选修2-1 3.1.2空间向量的数乘运算
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.2 空间向量的数乘运算ppt版本
又������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������
=−
1 2
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������ ,
∴2������������
=
1 2
分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)如图所示, ������������ = ������������ + ������������,
由向量加法的平行四边形法则可得������������
=
1 2
(������������
+
������������ ),
,
������
=
−
12.
(2)∵ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 2������������
= ������������ + 2(������������ − ������������) = ������������ + 2������������ − 2������������.
2 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 3 ������������
1 = ������������ + 3 (������������ + ������������)
(新课程)高中数学《3.1.2 空间向量的数乘运算》课件 新人教A版选修2-1
6
其中向量 a 叫直线 l 的方向向量，如图所示．
若在 l 上取A→B＝a，则①式可以化为O→P＝O→A＋tA→B＝ (1－t)·O→A＋t·O→B.② 可得如下结论：对于空间任意点 O，若有O→B＝λO→A＋ (1－λ)O→C成立，则 A、B、C 三点共线．这一结论可
一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有O→P＝xO→A＋y O→B＋z O→C，
且 x＋y＋z＝1 成立，则 P、A、B、C 四点共面．这一结论可作 为判定空间中四个点共面的常用方法．
9
题型一 空间向量的数乘运算
【例1】 已知在空间四边形 OABC 中，M， N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在
作为证明三点共线的常用方法．
7
2．共面向量定理的理解 (1)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条
件是存在有序实数对(x，y)，使A→P＝xA→B＋ yA→C；或对空间任意一点 O，有O→P＝O→A＋ xA→B＋yA→C.如图所示．
8
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空 间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示 出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件 的另一种形式，可以借此将已知共面条件转化为向量式，以方便 向量运算．另外，若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意
∴四边形 EFGH 是梯形．
15
规律方法 判定两向量共线就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立， 为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a＝
MN 上，且 MG＝2GN，如图所示，记O→A ＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用向量 a，b， c 表示向量O→G.
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.2空间向量的数乘运算1()
运 算 律
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律
(a b) c a (b c)
数乘分配律
•
(a b) a＋ b
(a b) a＋ b
•
a
D A B
•
C
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1
1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
D1 A1 B1
C1
D A B
加法交换律：
ab ba
加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k (a b) k a＋k b
•
（6）平面向量加法结合律：
(a b) c a (b c)
O O
a
A
a
b
C
A
+
c
C
b
B
c
(平面向量)
•
b
B
c
（6）空间向量加法结合律：
D
A
C B
(4)设M是线段CC1的中点,则
1 AM CM AB AD CC1 AC • 2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG
(a b) c a (b c)
O O
a
C
A
人教版高中数学选修2-1第三章3.1.2空间向量的数乘运算
导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律加法交换律及结合律.两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．教学目标知识目标正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.能力目标经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.情感目标1. 通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2. 通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.教学重难点重点共线向量概念、基本定理及推论．难点共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.知识要点1. 空间向量数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.（1）结果仍然是一个向量;（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;当λ<0时，λa与a方向相反;当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的|λ|倍.aλa(λ<0)a λa(λ>0)2.数乘运算的运算律显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律（）λ(a +b )=λa +λbλ+μa =λa +μaλ(μa )=(λμ)a 即：知识要点（1） λa与a 之间是什么关系？（2） λa 与a 所在直线之间的关系？对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.知识要点3.共线向量（或平行向量）的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）记作a//b（1）向量平行与直线平行的比较;（2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a 与b ,如果 ,那么a 与b 有什么相等关系?反过来呢?b //a 零向量与任何向量平行（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说a // b时，也具有同样的意义.知识要点4.共线向量基本定理对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使a = λb（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;（2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）5.