数学_2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集U =R ，集合M ={x|2x >1}，集合N ={x|log 2x >1}，则下列结论中成立的是（ ）
A M ∩N =M
B M ∪N =N
C M ∩(∁U N)=⌀
D (∁U M)∩N =⌀ 2. 已知i 为虚数单位，则z =
1+i i
在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
3. 已知命题p:∃x ∈R ，x −2>lgx ，命题q:∀x ∈R ，x 2>0，则( )
A 命题p ∨q 是假命题
B 命题p ∧q 是真命题
C 命题p ∧(￢q)是真命题
D 命题p ∨(￢q)是假命题 4. 已知
sinα+3cosα3cosα−sinα
=5，则sin 2α−sinαcosα的值是（ ）
A 25
B −25
C −2
D 2
5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A 8−
2π
3
B 8−π3
C 8−2π
D 2π
3 6. 执行如图的程序框图，输出的S 等于（ ）
A 3
4 B 4
5 C 5
6 D 6
7
7. 函数y =log a (x +3)−1(a >0, a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0，则1
m +2
n 的最小值为( )
A 6
B 8
C 10
D 12
8. 已知等比数列{a n }的公比q =2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( )
A 127
B 255
C 511
D 1023
9. 已知f(x)=1
4x 2+sin(π
2+x)，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( )
A B C D
10. 设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y =f(x)的图象向右平移π
3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A 1
3 B 3 C 6 D 9
11. 点P 在双曲线：x 2a 2−y 2
b 2=1(a >0, b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90∘，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5
12. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)=2x ，ℎ(x)=lnx ，φ(x)=x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A a >b >c B c >b >a C a >c >b D b >a >c
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在横线上）.
13. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x −3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．
14. 若向量a →
，b →
满足|a →
|=1，|b →
|=√2，且a →
⊥(a →
+b →
)，则a →
与b →
的夹角为________． 15. 若函数y =log 3x 的图象上存在点(x, y)，满足约束条件{x +y −4≤0
2x −y +1≥0y ≥m ，则实数m 的最
大值为________．
16. 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p →
=(4, a 2+b 2−c 2)，q →
=(√3,S)满足p →
 // q →
，则∠C =________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分）
17. 等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5=a 52
． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足b n =n 2+n +1⋅
，求数列{b n }的前n 项的和．
18. 为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15∼65岁的人群抽样了n 人，回答问
题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．
第5组[55, 65]3y
(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；
(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
19. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a．（1）求证：AD⊥B1D；
（2）求证：A1C // 平面AB1D；
（3）求点A1到平面AB1D的距离．
20. 已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y2=4√5x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知经过定点M(2, 0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=(ax−2)e x在x=1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)在[m, m+1]上的最小值；
（3）求证：对任意x1，x2∈[0, 2]，都有|f(x1)−f(x2)|≤e．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】
22. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED =1
2
，⊙O 的半径为3，求OA 的长．
【选修4-4：极坐标系与参数方程】
23. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosα
y =sinα（α为参数）．以直角坐
标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−
π4
)=2√2
（1）求直线l 的直角坐标方程；
（2）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．
【选修4-5：不等式选讲】
24. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +a|，g(x)=x +3． (1)当a =−2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(2)设a >−1，且当x ∈[−a
2，1
2)时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．
2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷（文科）答案
1. D
2. D
3. C
4. A
5. A
6. B
7. B
8. B
9. A 10. C 11. D 12. B
13. (x −2)2+(y −1)2=1 14. 3π
4 15. 1
16. π
3
