苏教版高中数学必修4《向量的应用(1)》参考课件

时 栏 目 开 关
难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式： cos θ＝||vv11|·|vv22||＝ 1＋|1＋k21·k1k12＋| k22.
例如：直线 x－2y＋1＝0 与直线 2x＋y－3＝0 的夹角为
__9_0_°____；直线 2x－y－1＝0 与直线 3x＋y＋1＝0 的夹角为
探究点三 平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共
点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直
观．其基本方法是：
本 课
(1)要证明线段 AB＝CD，可转化为证明|A→B|＝|C→D|.
时 栏
(2)要证明 AB∥CD，只需证明存在一个不为零的实数 λ，使得A→B
证明 选{A→B，A→D}为基底．设A→R＝mA→C，A→T＝nA→C，则B→R＝A→R
本 课
－A→B＝mA→C－A→B＝m(A→B＋A→D)－A→B＝(m－1) A→B＋mA→D，
时 栏 目 开 关
B→E＝A→E－A→B＝－A→B＋12A→D. ∵B→R与B→E共线，∴(m－1)×12－(－1)×m＝0，∴m＝13. 同理解得 n＝23.∴AR＝RT＝TC.
课 时
(B，－A)．
栏 目
综上所述，直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量为 v＝(B，
开 关
－A)．
例如：已知直线 l：2x－y＋1＝0，在下列向量：
①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝－12，－1；④v4＝(－2，
－4)．其中能作为直线 l 方向向量的有：_①___③__④__
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4
得 m＝45，所以EBCE＝56＝23.
5
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2.5（一）
小结 用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为
向量问题是关键．对具体问题是选用向量几何法还是用向量
本 课
坐标法是难点，利用几何法时，正确选取基底是解决问题的
时
关键；利用向量的坐标法有时会给解决问题带来方便．
栏
课 时
(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量为(1，k)，法向量为 (k，－1).
栏 目
(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 (B，－A)，法向量
开 关
为 (A，B) .
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2.5（一）
探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角
(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量：如果向量 v 与直线 l 共线，
即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程．
同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
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2.5（一）
(2)设点 N(x，y)是 CH 所在直线上任意一点，则C→N⊥A→B.
∴C→N·A→B＝0.
本 又C→N＝(x＋6，y－2)，A→B＝(4,4)．
x1x2＋y1y2＝0 .
a·b
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 c＋y21 x22＋y22
.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.5（一）
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运
算、向量模的公式：|a|＝ x2＋y2 .
本 2．直线的方向向量和法向量
(1)求直线 DE、EF、FD 的方程；
本
(2)求 AB 边上的高线 CH 所在直线的方程．
课 时
解 (1)由已知得点 D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设
栏 目
M(x，y)是直线 DE 上任意一点，则D→M∥D→E.
开 关
D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2)．
∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
课 时 栏
－45，35＝－15，75.
目 开
∵∠A 的平分线过点 A.
关 ∴所求直线方程为－75(x－4)－15(y－1)＝0.
整理得：7x＋y－29＝0.
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2.5（一）
例 2 如图，▱ABCD 中，点 E、F 分别是
AD、DC 边的中点，BE、BF 分别与 AC
交于 R、T 两点，求证：AR＝RT＝TC.
本 课 时 栏 目 开 关
2.5（一）
【学习要求】
1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一
些实际问题的过程．
本 课
2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具．
时 栏
3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
目
开
关
2.5（一）
【学法指导】
由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些
小结 解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况的原因
是不能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素与向量之间
的联系．
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跟踪训练 2 已知 PQ 过△OAB 的重心 G，
设O→A＝a，O→B＝b.若O→P＝ma，O→Q＝nb，求
证：m1 ＋n1＝3.
本 证明 选{a，b}为基底．延长 OG 交 AB 于 M 点，
课 时
∵G 为△OAB 的重心，
栏 ∴M 为 AB 的中点，
目 开 关
∴P→G＝O→G－O→P＝23O→M－O→P＝23×12(O→A＋O→B)－ma
＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.
同理Q→G＝13a＋13－nb.
2.5（一）
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2.5（一）
∵P→G与Q→G共线，∴13－m×13－n－13×13＝0.
a·b＝|a||b|cos 60°＝1，B→D＝a＋b.
目 开
设B→E＝λB→C＝λb，则A→E＝B→E－B→A＝λb－a.
关 由 AE⊥BD，得A→E·B→D＝0.
即(λb－a)·(a＋b)＝0. 2
解得 λ＝25，∴EBCE＝53＝23. 5
2.5（一）
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2.5（一）
目
开
关
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2.5（一）
跟踪训练 3 已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，
PFCE 为矩形．求证：PA＝EF 且 PA⊥EF. 证明 以 D 为坐标原点，DC 所在直线为 x 轴，
本 课
化简得 m＋n＝3mn，∴m1 ＋1n＝3.