共线向量基本定理的推论如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对于空间任意一点像O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP = OA + ta. (1) AaOP B其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）在l上取AB=a，则(1)式可化为OP = (1- t)OA + t OB.(2)说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.知识要点6.共面向量定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.7.共面向量的定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使p = x a + y b8.共面向量的定理的推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP = xMA + yMB或对空间任一定点O，有OP = OM + xMA + yMB.Ma AbB A' p P对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P 、A 、B 、 C 是否共面？OP =xOA+yOB +zOC解答原式可以变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), AP=y AB+z AC,所以，点P与点A，B，C共面.例题如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使OE OF OG OH====kOA OB OC OD求证：四点E、F、G、H共面.D'A'B'C'DA B CO分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.证明:因为 所以 OE=kOA ，OF=kOB ， OG=kOC ，OH=kOD. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC=AB+AD. 解答OE OFOGOH====kOA OB OC OD继续因此EG=OG-OE=kOC-kOA=k AC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.课堂小结1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 定理 推论 运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面)0a (b //a ≠b λa =p b a b y αx p +=ABt OA OP +=AC y AB x OA OP ++=共面1)y (x OBy OA x OP =++=1)z y (x 0OC z OB y OA x OP =++=++=高考链接1.（2006年福建卷）已知|OA|=1，|OB|= ，OA·OB=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB (m 、n ∈R)，则 等于_______. 3nm 3D. 33 C. 3B. 31 A. BOA =1,OB =3,OA.OB =0,解析: 点C 在AB 上，且∠AOC=30°设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0， )C 点的坐标为(x ，y)=( ， ) OC =mOA+nOB(m,n R)∈33434则∴ 3n m ，41，n 43m ===课堂练习1.选择（1）若对任一点O 和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 R),z y,(x,OC z OB y OA x OP ∈++= C（2）对于空间任意一点O ，下列命题正确的是（）. A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点C.若 ，则P 、A 、B 不共线D.若 ，则P 、A 、B 共线 OP =OA+t AB3OP =OA+AB OP=OA -t AB OP=-OA+AB A（3）下列命题正确的是（）CA.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向D.若a // b，则存在唯一的实数λ使得a = λb解答A.中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.答案C.点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .2.解答题已知：且m，n，p不共面.若a∥b,求x，y的值.,p2yn8m1)(xb0,p4n2m3a+++=≠--=空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.解答 ∵a // b,且a ≠0， ∴b= λ a ，即 又∵m ，n ，p 不共面，∴.p 4λn 2λm 3λp 2y n 8m 1)(x --=+++8.y 13,x ,42y 2831x =-=∴-=-=+习题答案1. （1）AD; （2）AG;（3）MG2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;3.CA QBRPSO。
人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.2 空间向量的数乘运算
探究点：三点共线
如何利用共线向量定理判定三点共线？
A B C
O
典例分析
利用BD构建EH与FG的关系
典例分析
证明:
跟踪训练
知识点三：共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
想一想，为什么？ 说明：空间任意两个向量都是共面向量， 但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.
当堂训练
D
当堂训练
则D点位于( D ) A.BC边的中线上 C.BC边的中垂线上 B.BC边的高线上 D.∠BAC的平分线上
谢谢大家！
a
λ<0
|a| 大小 |λa|=|λ|·
运算律
典例分析
O M
[思路探索]在三角形中运用向量的线性运算进行分解 数乘 解:
A
G
C N
B
减法 加法
跟踪训练
A
知识点二：共线向量
1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在直线
互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量
(或平行向量),记作a∥b.
规定：零向量与任意向量共线.
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.2 空间向量的数乘运算
引入课题
平面向量的数乘运算是如何定义的？
其几何意义是什么？
其运算律是怎样的？
空间向量与平面向量有何关系？
能否将平面向量的数乘运算推广到空间向量？
知识点一：数乘运算的概念
定义：与平面向量的数乘运算相同， 实数λ与空间向量a的乘积λa， 称为向量的数乘. 方向 当λ>0时， λa与向量a的方向相同 λ>0
证明:
∵E 、 F 、 G 、 H 分别是所在三角形的重心，
【选修2-1课件】3[1].2空间向量的数乘运算
![【选修2-1课件】3[1].2空间向量的数乘运算](https://img.taocdn.com/s3/m/41d49442a31614791711cc7931b765ce04087a6b.png)
做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理：,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
12
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
2
一、数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
2a
a
3a 3
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
a // b R , a b .
