直观判断两个变量关系是否可用线性关系表示；③通过线性回归方程y ^＝b ^＋a ^x 及回归系数b ^，可以估计和预测变量取值及变化规律．解析：样本散点图可以直观判断两个变量是否线性相关，只有线性相关才能用线性回归方法找到回归直线，并预测变量取值及变化规律，故正确答案是①②③. 答案：①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)x 与y 有五组数据，试分析x 与y 解析：作出散点图，如图所示：由散点图可以看出，x 与y 不具有线性相关关系．18．(12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5整数，则a 0.1前提下认为x 与y 之间有关系？ 解析：查表可知，要使在犯错误概率不超过0.1前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而 k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a >5且15－a >5，a ∈Z ，解得a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误概率不超过0.1前提下认为x 与y 之间有关系．19．(12分)随机询问某大学40名不同性别大学生在购买食物时是否读营养说明，得到性别与读营养说明列联表根据列联表进行独立性检验， 注：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．解析：由表中数据，得k ＝40×(16×12－8×4)224×16×20×20≈6.67>6.635.因此，能在犯错误概率不超过0.01前提下，认为性别与读营养说明有关． 20．(12分)在研究一种新药对小白鼠得病防治效果时，得到如表数据.解析：由公式得K 2观测值k ＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.由于7.469>6.635，所以我们有99%把握认为这种新药对小白鼠得病防治效果是有效． 21．(13分)以下是某地搜集到新房屋销售价格y 和房屋面积x 数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)结果估计当房屋面积为150 m 2时销售价格． 解析：(1)数据对应散点图如图所示．(2)x ＝1551i =∑x i ＝109，l xx ＝51i =∑(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，l xy ＝51i =∑(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －b ^x ≈1.814 2.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．22．(13分)某工厂为了对新研发一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定价格进行试销，得到如表数据：(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后销售中，销量与单价仍然服从(1)中关系，且该产品成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解析：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。
2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2：第三章章末复习课含答案
章末复习课[整合·网络构建]［警示·易错提醒]1．复数代数形式为z＝a＋b i，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋b i(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0,注意虚数与纯虚数的区别．3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z2|≠z2.5．复数与平面向量相联系时,必须是以原点为始点的向量．6．不全为实数的两个复数不能比较大小．7．复平面的虚轴包括原点．专题一复数的概念解决与复数概念相关的问题时,复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁"是设z＝x＋y i（x，y∈R),依据是“两个复数相等的充要条件”．[例1] (1）已知a，b∈R，i是虚数单位,若（1＋i)(1－b i)＝a，则错误!的值为________．(2）满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对（x，y）表示的点有________．解析：（1)因为(1＋i）（1－b i)＝a(a，b∈R），则1＋b＋i(1－b）＝a，因此错误!解得错误!所以错误!＝2.（2）错误!所以错误!所以点(x,y)为错误!，错误!。
答案：（1)2 （2)2个归纳升华1．当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋y i 没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化,体现了转化与化归的思想．［变式训练] 设i是虚数单位，复数错误!为纯虚数,则实数a的值为（）A．2 B．－2 C．－错误! D.错误!解析：错误!＝错误!＝错误!，由于该复数为纯虚数，所以2－a＝0，且2a＋1≠0，因此a＝2。
答案：A专题二复数的四则运算及几何意义历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义,因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．[例2］（1)设z＝错误!＋i＋错误!错误!,则｜z|＝________．（2)在复平面内，复数z＝错误!（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：①点A所在的象限；②向量错误!对应的复数．(1)解析：因为错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋错误!。
2017-2018年人教A版选修1-2《第三章学业质量标准检测试卷》含解析
第三章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i(3－2i)＝( C ) 导学号 18674454A ．2－3i B ．3＋2i C ．2＋3iD ．3－2i[解析] i(3－2i)＝3i －2i 2＝3i ＋2，故选C ． 2．(2016·北京文，2)复数＝( A ) 1＋2i2－i导学号 18674455A ．i B ．1＋i C ．－i D ．1－i[解析] ＝＝＝i. 1＋2i 2－i (1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )5i53．(2016·云南芒市一中高二检测)已知i 为虚数单位，则＝( B )i1＋3i导学号 18674456A ．－i B ．＋i 34143414C ．＋iD ．－i 32123212[解析] ＝＝＝＋i.i 1＋3i i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )i ＋3434144．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于导学号 18674457( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限． 5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则＋z 2等于( C )2z 导学号 18674458A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i[解析] ＋z 2＝＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.2z 21＋i6．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( D ) 导学号 18674459A ．1＋iB ．－1＋i5252C ．1－iD ．－1－i5252[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ， ∴Error!，∴Error!. ∴x ＋y ＝－1－i.527．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的导学号 18674460( A )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] z 是纯虚数⇔Error!⇔x ＝1，故选A ．8．已知复数z 满足＝1＋2i ，则＝( D )2－iz z 导学号 18674461A ．4＋3i B ．4－3i C ．－iD ．i[解析] 由＝1＋2i ，得z ＝＝＝＝－i ，∴＝i.2－i z 2－i 1＋2i (2－i )(1－2i )52－4i －i －25z 9．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( B ) 导学号 18674462A ．0 B ．π2C ．πD ．2π[解析] z 2＝cos 2 θ－2isin θcos θ－sin 2 θ＝cos 2θ－i sin 2θ＝－1， ∴Error!，∴θ＝.π210．若复数z ＝lg(m 2－2m ＋2)＋i·lg(m 2＋3m －3)为实数，则实数m 的值为( C )导学号 18674463A ．1 B ．－4 C ．1或－4D ．以上都不对[解析] 由已知，得Error!， 即Error!， 解得m ＝1或－4.11．已知复数z ＝，则复数z 在复平面内对应的点位于i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0131＋i ( A )导学号 18674464A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵i n ＝Error!k ∈Z ，∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 013＝503×(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋i 2 013＝503×0＋i ＝i ，∴z ＝＝＝，在复平面内的对应点(，)在第一象限． i 1＋i i (1－i )(1＋i )(1－i )1＋i 2121212．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1、z 2、ω－z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1]( B ) 导学号 18674465A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ∵ω1]．∴①左边＝(z 1＋z 2)3，右边＝z 1＋z 2＝(z 1＋z 2)，左边＝右边，正确． z z 3z 3z 3②左边＝z 1()＝z 1(＋)，右边＝z 1＋z 1＝z 1(＋)，左边＝右边，正确． z 2＋z 3z 2z 3z 2z 3z 2z 3③左边＝(z 1)，右边＝z 1(z 2)＝z 1(z 3)，左边≠右边，不正确． z 2z 3z 3z 2④左边＝z 1，右边＝z 2，左边≠右边，不正确，选B ．z 2z 1二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ＝__1__，y ＝__2__. 导学号 18674466[解析] (x ＋i)(1－i)＝x －x i ＋i ＋1 ＝(x ＋1)＋(1－x )i ＝y ， ∴Error!， ∴Error!.14．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·＋z ＝__6－2i__. z 导学号 18674467[解析] ∵z ＝1－2i ，∴＝1＋2i ，z －∴z ·＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2iz －＝5＋1－2i ＝6－2i.15．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝ －4i .76导学号 18674468[解析] 设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )， 则Error!，∴Error!.∴z ＝－4i.7616．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且＋＝，则复数z 在复平面对应的点位于a 1－i b 1－2i 53＋i第__四__象限.导学号 18674469。
2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2习题：第三章3-1-3-1-1数系的扩充和复数的相关概念 含答案 精品
