高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定检测 新人教A版必修2

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1．若l 1与l 2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，有下列说法：
(1)若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2；(2)若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2；
(3)若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2；(4)若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2.
其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)(4)都可能是两条直线重合．(1)(3)正确，故选
B.
答案：B
2．已知过点P (3，2m )和点Q (m ，2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3，4)的直线平行，则m 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：因为k MN ＝4－（－1）－3－2＝－1，所以若直线PQ 与直线MN 平行，则2m －23－m
＝－1，解得m ＝－1.
答案：B
3．若不同的两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为( )
A ．1
B ．－1 C.12 D ．－12
解析：由直线斜率的坐标公式，得k PQ ＝3－a －b 3－b －a
＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.
答案：B
4．已知A (－23，9)，B (63，－15)，直线l ∥AB ，则直线l 的倾斜角α为( )
A ．60°
B ．120°
C ．45°
D ．135°
解析：因为k AB ＝－15－963－（－23）
＝－3， 所以α＝120°.
答案：B
5．由原点O 向直线l 作垂线，垂足为M (－2，1)，则直线l 的斜率为( )
A.12 B ．－12
C ．2
D ．－2 解析：k OM ＝－12
，因为直线l 与直线OM 垂直，所以直线 l 的斜率为2. 答案：C
二、填空题
6．已知直线l 1的斜率k 1＝3，直线l 2过点A (3，－1)，B (4，y )， C (x ，2)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y －（－1）4－3＝3，
2－（－1）x －3＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2. 答案：4 2
7．经过点(m ，3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．
解析：因为直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，所以m －32－m ＝14
， 所以m ＝145
. 答案：145
8．已知点A (－1，3)，B (4，2)，以AB 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________． 解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x ，0)，则k AC ＝
－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4
＝－1，解得x ＝1或x ＝2，所以交点C 的坐标是(1，0)或(2，0)． 答案：(1，0)或(2，0)
三、解答题
9．当m 为何值时，过两点A (1，1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：
(1)倾斜角为135°？
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直？
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？
解：(1)由k AB ＝
m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3
＝3.
则m －32m 2＝－13，解得m ＝32
或m ＝－3. (3)令
m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34
或m ＝－1. 10．已知A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD . 解：设D (x ，y )，则k CD ＝y
x －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 因为k CD ·k AB ＝－1，k AD ＝k CB ，
所以 y
x －3×3＝－1，y ＋1x －1＝－2， 所以x ＝0，y ＝1，即D (0，1)．
B 级 能力提升
1．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．以点A 为直角顶点的直角三角形
D ．以点B 为直角顶点的直角三角形
解析：因为k AB ＝－1－12－（－1）＝－23，k AC ＝4－11－（－1）＝32
， 所以k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC ，故应选C.
答案：C
2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，且直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)．若l 1⊥l 2，则a ＝________．
解析：设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.
因为直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，且2≠－1，
所以l 2的斜率存在．
当k 2＝0时，k 1不存在，a －2＝3，则a ＝5；
当k 2≠0时，a ≠5，此时k 1存在，由k 1·k 2＝－1，
得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2
＝－1， 解得a ＝－6.
综上可知，a 的值为5或－6.
答案：5或－6
3．直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转
30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．
解：如图所示，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.
又直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m
＝ m －31－m
， 所以线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为
k 2＝m －1m －3
. 因为l 1与l 2平行．
所以k 1＝k 2，即3＝
m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。