高中数学《古典概型-多种解法与生活》文字素材1 新人教B版必修3

一道古典概型题的多种解法
古典概型是一种重要的概率模型，它具有两个明显的特征：一是试验结果的有限性，二是每个结果出现的等可能性. 求解古典概型问题要按下面的3个步骤进行：
1. 阅读题意，判断问题类型. 为此弄清三个问题：第一，该试验的结果是否为等可能事件；第二，该试验的基本事件共有多少个；第三，事件A是什么.
2. 设出事件A〔或B、C等〕，分别求出基本事件的个数n和所求事件A中所包含的基本事件的个数 m. 如果基本事件的个数比较少，可用列举法将基本事件一一列出，然后再求m、n.这是一个形象、直观的方法，但列举时应按某种规律列举，做到不重不漏.
3. 利用公式 P〔A〕=，求出事件A的概率.
[例题] 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.
[思考与分析] 由于抛一枚质地均匀的骰子，哪个点朝上是等可能的，所以该试验的结果是等可能事件. 又因为结果是有限的，故为古典概型.
解法1：〔直接法〕同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：
由表可知，该试验共有36个不同的结果，其中事件A：“至少含有一个5点或6点〞的
结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率为P〔A〕=.
解法2：〔间接法〕
事件A：“至少有一个5点或6点〞的对立事件是“没有5点和6点〞.从表中可知，没
有5点和6点的结果共有 16种，没有5点和6点的概率为.
所以至少有一个5点或6点的概率是P〔A〕=
解法3：〔分解法〕
记事件A=“含有点数5的〞，事件B=“含有点数6的〞，显然A、B不是互斥事件，
所以至少有一个5点或6点的概率是
P〔A∪B〕=P〔A〕+P〔B〕-P〔A∩B〕
[小结] 此题用了三种方法，一是直接法即列表法，二是间接法，即利用对立事件的概率公式P〔A〕=1－P〔A〕求解，三是转化为几个事件的和，利用概率的加法公式P〔A∪B〕=P 〔A〕+P〔B〕-P〔A∩B〕求解.
生活中的古典概型
19世纪法国著名数学家拉普拉斯曾说过：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。

〞可见概率在我们的生活中存在的广泛性与重要性，而古典概型作为一种重要的概率模型，在生活中就更加少不了了.下面举几个例子，帮助大家理解.
例1 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕捞出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕捞出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼的，设有40尾。

根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.
解：设水库中鱼的尾数为n ，n 是未知的，现在要估n 的值。

假定每尾鱼被捕捞的可能性是相等的，设事件A ＝｛捕捞上来的鱼带有记号｝，那么由古典概型可知
第二次从水库中捕捞出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数m=40,由概率的统计定义知
所以，估计水库中约有鱼25000尾.
古典概型的计算问题
古典概型具备两个特征：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.对于古典概型，任何事件的概率为：基本事件的总数
包含基本事件的个数A A P =)(.根据这个公式进行计算时，关键是要求出A 包含基本事件的个数和基本事件的总数，因此，要正确理解基本事件与事件A 的相互关系，既不能重复，又不能遗漏地计算出基本事件的个数，然后利用公式正确进行古典概型的计算.
例1.抛掷一枚均匀的正方体骰子，那么出现的点数大于3的概率是.
解析：所有可能出现的点数有1、2、3、4、5、6六种情况，而点数大于3的情况有4、5、6三种情况，所以抛掷骰子后出现点数大于3的概率2
163=. 例2.某种产品共100件，其中有次品3件，从中任意取出一件产品，是正品的概率是. 解析：共有100件产品，其中有3件次品，那么有97件正品，因此，从中任意取出一件产品，是正品的概率是97%.
例3.小明家的客厅地面上铺了15块白色的地板砖，8块黑色的地板砖，现在在他家的客厅里任意抛出一个乒乓球，最后停在白砖上的概率是.
解析：小明家客厅里所有的地板砖共有15+8=23块，而白砖有15块，因此，乒乓球最后停在白砖上的概率是23
15. 例4.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6〕，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，那么1log 2=y x 的概率为〔 〕
〔A 〕61 〔B 〕365 〔C 〕121 〔D 〕2
1 解析：由1log 2=y x 得x y 2=.抛掷这两枚骰子出现的点数一共有3666=⨯种结果，
而满足x y 2=的只有〔1，2〕、〔2，4〕、〔3，6〕这三个可能，因此所求概率为12
1363=. 例5.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字〔允许重复〕组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为〔 〕
〔A 〕125
13 〔B 〕12516 〔C 〕12518 〔D 〕12519 解析：从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字〔允许重复〕组成的所有三位数的个数为12553=个，而各位数字之和等于9的三位数分别为：135、153、351、315、513、531、234、243、324、342、432、423、225、522、252、144、414、441、333共19个，因此各位数字之和等于9的概率为
125
19，选D.。