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．在2＋7，27i，0，8＋5i，(1－3)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0，0.618是实数，8＋5i是虚数．答案：C2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( ) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅解析：显然，实数集与纯虚数集的交集为空集是正确的．答案：D3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，所以由复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.答案：B4．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )A．2－2i B．2＋iC．－5＋5i D.5＋5i解析：2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i. 答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，可得m ＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R)，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或m ＝1.答案：0或1 7．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________． 解析：因为x ∈R，所以x 2－x －6x ＋1∈R ， 由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.答案：38．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________． 解析：因为m ∈R，z 1＝z 2，所以 (2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3， 解得m ＝5.答案：5三、解答题9．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是：(1)纯虚数；(2)实数． 解：(1)如复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4. (2)如复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3. 10．关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实数根，求实数a 的值．解：设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ， 由复数相等的定义， 得⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. B 级 能力提升1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( )A ．x ＝3且y ＝5B ．x ＝3且y ＝0C ．x ＝2且y ＝0D ．x ＝2且y ＝5解析：易知z 1＝2＋i由z 1＝z 2，即2＋i ＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，2x －y ＝1，解得x ＝3且y ＝5.答案：A2．复数z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若z 为纯虚数，则θ的值为________．解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ. 当z 为纯虚数时⎩⎪⎨⎪⎧－sin θ＝0，cos θ≠0，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以θ＝0. 答案：03．如果(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值． 解：因为(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1， 所以 (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数． 从而有⎩⎨⎧（m ＋n ）>－1，－（m 2－3m ）＝0，由m 2－3m ＝0得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时代入(m ＋n )>－1，得0<n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入(m ＋n )>－1，得n <－1，与n 是自然数矛盾，舍去．综上可知，m＝0，且n＝1.。
2018学年数学人教A版选修1-2优化练习：第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i ＝－2i.答案：B2．已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 解析：(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2. 答案：A3．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ， ∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， ∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i. 答案：A4．在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．答案：D5．已知(1－i )2z ＝1＋i (为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：由题意得，z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.答案：D6．下面关于复数z ＝2－1＋i 的结论，正确的命题是______(填序号)．①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为1＋i ；④z 的虚部为－1. 解析：z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，所以|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，z 2＝(－1－i)2＝2i.z 的共轭复数为－1＋i.z 的虚部为－1，所以②④正确．答案：②④7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝________.解析：∵z ＝1＋i ，则z ＝1－i ∴zi ＋i·z ＝1＋i i ＋i(1－i) ＝i (1＋i )－1＋i ＋1＝2. 答案：28．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2＝3. 答案：39．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数．(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围． 解析：(1)z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i ∴z 的共轭复数z ＝－2－4i (2)由(1)知，w ＝z ＋a i ＝－2＋(a ＋4)i ∴|w |＝(－2)2＋(a ＋4)2＝20＋a 2＋8a ，|z |＝2 5.依题意，得20＋a 2＋8a ≤20，即a 2＋8a ≤0 ∴－8≤a ≤0，即a 的取值范围为[－8,0]．[B 组 能力提升]1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i4＝i.故选C.答案：C2．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)． 答案：D3．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ，2＝3b ，所以a ＝83.答案：834．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.答案： 55．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解析：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.6．已知z ，w 为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z 2＋i ，且|ω|＝52，求ω.解析：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由ω＝z2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0.①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7.∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa+b-aa 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：阶段质量检测(三) Word版含解析
阶段质量检测(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设a 是实数，且a 1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 5．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．16．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 7．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )|n ∈N }的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个8．复数z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量对应的复数是( )A.10 B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i11．定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________． 15．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________.16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.18．(本小题12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z的值． 19．(本小题12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求： (1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 20．(本小题12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值． 21．(本小题12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．22．(本小题12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数． (1)求m 对应的点的轨迹；(2)求|z |的最大值、最小值．答案1．解析：选D 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D. 2．解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．解析：选D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．4．解析：选B a 1＋i＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由题意可知1－a 2＝0，即a ＝1. 5．解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以 1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.6．解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.7．解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ， f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ， 由i n 的周期性知{f (n )|n ∈N }＝{0，－2i,2i}．8．解析：选D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.9．解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件． 由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴z ＝2－2i.11．解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i＝3－i. 12．解析：选B 由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，13．解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i14．解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45. 答案：4515．解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 20＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0，即(x 20＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i.答案：4i16．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限．答案：四17．解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．18．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i. 19．解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 20．解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，即(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.21．解：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴(4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．22．解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i (x －3)2＋y 2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0.∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．(2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)，∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；最小值为|3＋33i|－3＝3.。