8
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
则点 P 在直线 l 上的充要条件是?
•l
A•
•
aB
P
O
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ②
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
N
A
10
例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是
边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，
且 CF 2 CB,CG 2 CD.
3
3
求证：四边形EFGH是梯形。
高中数学选修2-1第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件人教A版
1 2 1 2 1 2 1 2
-5-
3.1.2 空间向量的数乘运算
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.共线向量与共面向量 (1)①共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. ②对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 a=λb.
-10-
3.1.2 空间向量的数乘运算
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.向量共面的充要条件及其应用 剖析:(1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是:存在有序 实数对(x,y),使������������ = ������������������ + ������������������ . 满足这个关系式的点P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式.这个充要 条件常用来证明四点共面. (2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可 用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在 许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一 点 O,都有������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ , 且x+y+z=1 成立,则 P,A,B,C 四 点共面”作为判定空间中四点共面的依据.
-6-
3.1.2 空间向量的数乘运算
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
人教A版选修2-13.1.2空间向量的数乘运算课件
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示
MN.
A1
D1 解:连AN,则MN=MA+AN
B1
N C1
MA=－ 1
3
AC
=－1
3
(a+b)
AN=AD+DN=AD－ND
A M
B
D
=
1 3
（2
b
+
c
)
C ∴MN= MA+AN
=
1（－
3
a
+
b
+
c
)
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
aa
// b定(bb理 0)
行或重合
叫做共面向量.
a b p p x yb共面
推论
OP OA t AB
OP OA xAB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共面，或三向
向量平行
量共面
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
（﹡）代入
k( AB AD)
k(OB OA OD OA)
D
A
H
C
B
G
OF OE OH OE
E
F
EF EH
所以 E、F、G、H共面。
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������
−
������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
目标导航
预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向
高二数学选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的 充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb.
bC
p
p
A aB
第八页，编辑于星期一：一点 二十二分。
C
A
空间一点P位于平面ABC内
存在有序实数对(x，y)，使
AP xAB yAC OP OA xAB yAC
若OP xOA yOB，则点P、A、B共线的
充要条件是x＋y＝1；
点P在直线l上
a
PB l
存在实数t，使 AP ta A
OP OA ta
OP OA tAB
O
OP OP
OA t(OB OA) (1 t)OA tOB
第六页，编辑于星期一：一点 二十二分。
平行于同一平面的向量，叫做共面向量 空间任意两个向量是共面的，但空间任 意三个向量就不一定共面。
（1）E、F、G、H 四点共面；
（2）平面AC//平面EG．
O
DC
A
B
H E
G F
第十二页，编辑于星期一：一点 二十二分。
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是不 同的概念，共线向量通过平移可以移到同 一条直线上，共面向量通过平移可以移到 同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定理 是一致的，空间向量共面定理是平面向量 基本定理的拓展，是判断空间向量是否共 面的理论依据.
若a＝λb，则向量a与b共线；反之，当b＝
0时不成立.
第四页，编辑于星期一：一点 二十二分。
2. 共线Байду номын сангаас量
对空间两个向量a，b(b≠0)，a//b的充 要条件是什么？
原创2：3.1.2 空间向量的数乘运算
若两个向量a，b不共线，则向量p与a，
b共面的充要条件是存在惟一的有序
实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb .
走进教材
共线(平行)向量
推
论
如果l为经过点A平行于已知非零向量a
的直线，那么对于空间任一点O，点P
在直线l上的充要条件是存在实数t，
使 = + Ԧ ①，其中a叫做直线
l的 方向向量 ，如图所示．
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
走进教材
2．共线向量与共面向量
共线(平行)向量
表示空间向量的有向线段所在
定 的直线 互相平行或重合 ，
义 则这些向量叫做共线向量 或
平行向量
充
对于空间任意两个向量a，b
要
条 (b≠0)，a∥b的充要条件是
a=λb .
