1.4.2充要条件PPT课件(人教版)

因为 m∈Z,所以 m=-1,0,1.
当 m=-1 时,方程 x2-4x+4m=0 可化为 x2-4x-4=0,无整数根;
当 m=0 时,方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 可化为 x2-5=0,无整
数根;
当 m=1 时,上述两个方程都有整数根,
所以上述两个方程都有整数根的必要条件是 m=1.
三角形;
(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是
矩形.
解:(1)因为|x|=|y|不能推出 x=y,但 x=y 能推
出|x|=|y|,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
(2)因为△ABC 是直角三角形不能推出
△ABC 是等腰三角形,且△ABC 是等腰三角形也
不能推出△ABC 是直角三角形,所以 p 是 q 的既
得x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1,为整数根,
所以m=1是两个方程的根都是整数的充分条件.
必要性:若方程 x2-4x+4m=0 有实数根,则 Δ=16-16m≥0,即
m≤1,
若方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 有实数根,则 Δ=16m+20≥0,即


m≥- ,

所以上述两个方程都有实数根等价于- ≤m≤1.
不充分也不必要条件.
(3)因为四边形的对角线互相平分不能推出
四边形是矩形,而四边形是矩形能推出四边形的
对角线互相平分,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
探索点二 充要条件的证明
【例 2】 已知 ab≠0,求证:a+b=1 是 a3+b3+ab-a2-b2=0 的充
要条件.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
+ 2 ≤ 4,
解得0≤a≤2.
答案:A
(2)求关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个
负根的充要条件.
解:因为关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根,所
1
以当a=0时,x=- ,满足题意;
2
当a≠0时,设两根分别为x1,x2,则
1

1
= > 0,
൝
或൝ 1 2
= 4 − 4 > 0 = 4 − 4 ≥ 0,
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2
[学习目标]
充要条
1. 通过对典型数学命题的梳理,理解充要
条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
2.能初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,
提升逻辑推理素养.
充要条件
[知识梳理]
1.逆命题
将命题“若 p,则 q”中的条件 p 和结论 q 互换,就得
其充分条件.
【跟踪训练】
3.变式练例本题(2)的条件“关于 x 的方程
ax2+2x+1=0 至少有一个负根”改为“关于 x 的一
元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根”,如
何求解?
解:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一
正根和一负根的等价条件为
= 2 − 4 > 0,

1
2
2
或1时,Δ=(m+1)2-8m2<0,即当m=- 或1时,方程无实数根.
2
故当m=0时符合题意.
课堂建构
到一个新的命题“ 若q,则p ”,称这个命题为原命题的逆
命题.
2.充要条件
如果“若 p,则 q”和它的逆命题“若 q,则 p”均是真
命题,即既有 p⇒q ,又有q⇒p ,就记作 p⇔q ,此时,p 既是 q
的 充分条件,也是 q 的 必要条件 ,我们说 p 是 q 的充分必
要条件,简称为 充要条件 .
时,说明 x≠0,有 x2>0,则 ax2>bx2⇒ a>b; 当 x=0
时,a>b⇒ax2=bx2,故“ax2>bx2”是“a>b”的充分不必要条
件,D 项正确.
答案:CD
方法规律
充要条件的常用判断方法
设“若 p,则 q”为原命题.
(1)当原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必
要条件;
于 x 的方程 ax2+bx+c=0 中 a 可能为 0,所以该方程不一
定有两个不等实根,充分性不成立,B 项错误;对于 C 项,x
为无理数,不能推出 x2 为无理数,例如 x= ,反过来,x2 是
无理数,那么 x 一定是无理数,故“x 为无理数”是“x2 为无
理数”的必要不充分条件,C 项正确;对于 D 项, 当 ax2>bx2

即ac<0.
ቐ
1 2 = < 0,

所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有
一正根和一负根的充要条件是ac<0.
4.同类练求关于 x 的方程 3x2+10x+k=0 有
两个不相等的负实数根的充要条件.
解:因为关于x的方程3x2+10x+k=0有两个
10
不相等的负实数根,且x1+x2=- <0,所以只需
解得a<0或0<a≤1.
综上,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要
条件为a≤1.
1 2 =
< 0,
方法规律
探求一个命题的充要条件的方法
(1)可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件⇒
结论”和“结论⇒条件”;
(2)可以寻求结论的等价命题;
(3)可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是
C.“x 为无理数”是“x2 为无理数”的必要不充分条
件
D.“ax2>bx2”是“a>b”的充分不必要条件
析:对于 A 项,当 x>2,且 y>3 时,得出 x+y>5,充分性
成立,当 x+y>5 时,不能得出 x>2,且 y>3,必要性不成立,故
是充分不必要条件,A 项错误;对于 B 项,当 b2-4ac>0 时,关
命题. (
)
答案:√
(3)当 q 不是 p 的必要条件时,“p⇒/q”成立. (
)
答案:√
探索点一 充要条件的判断
【例 1】多选题 多选题下列命题正确的为
(
)
A.“x>2,且 y>3”是“x+y>5”的充要条件
B.“b2-4ac>0”是“关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有两
个不等实根”的充要条件
2.已知 m∈Z,关于 x 的一元二次方程 x2-4x+4m=0 和 x24mx+4m2-4m-5=0.
求证:上述两个方程的根都是整数的充要条件是 m=1.
证明:充分性:将m=1代入方程x2-4x+4m=0,
得x2-4x+4=0,解得x=2,为整数根;
将m=1代入方程x2-4mx+4m2-4m-5=0,
(2)当原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充
分条件;
(3)当原命题、逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件;
(4)当原命题、逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分也
不必要条件.
【跟踪训练】
1.判断下列各题中 p 是 q 的什么条件.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
(2)p:△ABC 是直角三角形,q:△ABC 是等腰
3
> 0,
ቊ
1 2 > 0,
100 − 12 > 0,
25

即ቐ
解得0<k< ,
3
> 0,
3
所以方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负
25
实数根的充要条件是0<k< .
3
5.拔高练(1)“函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 y 轴交于
负半轴”的充要条件是 c<0 ;
解析:函数的图象与y轴交于负半轴,则c<0.
(2)关于 x 的方程 m2x2-(m+1)x+2=0 的所有实数根的
和为 2 的充要条件是 m=0 .
解析:当m=0时,方程为-x+2=0,解得x=2;
当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的根,
+1
+1
1
1
则x1+x2= 2 ,由x1+x2=2,得 2 =2,解得m=- 或1.当m=
【思考】
(1) 若 p 是 q 的充要条件,则 q 是 p 的充要条件吗?
提示:是,p与q互为充要条件.
(2)符号“⇔”的含义是什么?
提示:“⇔”表示“等价”的意思.
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.
(
)
答案:√
(2)若 p 是 q 的充要条件,则 p 和 q 是两个相互等价的
综上所述,这两个方程的根都是整数的充要条件是 m=1.
探索点三 求充要条件
【例 3】 (1)若集合 A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2,或
x≥4},则 A∩B=⌀的充要条件是 (
)
A.0≤a≤2
C.0<a≤2
B.-2<a<2
D.0<a<2
− 2 ≥ −2,
解析:由A∩B=⌀,得ቊ