数学人教A版选修1-2优化练习第三章 章末检测 Word版含解析
章末检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．是虚数单位，计算＋＋＝( )．．－．．－解析：＋＋＝＋(－)－＝－.答案：．已知为虚数单位，复数＝，则复数的虚部是( )．－．－解析：＝＝＝－，则复数的虚部是－.答案：．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是()．．．．解析：设＝＋(<，>)∴＝－对应点的坐标是(，－)，是第三象限点.答案：．是虚数单位，复数＝的共轭复数＝( )．－．＋＋．－＋解析：＝＝＝＝－∴＝＋.答案：．若复数＝(＋)(＋)(∈)为纯虚数，则等于( )．．解析：∵＝－＋(＋)为纯虚数且∈，∴(\\(－＝，＋≠，))得＝，＝，＝.答案：．已知复数＝＋，＝＋，且·是实数，则实数等于( )．－．－解析：·＝(＋)(－)＝(＋)＋(－)，依题意－＝，∴＝.答案：．设∈，若为纯虚数，则在复平面上的对应点落在( )．实轴上．虚轴上．直线＝±(≠)上．以上都不对解析：设＝＋(，∈)，∵＝－＋为纯虚数，∴(\\(－＝，≠.))∴＝±，即在直线＝±(≠)上．答案：．定义运算＝－，则符合条件－))＝＋的复数为( )．－．＋．＋．－解析：由定义知－))＝＋，得＋＝＋，∴＝＝＝＝－.答案：．若复数＝＋是关于的实系数方程＋＋＝的一个根，则( )．＝，＝．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝－解析：因为＋是实系数方程的一个复数根，所以－也是方程的根，则＋＋－＝＝－，(＋)(－)＝＝，解得＝－，＝.答案：．已知复数＝－＋，＝－，＝－，它们在复平面上所对应的点分别为，，.若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则λ＋μ的值是( )．．．．解析：－＝λ(－＋)＋μ(－)＝μ－λ＋(λ－μ)，∴(\\(μ－λ＝，λ－μ＝－，))得(\\(λ＝－，,μ＝，))∴λ＋μ＝.答案：二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在题中的横线上)．设为虚数单位，则＝.解析：＝＝＝－－.答案：－－．已知复数＝ °＋ °和复数＝ °＋ °，则·＝.。
2017-2018学年高中数学选修1-2_综合质量评估含答案
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综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
变量y与x之间的回归方程=x+（）A。
表示y与x之间的函数关系B。
表示y与x之间的确定关系C.反映y与x之间的真实关系D.反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合【解析】选D。
回归方程是表示y与x具有相关关系，相关关系是一种非确定性关系，而回归方程是由最小二乘法求得的，它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合。
2。
(2016·上海高二检测）计算机系统、硬件系统、软件系统、CPU、存储器的知识结构图为（)【解析】选D。
由于CPU、存储器属于硬件，故由元素间的从属关系知D正确.3.（2016·全国卷Ⅱ）设复数z满足z+i=3-i,则z̅=（)A.—1+2i B。
1-2i C。
3+2i D。
3-2i【解题指南】先解关于z的一元一次方程,再求其共轭复数。
【解析】选C。
由z+i=3—i得，z=3-2i，z̅=3+2i。
【补偿训练】(2016·西安高二检测)定义|a bc d|=ad-bc，若复数z满足|z1i−i|=—1—i，则z等于（)A.1+i B。
1-i C。
-i D.3-i【解题指南】利用新定义直接化简|z 1i −i|=-1-i ，则iz=1，求出复数z,它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案。
【解析】选C 。
根据定义|z 1i −i|=-zi-i=—1—i ，则iz=1.所以z=1i =−i−i 2=—i.4。
（2016·石家庄高二检测)观察下图，可推断出“x ”应该填的数字是( ）A 。
171 B.183 C 。
205 D.268【解析】选B.由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即12+32+42+62=62,22+42+52+82=109，所以“x ”处该填的数字是32+52+72+102=183.5.设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b,纵轴上的截距是a ，那么必有（ ) A 。
高中数学人教A版选修1-2优化练习：第三章 章末检测 Word版含解析
章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1.答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i 2－i ，则复数z 的虚部是( ) A ．－35i B ．－35C.45 i D.45解析：1－2i2－i ＝(1－2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35.答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B .答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i 的共轭复数z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )25＝25－25i25＝1－i∴z ＝1＋i.答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( )A ．2 B. 5C. 2 D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2. 答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34. 答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0. ∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上．答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i 解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ， ∴z ＝4＋2i 1＋i＝(4＋2i )(1－i )2＝6－2i 2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11．设i 为虚数单位，则1－i (1＋i )2＝________. 解析：1－i (1＋i )2＝1－i 2i＝(1－i )(－i )2＝－i 2－12. 答案：－12－i 212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i ，则z 1·z 2＝________. 解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°)＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i. 答案：12＋32i 13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________. 解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10， 故z ＝a ＋b i ＝7－10i.答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－(m 2－2m －8)>0， 解得－2<m <1或2<m <4.答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数． (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0. 17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z . 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i， 所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10， 所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. 所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由z ＋2i 为实数，得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z 2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0. 解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝ (4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴ (4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根． 解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋b x＝1，化简得⎝⎛⎭⎫1a ＋b 4＋⎝⎛⎭⎫34b －3a i ＝1， ∴⎩⎨⎧ 1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14， 这与题设b a >14相矛盾． 故原方程无实数根．21．(14分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝(1＋i )2(1＋i )1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，②代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限，∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
2017-2018学年高中数学人教B版 选修1-2-第三章 章末综
章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】 A2.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A.2－3iB.2＋3iC.3＋2iD.3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】 A3.若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是()【导学号：37820051】A.2B.3C.4D.5【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为42＋（－3）2＝5.【答案】 D4.已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝25（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i，故选D.【答案】 D5. “m ＝1”是“复数z ＝(1＋m i)(1＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 z ＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i ＋m i －m ＝(1－m )＋(1＋m )i ，若m ＝1，则z ＝2i 为纯虚数；若z 为纯虚数，则m ＝1.故选C.【答案】 C6.设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A.实轴上B.虚轴上C.直线y ＝±x (x ≠0)上D.以上都不对【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在复平面上的对应点在直线y ＝±x (x ≠0)上. 【答案】 C7.设复数z 满足1－z 1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( )A.0B.1C. 2D.2【解析】 ∵1－z1＋z＝i ， ∴z ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，∴|z ＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C8.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z －i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9.