[K12学习]九年级数学上册 3.2 确定圆的条件 反证法应用例析素材 (新版)青岛版

“反证法”应用例析
反证法是一种间接证题方法。

证题时，首先假设结论不成立，然后以此为出发点，通过正确的逻辑推理，推导出与已知条件、定义、公理或定理等相矛盾的结果，从而肯定假设错误，得出结论正确。

下面举例加以说明，供同学们参考。

一、证明与三角形有关的问题
例题1、求证：一个三角形中不能有两个角是直角。

分析：应首先据题意画出一个三角形草图，并写出已知、求证，然后按照反证法的步骤进行
推理即可。

已知：△ABC。

求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。

证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90º，则∠A+∠B+∠C=90º+90º+∠C＞180º，
这与三角形的内角和定理相矛盾，所以假设∠A=∠B=90º不成立，
因此，一个三角形中不能有两个角是直角。

二、证明与圆有关的问题
例题2、已知：如图，⊙O的两弦AB、CD相交于圆内一点，且AB、CD都不是⊙O的直径。

求证：AB与CD不能互相平分。

分析：应采用反证法。

先假设AB与CD能互相平分，
再据圆的相应定理，推出与我们所学的性质相矛盾
的结果即可。

证明：假设AB与CD能互相平分，并设AB与CD的交点为P，
则有PA=PB,PC=PD,
又∵AB、CD都不是⊙O的直径。

∴点O和点P不重合。

而由PA=PB,得OP⊥AB；由PC=PD,得OP⊥CD
这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。

因此，非直径的两条弦AB与CD不能互相平分。

三、证明与一元二次方程有关的问题
例题3、已知a＞2， b＞2，请判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0有没有公共根；并说明理由。

分析：可用反证法，先假设两个方程有公共根，然后推导出与已知相矛盾。

解：这两个方程没有公共根。

理由如下：
假设所给的这两个方程有公共根x0,根据题意，得
x02-(a+b)x0+ab=0①
x02-abx0+(a+b)=0②
②-①得：(x0+1) (a+b-ab)=0。

因为：a＞2， b＞2，所以a+b≠ab。

这样有，x0=-1。

将x0=-1代入到方程②中，得：1+ a+b+ab=0,显然这是不可能的。

故假设两个方程存在着公共根x0不成立。

因此，已知的两个方程没有公共根。

评注：应用反证法解题应首先掌握基本的解题步骤，其次熟练有关图形和代数等的基础知识，这些都是不可或缺的。

应认真体会、总结，并配合强化训练等加以融会贯通。