高中数学 第一章122分层抽样和系统抽样学案 北师大必修3 学案

第一章统计1.2.2分层抽样和系统抽样
一. 学习内容：
简单随机抽样（抽签法与随机数表法）、分层抽样、系统抽样
二、学习目标
1、能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
2、结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；
3、在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法；
4、能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

三、知识要点
1、抽样调查：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查。

其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本。

抽样调查是相对于普查而言的，具有迅速及时、节约人力物力财力的优点。

2、简单随机抽样：也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点：逐个抽取，不放回抽样，每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3、简单随机抽样的方法——抽签法：先将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在一起进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

对个体编号时，也可以利用已有的编号，例如从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等。

适用情形：当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。

步骤：
①给调查对象群体中的每个对象编号；
②准备“抽签”的工具，实施“抽签”；
③对样本中每一个个体进行测量或调查。

4、简单随机抽样的方法——随机数表法：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。

步骤：
①将总体的个体编号；
②在随机数表中选择开始数字和抽取的方向（上下左右等）；
③读数获取样本号码。

说明：对读到的随机数，要判断其是否小于或等于总体容量N。

5、分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。

分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）分层：将相似的个体归为一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。

（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。

步骤：
①分层：按某种特征将总体分成若干部分。

②按比例（每层个体占总体的比例）确定每层抽取个体的个数。

③各层分别按简单随机抽样的方法抽取。

④综合每层抽样，组成样本。

6、系统抽样：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的n个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。

系统抽样又称为等距抽样或机械抽样，特征：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时的间隔一般为k＝
N
n
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
.
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号a，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号a+k，a+2k，a+3k，……，a+nk。

考点解析与典型例题
考点一简单随机抽样
例1、人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
【分析】简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张牌在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。

【答】不是。

因为简单随机抽样的特征是逐个、随机的抽取，而在本题的发牌方式下，除了第一张是随机抽取外，其它各张均随着第一张牌的确定而确定，因此不是简单随机抽样。

例2、某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
【解】
法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着无放回地连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径。

法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1
个数向右逐行开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。

考点二分层抽样
例3、一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
【分析】由于抽样时要考虑到年龄，因此可采用分层抽样的方法。

【解】因为抽取人数与职工总数的比为100：500=1 ：5，所以在各年龄段抽取的职工人数依次是12528095
,,,
555
即25，56，19
考点三系统抽样
例4、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。

【分析】由于抽取的人数较多，因此可考虑系统抽样。

首先按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号。

【解】按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把295名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生。

采用简单随机抽样的方法，从第一组的5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k（1≤k≤5），那么抽取的学生编号为k+5L（L=0，1，2，……，58），得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293。

五、数学思想方法
现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，以作出合理的判断。

但有时获得数据的过程具有一定的破坏性，譬如检验灯泡的使用寿命，我们无法对对象的全体进行检测（普查），只能通过抽取一定的样本来对全体的相关数据进行估计。

抽样时要保证样本有效，必须要保证抽样的公平性，即每个个体被抽取的“可能性”相等，所以在本讲学习中要充分领会抽样调查的优越性和公平的原则。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，
下列说法正确的是（）
A. 总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生
D、样本容量是40
2. 如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性为
A.
1
N
B.
1
n
C.
n
N
D.
N
n
3. 为了测量一批所加工零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（）
A、总体
B、个体
C、总体的一个样本
D、样本容量
4. 从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）
A. 1，2，3，4，5 B、10，20，30，40，50
C. 2， 4， 6， 8， 10 D、4，11，21，31，41
5. 对于简单随机抽样，个体被抽到的机会（）
A. 相等
B. 不相等
C. 不确定
D. 与抽样次数有关
6. 用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽20人进行某项活动，某男生被抽到的几率是（）
A.
1
100 B.
1
25 C.
1
5 D.
1
4
7. 对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 为（）
A. 150
B. 200
C. 100
D. 120
二、填空题
8.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，
用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．
9. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户。

为了调查社会购
买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A；某中学高中一年级有12名女排
运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样
方法：A为，B为。

三、解答题
10. 要从某汽车厂生产的100辆汽车中随机抽取10 辆进行测试，请用系统抽样方法，写出抽样过程。

11. 从含有50个个体的总体中抽取5个个体，请用抽签抽样法写出抽样过程
12. 一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样
本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问：应采取什么样的方法？并写出
具体过程。

13. 从个体总数N=500的总体中，抽取一个容量为n=20的样本，使用随机数表法进行抽选，要取三位数，写
出你抽取的样本，并写出抽取过程. （起点在第几行，第几列，具体方法）
【试题答案】
一、选择题
二、填空题
8. 10
9. 分层抽样，简单随机抽样；
三、解答题
10. 第一步：将100辆汽车编号，号码为00，01， (99)
第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向. 比如，选第20行第一个数“3”，向右读；
第三步：从数“3”开始，向右读，每次读取两位，凡不在00～99中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到31，16，93，32，43，50，27，89，87，19；
第四步：以上号码对应的汽车便可组成要抽取的样本.
11. 第一步:给50个个体编号为1，2， (50)
第二步：把这50个号码写在无差别的纸团上，放入箱中均匀搅拌；
第三步：无放回地逐个抽取5个号码；
第四步：抽出的5个号码对应的个体即组成要抽取的样本。

12. 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。

（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。

300×
3
15
=60（人），300×
2
15
=40（人），
5
300100
15
⨯=（人），300×15
2
=40（人），300×
3
15
=60（人），因此
各乡镇抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人。

（3）将300人组到一起，即得到一个样本。

13. 第一步：给总体中的每个个体编号码为001，002，003， (500)
第二步：从随机数表的第13行第3列的4开始向右连续读取数字，以3个数为一组，碰到右边线时向下错一行向左继续读取，在读取时，遇到大于500或重复的数时，将它舍弃，再继续向下读取，所抽取的样本号码如下：（随机数表见课本附表）
424 064 297 074 140 407 385 075 354 024
066 352 022 088 313 500 162 290 263 253。