若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎨⎧sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1， ∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】 D10.当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值是( )A.1B.－1C.iD.－i 【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】 D11.在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A.3＋iB.3－iC.1－3iD.－1＋3i【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (－2，1)，O (0，0)，∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )， 则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1，2). ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2， ∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，∴第四个顶点C 的坐标为(－1，3). 【答案】 D12.复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】 由于|z |＝2，所以（x －2）2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2，0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形（图略）易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.) 13. i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________. 【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0，1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －214.复数z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________.【解析】 ∵z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1，0)，Q (2，1)，∴PQ →＝(3，1)，即PQ →对应的复数为3＋i. 【答案】 3＋i 15.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于___________________________________________.【解析】 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝（3＋2i ）（－1－2i ）（－1＋2i ）（－1－2i ）＝15－85i.【答案】 15－85i16.复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________.【导学号：37820052】【解析】 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝（a －2）2＋（a ＋1）2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92， 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值.【解】 ∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， ∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，∴⎩⎨⎧x 2＋x －2＝4，x 2－3x ＋2＝20，∴x ＝－3.18.(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m1－i －2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数.【解】 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数.(2)当⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数.19.(本小题满分12分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3（1－i ）2＋i＝3－i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（a ＋2）＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.20.(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【导学号：37820053】【解】 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积. 【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. ∴点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 即△ABC 的面积为1.22.(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.【解】 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，∴⎩⎨⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴复数z 对应的点Z 的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值， ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值且|z |min ＝ 2.。
2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 章末检测 空间向量与立体几何
章末检测(三) 空间向量与立体几何 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，若ka －b 与b 垂直，则实数k ＝( ) A ．7 B ．－7 C ．6D ．－6解析：ka －b ＝k (－1,0,1)－(1,2,3)＝(－k －1，－2，k －3)，若ka －b 与b 垂直， 则(ka －b )·b ＝0，即(－k －1)－4＋3(k －3)＝0，解得k ＝7. 答案：A2．已知向量a ＝(－2,3,2)，b ＝(1，－5，－1)，则ma ＋b 与2a －3b 相互垂直充分必要条件是( ) A ．－1713 B.1713 C.1613D ．－1613解析：∵ma ＋b ＝m (－2,3,2)＋(1，－5，－1) ＝(－2m ＋1,3m －5,2m －1)，2a －3b ＝2(－2,3,2)－3(1，－5，－1)＝(－7,21,7)． ∵(ma ＋b )⊥(2a －3b )⇔(ma ＋b )·(2a －3b )＝0⇔－7(－2m ＋1)＋21(3m －5)＋7(2m －1)＝0⇔m ＝1713. 答案：B设AA ′——→＝a ，3.如图，在空间平移△ABC 到△A ′B ′C ′，连接对应顶点，AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC ′中点，N 是B ′C ′中点，用向量a ，b ，c 表示向量MN →等于( ) A ．a ＋12b ＋12c B.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋12bD.12a解析：MN →＝12BB ′——→＝12AA ′——→＝12a . 答案：D4．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|值是( ) A.13 B.23 C.773D.63解析：设P (x ，y ，z )则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773. 答案：C所示，若P A →＋5.设▱ABCD 对角线AC 和BD 交于E ，P 为空间任意一点，如图PB →＋PC →＋PD →＝xPE →，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵E 为AC ，BD 中点， ∴由中点公式得PE →＝12(P A →＋PC →)， PE →＝12(PB →＋PD →)．∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PE →.从而x ＝4. 答案：C6．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |最小值是( ) A.55 B.555 C.355D.115 解析：b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95.∴|b －a |2min＝95. ∴|b －a |min ＝355. 答案：C7．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.647D.657解析：∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb ， 即(7,5，λ)＝x (2，－1,3)＋y (－1,4，－2) ＝(2x －y ，－x ＋4y,3x －2y )，所以⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657. 答案：D8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和BB 1中点， 则sin 〈CM →，D 1N →〉＝( ) A.459 B.49 C.59 D.259解析：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为2.可知CM →＝(2，－2,1)， D 1N →＝(2,2，－1)． cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19. ∴sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.答案：A9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角余弦值是( ) A ．0 B.37070 C ．－37070D.7070解析：建立如图所示空间直角坐标系， 则D 1(0,0,3)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0，2,0)， 所以BD 1→＝(－2，－2,3)，AC →＝(－2,2,0)， 所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝0，故选A. 答案：A10．若直线l 方向向量为 (2,1，m )，平面α法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵l ⊥α，∴直线l 方向向量平行于平面α法向量． ∴21＝112＝m2.∴m ＝4. 答案：C11．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A -CD -B 大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°解析：取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F .据题意知AE ⊥CD .AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12. ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求二面角为120°. 答案：C12.如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P -EC -D平面角为π4时，则AE 等于( )A ．1 B.12 C ．2－ 2 D ．2－ 3解析：以DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AE＝m .D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1，0,0)，B (1,2,0)，E (1，m,0)，C (0,2,0) 可取平面ABCD 一个法向量n 1＝(0,0,1)， 设平面PEC 法向量为n 2＝(a ，b ，c )， PC →＝(0,2，－1)， CE →＝(1，m －2,0)， 则⎩⎨⎧n 2·PC →＝0，n 2·CE →＝0.∴⎩⎨⎧2b －c ＝0，a ＋b (m －2)＝0， ∴⎩⎨⎧c ＝2b ，a ＝b (2－m )， 令b ＝1得n 2＝(2－m,1,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2(2－m )2＋1＋4＝22.∴m ＝2－ 3.即AE ＝2－ 3. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，则下列三个式子中： ①AB →－CB →＝AC →； ②AA ′——→＝CC ′——→；③AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′——→. 其中正确有________．解析：①AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，正确；②显然正确；③AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝(AB →＋BC →)＋(BB ′→＋C ′C →)＝AC →＋0≠AC ′→，错误． 