时
栏
目
开
关
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例 3 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，
BC＝2BA，∠ABC＝60°，作 AE⊥BD 交
BC 于 E，求EBCE的值．
解 方法一 (基向量法)
本 课
设B→A＝a，B→C＝b，|a|＝1，|b|＝2.
时 栏
当 n1∥n2 时，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．即 A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2
或 l1 与 l2 重合；
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2.5（一）
当 n1⊥n2 时，l1⊥l2.即 A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2. 例如：直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x
问题正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面
本
几何问题．
课 时
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
栏 目
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几
开 关
何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
填一填·知识要点、记下疑难点
本 课
则称向量 v 为直线 l 的方向向量．
时 栏 目 开
对于任意一条直线 l：y＝kx＋b，在它上面任取两点 A(x0， y0)，B(x，y)，则向量A→B＝(x－x0，y－y0)与直线 l 共线，
关
即A→B为直线 l 的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝x－1x0(1，
xy－ －yx00)＝x－1 x0(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)
目 开 关
＝λC→D，且 A、B、C、D 不共线即可． (3)要证明 A、B、C 三点共线，只需证明A→B∥A→C或A→B∥B→C.
(4)要证明 AB⊥CD，只需证明A→B·C→D＝0，或若A→B＝(x1，y1)， C→D＝(x2，y2)，则用坐标证明 x1x2＋y1y2＝0 即可． (5)常用|a|＝ a·a和 cos θ＝|aa|·|bb|处理有关长度与角度的问题．
2.5（一）
(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角
已知直线 l1：y＝k1x＋b1 与直线 l2：y＝k2x＋b2，它们的方向
向量依次为 v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)．
当 v1⊥v2，即 v1·v2＝1＋k1k2＝0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当
本 课
k1k2≠－1 时，v1·v2≠0，直线 l1 与 l2 的夹角为 θ(0°<θ<90°)．不
＋(2a＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为___±___1__．
本 解析 n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
课 时
∵l1⊥l2，
栏 ∴n1·n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)
目 开
＝(a－1)(－a－1)＝0，
关 ∴a＝±1.
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2.5（一）
___4_5_°___．
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2.5（一）
探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系
(1)直线 Ax＋By＋C＝0 的法向量：如果向量 n 与直线 l 垂
直，则称向量 n 为直线 l 的法向量．因此若直线的方向向
量为 v，则 n·v＝0.从而对于直线 Ax＋By＋C＝0 而言，其
共线，从而向量(1，k)是直线 y＝kx＋b 的一个方向向量．
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2.5（一）
(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量 当 B≠0 时，k＝－BA，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以
向量(B，－A)是直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量；当 B
本
＝0 时，A≠0，直线 x＝－AC的一个方向向量为(0，－A)，即
本 课
方向向量为 v＝(B，－A)，则由于 n·v＝0，于是可取 n＝(A，
时
B)，这时因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向
栏
目
量也有无数个．
开 关
(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线
的位置关系：对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y
＋C2＝0，它们的法向量分别为 n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．
2.5（一）
1．向量方法在几何中的应用
本 课 时
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)
的等价条件：a∥b(b≠0)⇔ a＝λb ⇔ x1y2－x2y1＝0 .
栏
目
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向
开 关
量垂直的等价条件：非零向量 a，b，a⊥b⇔ a·b＝0 ⇔
方法二 以 B 为坐标原点，直线 BC 为 x 轴建立平面直角坐
标系，根据条件，设 B(0,0)，C(2,0)，A12， 23，D52， 23.
又设 E(m,0)，
本 课 时 栏
则B→D＝52， 23，A→E＝m－12，－ 23. 由 AE⊥BD，得A→E·B→D＝0.
目 开 关
即52m－12－ 23× 23＝0，
课 时
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
栏 即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 的方程．
目 开
小结 (1)利用向量法来解决平面几何问题时，首先要将线段
关 看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 v＝(B，－A)，法向量 n
＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关
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2.5（一）
例如，在平行四边形中有下列结论：平行四边形两条对角线
的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍．请用向量法给出证明．
证明 在平行四边形 ABCD 中，
A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B，
本 课 时 栏
∴A→C2＝(A→B＋A→D)2＝A→B2＋A→D2＋2A→B·A→D； B→D2＝(A→D－A→B)2＝A→D2＋A→B2－2A→B·A→D.
目 开
∴A→C2＋B→D2＝2A→B2＋2A→D2.
关 即|A→C|2＋|B→D|2＝2(|A→B|2＋|A→D|2)．
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2.5（一）
[典型例题]
例 1 已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，
点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点．
系、求两条直线的夹角时非常有用．
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2.5（一）
跟踪训练 1 在△ABC 中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A
的平分线的方程．
解 A→B＝(3,4)，A→C＝(－8,6)，
本
∠A
的
平
分
线
的
一
个
方
向
向
量
为
：
A→B |A→B|
＋
A→C |A→C|
＝
35，45
＋