存在实数λ使
件
共面向量
平行于 同一平面 的向量叫做共面向量
【解析】
= + +
1
1
= + +
2
2
1
= + +
2
1
= + +
2
1
=
2
+
1
2
−
−
+ −
1
2
1
2
1
2
−
+
1
2
1
1
= +
2
2
1
= +
2
1
=
2
∴与共线.
以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！
2020版高中人教A版数学选修2-1课件：3.1.2空间向量的数乘运算
A1C1的中心,若
uuur AE
uuur xAB
uuur yAD
uuuur zAA1,
则x+y+z=______.
【思维·引】
1.利用向量加减法的三角形法则进行表示.
2.把
uuur AE
用指定向量表示后找对应系数.
【解析】1.选B.
uuur BD
uuur BO
uuur OC
uuur CD
uuur OB
uuur uuur AB与CD
有什么关系?反
之,成立吗?
提示:AuuBur与CuuDur 共线,反之若
uuur uuur AB与CD
共线,则直线AB与直
线CD平行或重合.
(3)空间中任意两个向量是否都共面? 提示:是,向量可以自由平移,任意两个向量都可以平移 到一个平面内.
3.直线的方向向量
如图所示,l为经过已知点A且平行于已
提示:(1)×.当b=0,a≠0时,a∥b,但不存在实数λ,使 a=λb.故应限制b≠0. (2)×.根据共线向量的定义,若 AuuBur则PCuAuDurB, ∥CD或 A,B,C,D四点共线. (3)√.由于a=4e1- e522=-4 (e1 =110-e42 )b,所以a∥b.
(4)√.若k1≠0,则向量e1能用e2,e3表示,与向量e1,e2,e3是 三个不共面的向量矛盾,同理k2,k3也都是0.
1
uuur AC
1
uuur BD.
2
2
2
2
所以
uuur uur uuur AC, EF, BD
共面.
角度2 利用共线、共面求参数值
【典例】若点P在平面ABC内,O为平面ABC外的任意一点,
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》课件
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为 …….
4
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
5
定义:
例如:
6
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
A
D F
7
B
E
C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》
1
教学目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的 数乘运算. • 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题.. • 教学重点：空间向量的数乘运算及运算律. • 教学难点：用向量解决立几问题.
2
复习回顾
数乘运算
思考1
向量的平 行
3
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 加法结合律
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1
D A B
C
10
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1
D A B
C
11
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 M C1
G
D A B C
8
平行六面体
思考2
D1 A1 B1
C1
a
D A B C
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张)
探究点2 共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量既可能共面，也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且 只有一对实数 ， 使
C={x|x是实数}. 集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
例如:
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则 这 些向量叫做共线向量或平行向量.
若P为A,B中点, 则
P
aB Alຫໍສະໝຸດ OA lP B
O
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
O
DC
A
B
H
G
E
F
证明
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面；
③若 ∥ ，则存在惟一的实数λ，使 ＝λ .
A．1 B．2
C．3
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
观察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}. (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内 或_____________. 平行于平面α 同一个平面 的向量叫做共面向量，共面向量所在 平行于____________ 异面 ． 的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的， 但空间任 意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不 能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间 四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量 温故知新 回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理， 运算律． 思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义， 运算律，共线向量定理还成立吗？
高中数学选修2-1精品课件6：3.1.2空间向量的数乘运算
学习目标 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解 共线(平行)向量的意义． 2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会 证明空间三点共线与四点共面问题．
课前预习
1．空间向量加法运算满足_结__合__律___和_交__换__律___． 2．以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算， 所谓平面向量的数乘运算就是：实数λ与平面向量a 的乘积λa仍然是一个__向__量__，还学过平面中两向量 共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在 _惟__一__实__数__λ__，使得_a_＝__λ_b_(_b_≠_0_)__成立．
2．对向量共面的充要条件的理解 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有 序实数对(x，y)，使M→P＝xM→A＋yM→B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满 足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面 A1BD， ∴A→1B、B→1C、E→F都与平面 A1BD 平行． ∴A→1B、B→1C、E→F共面．
课堂小结
1．向量共线的充要条件及其应用 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样， 当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所 在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当
有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空 间．运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边 形法则和三角形法则，以及准确使用运算律．
例1 已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值． (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
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选修2-1 3.1.2空间向量的数乘运算
一、选择题 1、如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B ＝a ， ＝b ，＝c ，则下列向量中与相等的向量是( )
A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12
b ＋
c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12
b ＋c
2、下列命题中是真命题的是( )
A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,，满足||>||，且与同向，则>
D.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
3、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A ，，是( )
A ．有相同起点的向量
B ．等长向量
C ．共面向量
D ．不共面向量
4、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A. OM ＝2－OB － B. OM ＝15＋13OB ＋12 C. MA ＋＋＝0 D. OM ＋＋OB ＋＝0
5、如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG=2GN ，则OG =x ＋y OB ＋z ，则( )
A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13
B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16
C ．x ＝16，y ＝16，z ＝13
D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13
6、满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )
A. ＋＝
B. －＝
C.＝
D.||＝||
7、下列命题中正确的是( )
A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面
C ．零向量没有确定的方向
D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb
二、填空题 8、已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP ＝2＝2＋OB ＋λ，则λ＝________.