答案：①②14．若向量m ＝(－1,2,0)，n ＝(3,0，－2)都与一个二面角棱垂直，则m ，n 分别与两个半平面平行，则该二面角余弦值为________． 解析：∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n | ＝－1×3＋2×0＋0×(－2)5×13＝－36565.∴二面角余弦值为－36565或36565. 答案：－36565或3656515．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角正弦值是________．解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角正弦值为63. 答案：6316. 如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角正弦值为________．解析：建立坐标系如图，则B (1，1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DA 1→＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1一个法向量． 又OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1，∴BO 与平面ABC 1D 1所成角正弦值为 |cos 〈OB →，DA 1→〉|＝|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|＝1262×2＝36. 答案：36三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上点，且CF →＝25CB →，CG →＝25CD →. 求证：四边形EFGH 是梯形． 解析：∵E ，H 分别是AB ，AD 中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →. ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →) ＝12BD →＝12(CD →－CB →) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52CG →－52CF →＝54⎝⎛⎭⎫CG →－CF →＝54FG →. ∴EH →∥FG →且|EH→|≠|FG →|. ∴四边形EFGH 是梯形．18．(12分)如图，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系A -xyz ，则各点坐标为B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.设平面BDE 法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又BD →＝(－1,1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，则⎩⎨⎧ n 1⊥BD →n 1⊥BE→⇒⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 一个法向量为n 1＝(1,1,0)． ∵AS ⊥底面ABCD ，∴平面ABCD 一个法向量为n 2＝AS →＝(0,0,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面BDE ⊥平面ABCD .19．(12分)如图，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1底面中心，P 是DD 1中点，Q点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1什么位置时，平面D 1BQ ∥平面AOP? 解析：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，P (0,0,1)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)，设Q (0,2，z )(0≤z ≤2)， 那么OP →＝(－1，－1,1)， BD 1→＝(－2，－2,2)，∴OP →∥BD 1→，又B ∉OP ，∴OP ∥BD 1. 又AP →＝(－2,0,1)，BQ →＝(－2,0，z )，显然当z ＝1时，AP →∥BQ →，∵B ∉AP ， ∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ . ∴当Q 为CC 1中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .20．(12分)四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1侧棱AA 1垂直于底面，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝AB ＝AA 1＝2BC ，E 为DD 1中点，F 为A 1D 中点．(1)求证：EF ∥平面A 1BC ；(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ正弦值． 解析：(1)证明： ∵E ，F 分别是DD 1，DA 1中点， ∴EF ∥A 1D 1. 又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，∴EF ∥BC ，且EF ⊄平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， ∴EF ∥平面A 1BC .(2)∵AB ，AD ，AA1两两垂直，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图，设BC ＝1. 则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，C (2,1,0)，D (0,2,0)，D 1(0，2,2)，F (0,1,1)，E (0,2,1)， ∴FE →＝(0,1,0)，设平面A 1CD 法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·A 1D →＝(x ，y ，z )·(0，2，－2)＝2y －2z ＝0，n ·CD →＝(x ，y ，z )·(－2，1，0)＝－2x ＋y ＝0，取n ＝(1,2,2)，则sin θ＝|cos 〈n ，FE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·FE →|n ||FE →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋2×1＋2×01＋4＋40＋1＋0＝23， ∴直线EF 与平面A 1CD 所成角θ正弦值等于23.21．(13分)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 正弦值．解析：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz . 设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 法向量， 则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 法向量， 则⎩⎨⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.即⎩⎨⎧2y 2＋z 2＝0，2x 2＋2z 2＝0，可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D -A 1C -E 正弦值为63.22．(13分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．解析：(1)∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，且O 为AC 中点，∴A 1O ⊥AC .又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊂平面A 1AC ，∴A 1O ⊥平面ABC .(2)连接OB ，如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，A (0，－1,0)．∴A 1C →＝(0,1，－3)，令平面A 1AB 法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AA 1→＝n ·AB →＝0，而AA 1→＝(0,1，3)，AB →＝(1,1,0)，可求得一个法向量n ＝(3，－3，3)∴|cos A 1C →，n |＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|＝62×21＝217，故直线A 1C 与平面A 1AB 所成角正弦值为217. (3)存在点E ，且E 为线段BC 1中点．连接B 1C 交BC 1于点M ，连接AB 1，OM ，则M 为B 1C 中点，从而OM 是△CAB 1一条中位线，OM ∥AB 1，又AB 1⊂平面A 1AB ，OM ⊄平面A 1AB ，∴OM ∥平面A 1AB ，故BC 1中点M 即为所求E 点．。
【人教A版】2017-2018学年数学选修1-1优化练习：章末检测(三) 导数及其应用 Word版含解析
章末检测(三) 导数及其应用 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )＝g (x )＝0 C ．f (x )－g (x )为常数函数 D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)． 答案：C2．函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 答案：B3．函数f (x )＝x (1－x )2的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：函数f (x )＝x(1－x )2的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x (1－x )2′＝(1－x )2－x ·[(1－x )2]′(1－x )4＝(1－x )2＋2x (1－x )(1－x )4＝1＋x (1－x )3. 令f ′(x )>0，则1＋x 1－x >0得－1<x <1，故函数f (x )＝x(1－x )2的单调递增区间是(－1,1)．答案：C4．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3， 令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.答案：A5．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x解析：依题意得，y ′＝－3x 2＋6x ，y ′| x ＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y －2＝3(x －1)，整理得y ＝3x －1. 答案：A6．已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0， 由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.答案：A7．已知对任意实数x ，有f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，有f ′(x)>0，则当x<0时，有( ) A ．f ′(x)≥0 B ．f ′(x)>0 C ．f ′(x)≤0D ．f ′(x)<0解析：∵f(－x)＝－f (x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，∵当x >0时，f ′(x)>0，∴f(x)为增函数，当x<0时，f(x)也为增函数，∴f ′(x)>0. 答案：B8．已知函数f(x)＝23x 3－2ax 2－3x(a ∈R )，若函数f (x )的图象上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m的值为( )A ．－13B ．－12 C.13 D.12解析：∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴过点P (1，m )的切线斜率k ＝f ′(1)＝－1－4a . 又点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0， ∴－1－4a ＝3，∴a ＝－1，∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x .又点P 在函数f (x )的图象上，∴m ＝f (1)＝－13.答案：A9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数是f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：f (x )在x ＝－2处取得极小值，即x <－2，f ′(x )<0；x >－2，f ′(x )>0，那么y ＝xf ′(x )过点(0,0)及 (－2,0)．当x <－2时，x <0，f ′(x )<0，则y >0；当－2<x <0时，x <0，f ′(x )>0，y <0；当x >0时，f ′(x )>0，y >0，故C 正确． 答案：C10．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米D ．36米，18米解析：设建堆料场与原墙平行的一边边长为x 米，其他两边边长为y 米，则xy ＝512，新墙的周长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝51216＝32.答案：A11．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点． 答案：A12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．af (b )<bf (a ) B ．