17. 解：（1）设{a n }的公差为d ，(d >0) ∵ a 1，a 3，a 9成等比数列， ∴ (a 1+2d)2=a 1(a 1+8d)， 整理，得d 2=a 1d ，
∵ d ≠0，∴ a 1=d ，①
∵ S 5=a 52
，∴ 5a 1+
5×42
⋅d =(a 1+4d)2，②
由①②，得：a 1=35，d =3
5， ∴ a n =3
5
+(n −1)×3
5
=3
5
n ．
（2）b n =n 2+n +1⋅
=n 2+n+1
3
5
n⋅3
5
(n+1)
=
259
⋅
n 2+n+1n(n+1)
=
259
(1+1
n
−
1
n+1
)，
∴ b 1+b 2+...+b n =259[n +(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)] =259(n +1−1n +1
) =
259
⋅
n 2+2n n+1
．
18. 正确的人数共有54人，
∴ 利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：18
54×6=2人；第3组：
27
54
×6=3人；第4组：9
54×6=1人 (Ⅲ)设第2组2人为：A 1，A 2；第3组3人为：B 1，B 2，B 3；第4组1人为：C 1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A 1, A 2)，(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 1, C 1)，
(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 2, B 3)，(A 2, C 1)，(B 1, B 2)，(B 1, B 3)，(B 1, C 1)，(B 2, B 3)，(B 2, C 1)，(B 3, C 1)共15个基本事件，
其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：P =
315
=1
5
19. 解：（1）证明：∵ ABC−A1B1C1是正三棱锥，∴ BB1⊥平面ABC，
∴ BB1⊥AD，
在正△ABC中，∵ D是BC的中点，∴ AD⊥BD．BB1∩BD=B，
∴ AD⊥平面BB1D，∴ AD⊥B1D．
（2）连接DE．AA1=AB，四边形A1ABB1是正方向，∴ E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴ DE // A1C，∵ DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴ A1C // 平面AB1D．
（3）V A
1−AB1D =V B
1−A1AD
，所以1
3
⋅1
2
⋅√3
2
a⋅√5
2
a⋅d=1
3
⋅1
2
⋅√3
2
a⋅a⋅a
2
，
解得d=√5
5
a．
20. 解：（1）设椭圆的标准方程为x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)，焦距为2c．
由抛物线y2=4√5x方程得焦点(√5，0)，∴ c=√5．又短轴长为4，∴ 2b=4，解得b=2．
∴ a2=b2+c2=9．
∴ 椭圆C的方程为x2
9+y2
4
=1．
（2）假设在x轴上存在一个定点P(t, 0)(t≠2)使得PM始终平分∠APB．设直线l的方程为my=x−2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立{my=x−2
x2
9
+y2
4
=1，化为(9+4m
2)y2+16my−20=0，
则y1+y2=−16m
9+4m2，y1y2=−20
9+4m2
．(∗)
∵ PM平分∠APB，∴ |PA|
|PB|=|AM|
|BM|
，
∴ √(x1−t)2+y12
√(x2−t)+y2
=|y1|
|y2|
，化为(x1−t)
2
(x2−t)2
=y12
y22
，
把x1=my1+2，x2=my2+2代入上式得(2−t)(y1−y2)[2my1y2+(2−t)(y1+y2)]= 0，
∵ 2−t≠0，y1−y2≠0，∴ 2my1y2+(2−t)(y1+y2)=0．
把(∗)代入上式得−40m
9+4m2+−16(2−t)m
9+4m2
=0，
化为m(9−2t)=0，
由于对于任意实数上式都成立，∴ t=9
2
．
因此存在点P(9
2
，0)满足PM 始终平分∠APB ．
21. 解：（1）f′(x)=ae x +(ax −2)e x =(ax +a −2)e x ， 由已知得f′(1)=0，即(2a −2)e =0， 解得：a =1，
验证知，当a =1时，在x =1处函数f(x)=(x −2)e x 取得极小值，所以a =1； （2）f(x)=(x −2)e x ，f′(x)=e x +(x −2)e x =(x −1)e x ．
所以函数f(x)在(−∞, 1)上递减，在(1, +∞)上递增． 当m ≥1时，f(x)在[m, m +1]上单调递增， f min (x)=f(m)=(m −2)e m ． 当0<m <1时，m <1<m +1，
f(x)在[m, 1]上单调递减，在[1, m +1]上单调递增，f min (x)=f(1)=−e ． 当m ≤0时，m +1≤1，
f(x)在[m, m +1]单调递减，f min (x)=f(m +1)=(m −1)e m+1． 综上，f(x)在[m, m +1]上的最小值f min (x)={
(m −2)e m ，m ≥1
−e,0<m <1(m −1)e m+1，m ≤0 （3）由（1）知f(x)=(x −2)e x ，
f′(x)=e x +(x −2)e x =(x −1)e x ． 令f′(x)=0得x =1，
因为f(0)=−2，f(1)=−e ，f(2)=0， 所以f max (x)=0，f min (x)=−e ，
所以，对任意x 1，x 2∈[0, 2]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤f max (x)−f min (x)=e ， 22. 如图，连接OC ， ∵ OA ＝OB ，CA ＝CB ， ∴ OC ⊥AB ．
∴ AB 是⊙O 的切线；
∵ BC 是圆O 切线，且BE 是圆O 割线， ∴ BC 2＝BD ⋅BE ，
∵ tan∠CED =1
2，∴ CD
EC =1
2． ∵ △BCD ∽△BEC ，∴ BD
BC =CD
EC =1
2，
设BD ＝x ，BC ＝2x ．又BC 2＝BD ⋅BE ，∴ (2x)2＝x ⋅(x +6)，
解得x 1＝0，x 2＝2，∵ BD ＝x >0，∴ BD ＝2，∴ OA ＝OB ＝BD +OD ＝3+2＝5．．
23. 解：（1）∵ 直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π
4
)=2√2，即ρcosθ+ρsinθ=4，化为直角坐标方程为x+y−4=0．
（2）设点P(2cosα, sinα)，点P到直线l距离d=
√2=√5sin(α+β)−4|
√2
，
其中，sinβ=
√5，cosβ=
√5
．
故当sin(α+β)=−1时，d取得最大值为√5+4
√2=√10
2
+2√2．
24. 解：(1)当a=−2时，
求不等式f(x)<g(x)化为|2x−1|+|2x−2|−x−3<0．设函数y=|2x−1|+|2x−2|−x−3，
则y=
{−5x,x<1
2
，
−x−2,1
2
≤x≤1，
3x−6,x>1，
它的图象如图所示：
结合图象可得，y<0的解集为(0, 2)，
故原不等式的解集为(0, 2)．
(2)设a>−1，且当x∈[−a
2，1
2
)时，
f(x)=1+a，不等式化为1+a≤x+3，
故x≥a−2对x∈[−a
2，1
2
)都成立．
故−a
2≥a−2，解得a≤4
3
.
故a的取值范围为(−1, 4
3
]．。