9、在正四面体O －ABC 中，＝a ，OB ＝b ，＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则＝______________(用
a ，
b ，
c 表示)．
10、在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD,若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则＋12－32－的化简结果为________．
三、解答题 11、已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 对交线的交点，点P 是空间任意一点.试探求PA ＋＋
＋＋＋＋＋与的关系．
12、设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，而M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．
13、已知ABCD —A ′B ′C ′D ′是平行六面体．
(1)化简12＋＋23； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BC C ′ B ′对角线B C ′上的34
分点，设MN ＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
以下是答案
一、选择题
1、A [＝＋＝＋12
＝c ＋12(＋)＝－12＋12
＋c ＝－12a ＋12
b ＋
c .] 2、D [A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．
D 对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确．]
3、C [
如图所示，因为－＝，而＝，
∴－＝，
即＝＋，
而与不共线，所以，，三向量共面．]
4、C [∵＋＋＝0，∴＝－－.
∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合．]
5、D [∵＝＋＝12＋，①
＝＋＋，②
＝＋＋，③
又＝－，＝－2，
∴①＋②＋③，得3＝12
＋＋， 即x ＝16，y ＝13，z ＝13
.] 6、C [由＝BC 知与共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线．]
7、C [A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.]
二、填空题
8、－2
解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，
且＝x ＋y ＋z (x ，y ，z ∈R )，
则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．
9、12a ＋14b ＋14c
解析
如图，＝12
(＋) ＝12＋12×12(＋)
＝12a ＋14b ＋14
c .
10、0
解析
如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则＝32
， ∴＋12－32
－＝＋－＋＝＋＋＝0. 三、解答题
11、解
设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心，
于是有＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝4，
同理可证：＋＋＋＝4，
又因为平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，所以＋PE 1＝2， 所以＋＋＋＋＋＋＋＝4＋4＝4(＋)＝8.
12、证明 ∵＝12，＝12，
∴＝2，＝2.
又∵＝＋＋
＝12＋＋12
(＋) ＝12(＋)＋＋12
(＋) ＝12
(＋)，① 又A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线， ∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.
代入①式，得＝12
(2λ＋2ω) ＝λ＋ω.
∴，，共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面． 13、解 (1)方法一 取AA ′的中点为E ， 则12
＝.
又＝，＝，取F 为D ′C ′的一个三等分点
(D ′F ＝23
D ′C ′)， 则＝23
. ∴12＋＋23
＝＋＋＝.
方法二 取AB 的三等分点P 使得＝23
， 取CC ′的中点Q ，则12＋＋23
＝12＋＋23
＝＋＋ ＝＋＋＝.
(2)连结BD ，则M 为BD 的中点， ＝＋
＝12＋34
＝12(＋)＋34
(＋) ＝12(－＋)＋34
(＋) ＝12＋14＋34
. ∴α＝12，β＝14，γ＝34
.。