bf (a )<af (b ) C ．af (b )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析：∵xf ′(x )－f (x )<0， ∴⎝⎛⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，所以函数f (x )x 在(0，＋∞)上是减函数，由0<a <b 得f (a )a >f (b )b ，即af (b )<bf (a )． 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知函数y ＝3x －x 3在x ＝b 时有极大值c ，则bc ＝________. 解析：∵y ′＝3－3x 2，令y ′＝0得x ＝±1， 且当x >1时，y ′<0， 当－1<x <1时，y ′>0， 当x <－1时，y ′<0，故x ＝1为y ＝3x －x 3的极大值点， 即b ＝1，又c ＝3b －b 3＝3×1－1＝2，∴bc ＝2. 答案：214．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 解析：对f (x )＝ax 3＋3x 2＋2求导得：f ′(x )＝3ax 2＋6x .∵k ＝f ′(1)＝3a ＋6， ∴(3a ＋6)×⎝⎛⎭⎫－13＝－1，解得a ＝－1. 答案：－115．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)16. 做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________． 解析：用料最省，即水桶的表面积最小．设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r >0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr (r >0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr2，令S ′＝0，解得r ＝3.当0<r <3时，S ′<0；当r >3时，S ′>0，所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省． 答案：3三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，求log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值．解析：函数的导数为f ′(x )＝(n ＋1)x n ，所以在x ＝1处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝n ＋1，所以切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1.所以x 1x 2…x 2 012＝12×23×…×2 0122 013＝12 013，所以log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 01312 013＝－1.18．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解析：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6. 19．(12分)已知函数 f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a >13，且当x ∈[1,4a ]时，f (x )≥a 3－12a 恒成立，试确定a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1且f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3.当x <－1时f ′(x )>0，当－1<x <3时f ′(x )<0， 因此x ＝－1是函数的极大值点， 极大值为f (－1)＝6；当－1<x <3时f ′(x )<0，当x >3时f ′(x )>0， 因此x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－26. (2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2＝3(x ＋a )(x －3a )，a >13，∴当1≤x <3a 时f ′(x )<0； 当3a <x ≤4a 时f ′(x )>0.∴x ∈[1,4a ]时f (x )的最小值为f (3a )＝－26a 3.由f (x )≥a 3－12a 在[1,4a ]上恒成立得－26a 3≥a 3－12a . 解得－23≤a ≤23.又a >13，∴13<a ≤23.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤13，23. 20．(12分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解析：(1)对f (x )求导， 得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数， ∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0， 即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ， f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如表：∴f (x )的单调递增区间为⎝⎦⎤－∞，－13，[3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎣⎦－13，3. 21．(13分)已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大的矩形两边长之比．解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y )，其中0<x <2，y >0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x ，y )，在x 轴上的两个顶点为(－x,0)、(x,0)．设矩形的面积为S ，则S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，则S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，得x ＝233或x ＝－233(舍去)．当0<x <233时，S ′>0；当233<x <2时，S ′<0.因此，当x ＝233时，S取得极大值，也就是最大值，此时，2x ＝433，4－x 2＝83.所以矩形的两边长分别为433和83时，矩形的面积最大．此时两边长之比为3∶2.22．(13分)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数． ②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根 x 1＝－1＋1－a a，x 2＝－1－1－aa.若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时， f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数； 当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(x 2，x 1)是减函数．若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数； 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0， 故当a >0时，f (x )在区间(1,2)是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′ (1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)．。
2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第三章章末优化总结Word版含解析
章末检测(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A.答案：A2．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f (1＋i )3＋i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为函数f (x )＝x 2，所以f (1＋i)＝(1＋i)2，化简得f (1＋i)＝2i ，所以 f (1＋i )3＋i ＝2i 3＋i ＝2i (3－i )(3＋i )(3－i )＝2＋6i 10＝1＋3i 5＝15＋35i.根据复数的几何意义知，f (1＋i )3＋i 所对应的点的坐标为(15，35)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.答案：A3．(2014·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：由(z －2i)(2－i)＝5得z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝5(2＋i )5＋2i ＝2＋3i ，选A.答案：A4．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i解析：因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝12－32i.答案：D5．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D. π2解析：∵z 2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0.∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)，∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．答案：D6．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m 等于( ) A.112 B.112i C ．－112D ．－112i解析：设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)，则a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－12，m ＝112.故选A.答案：A7．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1.答案：B8．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i解析：∵由已知OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)， ∴BA →对应的复数为5＋5i. 答案：D9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx ≤ 3.答案：D10．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R)，若复数ab ∈R ，则实数x的值为( )A ．－6B ．6 C.83D ．－83解析：a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2＝0，∴x ＝83. 答案：C11．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数解析：∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称，∴C 项正确． 答案：C12．(2013·高考陕西卷)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0则z 2＝－b 2<0，正确．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x ＋1x ＝－1，则x 2 014＋1x 2 014的值为________．解析：∵x ＋1x ＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2 014＝3×671＋1，∴x 2 014＝x ，∴x 2 014＋1x2 014＝x ＋1x＝－1. 答案：－114．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是________． 解析：z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcosβ)i＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i. 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)． 答案：cos(α＋β)15．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，则实数x 、y 的值分别为x ＝________，y ＝________. 解析：原式可以化为(3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i ，根据复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3y －2x ＝1，x －10y ＝－9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.答案：1 116．已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R)，z 2＝2cos θ＋(λ＋ 3cos θ)i(λ∈R)，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2 cos θ，4＋m ＝λ＋3 cos θ.