武汉市汉铁高级中学高三上学期第六次周练 数学(文)试题

一． 选择题
1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是（ ） （A ）任意一个有理数，它的平方是有理数 (B)任意一个无理数，它的平方不是有理数 (C)存在一个有理数,它的平方是有理数 (D ）存在一个无理数,它的平方不是有理数
2。

设0〈x<2
π，则“xsin 2x 〈1”是“xsin x 〈1”的( ）
（A ）充分而不必要条件
（B)必要而不充分条件 (C ）充分必要条件
（D)既不充分也不必要条件
3.设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（－2，1]上的图像，则(2013)f ＋(2014)f ＝( ）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0 4．若02
πα<<，02
πβ-<<，1cos()4
3
πα+=，3
cos()4
2
3πβ-=
，则cos()2βα+=（ ）
A ．
33
B ．33
-
C ．5
39
D ．69
-
5。

已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1,S n =2a n+1,则S n 等于（ ）
（A ）2n —1 （B)（）n-1 （C)()n —1 （D ）
6。

数列｛a n }满足a n+1+（—1)n a n =2n —1，则{a n ｝的前60项和为( ） （A)3690 （B)3660 （C ）1845 （D ）1830 7.等差数列}{n
a 中，2
2008a
=，2008200416a a =-，则其前n 项和n
S 取最大值时n
等于（ ） A ．503
B ．504
C ．503或504
D ．504或505
8．函数f （x )的定义域为R ，f （－1)＝2，对任意x ∈R,f ′（x )＞2，则f （x )＞2x ＋4的解集为（ )．
A ．（－1,1）
B ．（－1,＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
9.等差数列｛a n }、{b n ｝的前n 项和分别为S n 、T n ，且S n
T n
＝错误!，则使
得错误!为整数的正整数n 的个数是（ )
A ．3
B ． 4
C ．5
D ．6
10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈［－1,1]，则f (m )＋f ′（n )的最小值是（ ）
A ．－13
B ．－15
C ．10
D ．15 二．填空题
11。

S n 为等差数列｛a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－
S k ＝24，则k ＝---——--
12、数列{}n
a 满足递推公式1331(2)n n
n a
a n -=+-≥又15a =，则使得3
n n a λ⎧+⎫⎨⎬
⎭
⎩为等差数列的实数λ的值为 ．
13、设向量a ，b 满足25a =， (2,1)
b =,且a 与b 的方向相反，则a 的坐标
为 。

14。

对于正项数列｛⎭
⎬⎫a n ，定义H n ＝n
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n
为错误!的
“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝错误!，则数列错误!的通项公式为________．
15．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,若(a-b)sinB ＝asinA －csin C ．且a 2＋b 2－6(a+b)＋18＝0，AB BC BC CA CA AB ++＝──────
16.设{a n ｝是集合｛2t ＋2s ｜0≤s ＜t ,且s ，t ∈Z}中所有的 数按从小到大的顺序排成的数列,即a 1＝
3，a 2＝5，a 3
＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6=12………将数列｛a n ｝中的各项按照上小下大,左小右大的原则写成如图所示的三角形数表,则这个三角形数表
的第n行的数字之和是________．
17。

植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）
三．解答题
18。

设函数f（x）＝4cos错误!sin ωx－cos（2ωx＋π），其中ω＞0. (1)求函数y＝f（x)的值域；
（2）若f（x)在区间错误!上为增函数，求ω的最大值．
19。

已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝1－a n(n∈N*)．
（1)试求｛a n｝的通项公式；
（2）若数列｛b n}满足：b n＝错误!(n∈N＊)，试求｛b n｝的前n项和T n.
20.已知｛a n｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2＋a7＝16.
（1)求数列｛a n｝的通项公式；
(2)若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n＝b1
2
＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n
为正整数)，求数列｛b n｝的前n项和S n。

21.在数列{a n｝中,a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0（n≥2）．
（1）证明数列错误!是等差数列；
（2)求数列{a n}的通项;
(3)若λa n＋错误!≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
22.已知函数f(x）＝x2－2eln x．（e为自然对数的底数）
（1）求f（x)的最小值;
（2）是否存在常数a，b使得x2≥ax＋b≥2eln x对于任意的正数x 恒成立？若存在,求出a，b的值；若不存在，说明理由．
19.解：(1）∵S n＝1－a n①，∴S n＋1＝1－a n＋1②，
②－①得a n＋1＝－a n＋1＋a n,∴a n＋1＝错误!a n,n∈N＊。

又n＝1时，a1＝1－a1,∴a1＝错误!，
∴a n＝错误!·错误!n－1＝错误!n,n∈N*.
（2）由（1）及已知得b n＝错误!＝n·2n,n∈N＊，
∴T n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n③，
∴2T n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1④,
③－④得－T n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝错误!－n×2n＋1，整理得T n＝(n－1）2n＋1＋2,n∈N*.
20。

解：（1）设等差数列｛a n｝的公差为d,则依题意知d＞0,由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16，①
由a3a6＝55,得（a1＋2d)（a1＋5d)＝55，②
由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)（16＋3d）＝220，即256－9d2＝220.∴d2＝4,又d＞0，
∴d＝2，代入①得a1＝1，
∴a n＝1＋（n－1)·2＝2n－1。

(2）当n＝1时，a1＝错误!，∴b1＝2。

当n≥2时，a n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，
a n－1＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，
两式相减得a n－a n－1＝错误!,∴b n＝2n＋1，
∴b n＝错误!.
当n＝1时，S1＝b1＝2；
当n≥2时，S n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝2＋错误!＝2n＋2－6，当n＝1时上式也成立．
综上，当n为正整数时，S n＝2n＋2－6。

21.解：(1)证明:由3a n a n－1＋a n－a n－1＝0
∴3＋错误!－错误!＝0
∴错误!－错误!＝3，而错误!＝1
∴错误!是以1为首项，公差为3的等差数列．
(2）由（1）可得1
a n＝1＋3(n－1)＝3n－2
所以a n＝1
3n－2。

（3)λa n＋错误!≥λ对n≥2的整数恒成立,
即错误!＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立，
整理得λ≤错误!，
令c n＝错误!，
c n＋1－c n＝错误!－错误!
＝错误!。

因为n≥2，所以c n＋1－c n＞0，即数列{c n}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝错误!.所以λ的取值范围为错误!。

22。

解：（1)f′(x)＝2x－错误!（x＞0）
令f′（x)＝0,得x2＝e，所以x＝e。

当0＜x＜错误!时，f′（x）＜0,所以f(x）在(0，错误!）上是减函数;
当x＞错误!时,f′（x）＞0,所以f（x）在(错误!,＋∞)上是增函数．故函数f(x）在x＝e处取得最小值f（错误!)＝0.
（2)由（1）知，当x∈(0，＋∞)时，有f（x)≥f（e)＝0，
即x2≥2eln x，当且仅当x＝错误!时，等号成立．
即曲线y＝x2和y＝2eln x有唯一公共点（错误!,e)．
若存在a,b，使得直线y＝ax＋b是曲线y＝x2和y＝2eln x的公切线，切点为（错误!，e）．
由(x2）′＝2x,得直线y＝ax＋b的斜率a＝2错误!。

又直线y＝ax＋b过点(错误!，e)，所以e＝2错误!·错误!＋b，得b＝－e.
故存在a＝2错误!，b＝－e,使得x2≥ax＋b≥2eln x对于任意的正数x恒成立．
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附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://www./wxt/list。

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