消去m 得λ＝4－cos θ.又因为－1≤cosθ≤1，所以3≤4－cos θ≤5，所以λ∈[3,5]． 答案：[3,5]三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i (a ∈R)对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1. 18．(本小题满分12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z ＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i－(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．解析：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴b ＝－32.∴z ＝12－32i. (2)z ＝5m 21－2i－(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，2m 2－5m －3≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－12且m ≠3.∴m ＝－2. 19. (本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，①x 2－y 2＋3x <0，②又x 2＋y 2＝1.③由①②③得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本小题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．解析：存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)．z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5xx 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎨⎧y －5yx 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 21．(本小题满分13分)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i ，(x ，y ∈R)，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2. 解析：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.22．(本小题满分13分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．解析：(1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
【人教A版】2017-2018学年数学选修1-1优化练习：章末检测(二) 圆锥曲线与方程 Word版含解析
章末检测(二) 圆锥曲线与方程 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，0B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫18，0D.⎝⎛⎭⎫0，18 解析：利用抛物线方程直接求解．抛物线x 2＝12y 的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18，故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A. 答案：A3．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A4．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是( )A. 3B. 6 C ．3D ．6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，即b ＝ 6. 答案：B5．抛物线x 2＝12y 的焦点F 到准线l 的距离是( )A ．2B ．1 C.12 D.14解析：由抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离及p ＝14，可知所求距离为14，故选D.答案：D6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( ) A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：利用双曲线的几何性质建立基本量的关系求解．由题意可知△PF 1F 2是以点P 为直角顶点的直角三角形，所以|OP |＝c .又直线PF 2：y ＝－b a (x －c )与渐近线l 1的交点P 的横坐标是x P ＝c 2，所以b a ＝3，故b 2a 2＝c 2－a2a2＝e 2－1＝3，解得离心率e ＝2，故选B. 答案：B7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0.所以c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.答案：A8．F 1，F 2为椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点M 在椭圆Γ上．若△MF 1F 2为直角三角形，且|MF 1|＝2|MF 2|，则椭圆Γ的离心率为( )C.63或73D.33或5－14解析：依题意，设|MF 2|＝m ，则|MF 1|＝2m .当点F 2为直角顶点时，|F 1F 2|＝3m ，此时该椭圆的离心率是|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3m 3m ＝33；当点M 为直角顶点时，|F 1F 2|＝5m ，此时该椭圆的离心率是|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝5m3m ＝53，故选A. 答案：A9．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．4 B ．6 C ．7D ．8解析：由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7. 答案：C10．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94解析：由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94. 答案：D11．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1 解析：由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.答案：D12．与抛物线y 2＝8x 相切且倾斜角为135°的直线l 与x 轴和y 轴的交点分别是A 和B ，那么过A ，B 两点的最小圆截抛物线y 2＝8x 的准线所得的弦长为( ) A ．4 B ．2 2 C ．2 D. 2解析：设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，联立直线与抛物线方程，消元得y 2＋8y －8b ＝0，因为直线与抛物线相切，故Δ＝82－4×(－8b )＝0，解得b ＝－2，故直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0，从而A (－2,0)，B (0，－2)，因此过A ，B 两点最小圆即为以AB 为直径的圆，其方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，而抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，此时圆心(－1，－1)到准线距离为1，故所截弦长为2(2)2－12＝2，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c 2＝7，c ＝7.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴在△PF 1F 2中，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：120°14．设斜率为1的直线l 过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为8，则a 的值为________．解析：依题意，有F (a 4，0)，直线l 为y ＝x －a 4，所以，A (0，－a 4)，△OAF 的面积为：12×a 4×a4＝8，解得：a＝±16，依题意，只能取a ＝16. 答案：1615．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________. 解析：由题意可得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A ⎝⎛⎭⎫－33p ，16p ，B ⎝⎛⎭⎫3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13. 答案：1316. 双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(a >0，b >0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于________． 解析：双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0,2)，由题意知点⎝⎛⎭⎫33，2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝413b 2－4a 2＝－1，得a 2＝3，故e ＝c a ＝233. 答案：233三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．解析：①当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，与y ＝2x 2联立，得2x 2－kx ＋k －2＝0， 由Δ＝k 2－8(k －2)＝0得k ＝4， 所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2,0)作斜率为 35的直线，交双曲线于M ，N 两点，且|MN |＝4，求双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由右焦点为F (2,0)知c ＝2，b 2＝4－a 2，则双曲线方程为x 2a 2－y 24－a2＝1.直线MN 的方程为：y ＝35(x －2)，代入双曲线方程整理，得 (20－8a 2)x 2＋12a 2x ＋5a 4－32a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12a 220－8a 2，x 1x 2＝5a 4－32a 220－8a 2.∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎫352×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝85× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 220－8a 22－4·5a 4－32a 220－8a 2＝4. 解得：a 2＝1，∴b 2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为：x 2－y 23＝1.19．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解析：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p . 20．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率． 解析：(1)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0.x 20a 2＋y 20b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0得，(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，故x 0＝－2a1＋k 2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.21．(13分)已知抛物线Q ：y 2＝2px (p >0)的焦点与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点相同．(1)求抛物线Q 的方程；(2)如图，设A ，B ，C 是抛物线Q 上任意不同的三点，且点A 位于x 轴上方，B ，C ，位于x 轴下方．直线AB ，AC 与x 轴分别交于点E ，F ，BF 与直线OC ，EC 分别交于点M ，N .记△OBM ，△ENF ，△MNC 的面积依次为S 1，S 2，S 3，求证：S 1＋S 2＝S 3.解析：(1)椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，由于抛物线Q ：y 2＝2px (p >0)的焦点与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点相同，∴p2＝1，即p ＝2，故抛物线Q 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，F (x 5，y 5)． 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋x 4，代入y 2＝4x 得 y 2－4ty －4x 4＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－4x 4，① 同理可得y 1y 3＝－4x 5.②①×y 3得y 1y 2y 3＝－4x 4y 3，②×y 2得y 1y 2y 3＝－4x 5y 2， ∴x 5y 2＝x 4y 3.∴S △OBF ＝S △OEC ，∴S 1＋S 2＝S 3.22．(13分)已知M (x 1，y 1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 为椭圆的右焦点．(1)若椭圆的离心率为e ，试用e ，a ，x 1表示|MF |，并求|MF |的最值；(2)已知直线m 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，并与椭圆交于A 、B 两点，且直线m 与圆的切点Q 在y 轴右侧，若a ＝2，求△ABF 的周长．解析：(1)设F (c,0)，则|MF |＝(x 1－c )2＋y 21，又x 21a 2＋y 21b2＝1，则y 21＝⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2b 2， 所以|MF |＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 21－2cx 1＋a 2 ＝c 2a2x 21－2cx 1＋a 2＝(ex 1－a )2，又－a ≤x 1≤a 且0<e <1，所以|MF |＝a －ex 1，且|MF |max ＝a ＋ae ，|MF |min ＝a －ae .(2)设A (x 0，y 0)，B (x 2，y 2)(x 0，x 2>0)，连接OQ ，OA ，在△OQA 中，|AQ |2＝x 20＋y 20－b 2，又y 20＝⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2b 2，所以|AQ |2＝c 2x 20a 2， 则|AQ |＝cx 0a ，同理|BQ |＝cx 2a， 所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝2a －⎝⎛⎭⎫c a x 0＋c a x 2＋c a x 0＋ca x 2＝2a ， 又a ＝2，所以所求周长为4.。
【优化方案】高二下学期数学(人教版选修1-2)第三章章末综合检测 Word版含答案
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·吉安高二检测)i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A.12i B ．－12iC.12 D ．－12解析：选C.i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.2．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．i解析：选B.z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝i －1－i ＋1＝0.3．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.故选D.4．(2014·邯郸质检)复数53＋4i 的共轭复数是( )A.35＋45i B.35－45iC ．3＋4iD ．3－4i解析：选A.53＋4i ＝5(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝35－45i ，∴53＋4i 的共轭复数为35＋45i.5．当α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，复数(cos α＋sin α)＋(cos α－sin α)i 在复平面内的对应点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D.当α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，cos α＋sin α＝2sin(α＋⎝⎛⎭⎫π4>0，cos α－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4<0，∴复数对应点在第四象限．6．(2014·安徽联考)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋i ，z 2＝a －i ，z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．1或－1解析：选D.z 1z 2＝a ＋i a －i ＝(a ＋i )2a 2＋1＝a 2－1＋2a i a 2＋1， ∴a ＝±1.7．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.45解析：选D.z ＝|4＋3i|3－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i. 8．在如图所示的复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i 解析：选D.OC →＝OA →＋OB →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i.9．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在解析：选D.由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－5x 0＋4＝0，－x 0－1＝0，该方程组无解．10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.∵OC →＝λOA →＋μOB →，∴3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝－λ＋μ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．(2014·高考四川卷)复数2－2i 1＋i＝________. 解析：2－2i 1＋i ＝2(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(1－i)2＝－2i. 答案：－2i12．若复数1，a ＋i,3＋a 2i(a ∈R )成等比数列，则a 的值为________．解析：依题意，得(a ＋i)2＝1×(3＋a 2i)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝32a ＝a 2， 解得a ＝2.答案：213．在复平面内，已知复数z ＝x －13i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是________．解析：∵z 对应的点Z ⎝⎛⎭⎫x ，－13都在单位圆内， ∴|OZ |<1，即 x 2＋⎝⎛⎭⎫－132<1. ∴x 2＋19<1， ∴x 2<89， ∴－223<x <223. 故实数x 的取值范围是(－223，223)． 答案：⎝⎛⎭⎫－223，223 14．(2014·西安高二检测)设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝(a ＋b i)－i(a －b i)＝(a ＋b i)－(b ＋a i)＝(a －b )＋(b －a )i ，因为z 2的实部是－1，所以a －b ＝－1，所以虚部b －a ＝1.答案：115．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________． 解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，|x ＋1＋y i|＝ (x ＋1)2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝ (1－y )2＋x 2，则(x ＋1)2＋y 2＝ (1－y )2＋x 2.∴复数z ＝x ＋y i 的对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1,0)和(0,1)距离相等的直线．答案：直线三、解答题(本大题5小题，每小题10分，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 014＋(4－8i )2－(－4＋8i )24＋3i . 解：原式＝i (23i ＋1)1＋23i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 007＋(4－8i )2－(4－8i )24＋3i ＝i ＋(－i)1 007＋04＋3i＝i －i ＋0＝0.17．(2014·黄冈高二检测)复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是3＋i ，向量AC →对应的复数是－2－4i ，向量BC →对应的复数是－4－i ，求 B 点对应的复数．解：因为向量AC →对应的复数是－2－4i ，向量BC →对应的复数是－4－i ，所以AB →表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ，故OB →＝OA →＋AB →对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，所以B 点对应的复数为5－2i.18．已知z －1z ＋1为纯虚数，且(z ＋1)(z ＋1)＝|z |2，求复数z . 解：由(z ＋1)(z ＋1)＝|z |2⇒z ＋z ＝－1.① 由z －1z ＋1为纯虚数， z －1z ＋1＋z －1z ＋1＝0⇒z ·z －1＝0.② 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入①②，得a ＝－12，a 2＋b 2＝1. ∴a ＝－12，b ＝±32. ∴z ＝－12±32i. 19．(2014·九江高二检测)设复数z 1＝(a 2－4sin 2 θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i. 又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限， 所以z 2＝－1－2i 应舍去，故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2， 解得cos θ＝12， 因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3， 所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4， a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2. 20．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数． 解：(1)设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －b a 2＋b 2)i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12， 即z 1的实部的取值范围是[－12，12]． (2)证明：ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈[－12，12]，b ≠0， 所以ω为纯虚数．。
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章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45i D.45 解析：1－2i 2－i ＝(1－2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35.答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )25＝25－25i25＝1－i∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( )C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2. 答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C 8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝(4＋2i )(1－i )2＝6－2i 2＝3－i.答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i(1＋i )2＝________.解析：1－i(1＋i )2＝1－i 2i ＝(1－i )(－i )2＝－i 2－12. 答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i ，则z 1·z 2＝________. 解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i2，∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－(m 2－2m －8)>0，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0.解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴(4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋bx ＝1，其中a ，b 为实数．(1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值． (2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx ＝1，化简得⎝⎛⎭⎫1a ＋b 4＋⎝⎛⎭⎫34b －3a i ＝1， ∴⎩⎨⎧1a ＋b4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab . ∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根．21．(14分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝(1＋i )2(1＋i )1－i (a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。