2011年海淀区初三数学二模试题答案Word版_题库_初中数学新_更新_二模试

海淀区九年级第二学期期末练习
数 学
参考答案及评分标准 2011.6
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
D
C
B
C
D
D
C
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10
11 12
答案
5
2(3)2y x =+-
30°
101
4
注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式323=--+231+
…….……………………..4分
2=-.
…….……………………..5分
14.解：方程两边同时乘以(2)(2)x x +-方程可化为： 3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x -++=+-，
(2)
分
即 223624312x x x x -++=-. ∴ 4x =.
(4)
分
经检验：4x =是原方程的解. ∴原方程的解是4x =.
(5)
分
15. 证明：∵AE ⊥BC 于E ， AF ⊥CD 于F ，
∴90AEB AFD ∠=∠=︒,
(1)
分
∵菱形ABCD ,
∴AB =AD , B D ∠=∠.
(3)
分
在Rt △EBA 和Rt △FDA 中,
,,
.AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EBA ≌△FDA .
(4)
分
∴AE =AF .
(5)
分
16.解：∵2()(2)(2)x y x y y x ----=(2)(2)x y x y x y ---+
…….……………………..1分
(2)y x y =-, (2)
分 又∵3
2y x y
+
=, ∴3
2x y y
-=. (3)
分
将3
2x y y
-=
代入上式，得(2) 3.y x y -= ∴当3
2y x y
+=时，代数式2()(2)(2)x y x y y x ----的值为3. (5)
分
17．解：（1）∵ 直线y x b =-+经过点(2,1)A ，
∴ 12b =-+.
(1)
分
∴ 3b =.
(2)
分
（2）∵ M 是直线3y x =-+上异于A 的动点，且在第一象限内．
∴ 设M （a ，3a -+），且03a <<. 由MN ⊥x 轴，AB x ⊥轴得,
MN=3a -+，ON=a ，AB =1，2OB =.
∵ MON △的面积和AOB △的面积相等， ∴ ()11
32122
a a -+=⨯⨯.
(3)
分
解得：11a =，22a =（不合题意，舍）.
…….……………………..4分 ∴ M （1，2）.
(5)
y x b
=-+B
O
A x
y
M
N
分
18．解：（1）由租用甲种汽车
x 辆，则租用乙种汽车(
8x -)辆.
…….……………………..1分
由题意得：290,
100.
4030(8)1020(8)x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥
(3)
分
解得：56x ≤≤.
(4)
分
即共有2种租车方案：
第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；
第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
(5)
分
19．解：作DE //AC ,交BC 的延长线于点E ,作DF ⊥BE,垂足为F.
(1)
分
∵AD //BC ,
∴四边形ACED 为平行四边形. ∴AD=CE=3，BE=BC+CE=8.
…….……………………..2分
∵AC ⊥BD ， ∴DE ⊥BD.
∴△BDE 为直角三角形 ，90.BDE ∠=︒ ∵∠DBC =30°，BE =8,
∴4,4 3.DE BD == (4)
分
在直角三角形BDF 中∠DBC =30°, ∴23DF =.
…….……………………..5分 20．（1）证明：连结OC .
∵CD 是O ⊙的切线， ∴OC ⊥CD. ∴90OCM ∠=︒.
(1)
分
∵//CD AB ,
∴180OCM COA ∠+∠=︒. ∵AM ⊥CD, ∴90AMC ∠=︒.
∴在四边形OAMC 中90OAM ∠=︒ .
∵OA 为O ⊙的半径,
D
B
M A
O
C
1
图B
A
D
C
E
F
∴AM 是O ⊙的切线 . (2)
分
（2）连结OC ,BC .
∵CD 是O ⊙的切线， ∴OC ⊥CD . ∴90OCM ∠=︒. ∵AM ⊥CD , ∴90AMC ∠=︒. ∴//OC AM .
∴12∠=∠.
∵OA= OC ,
∴32∠=∠. 即BAC CAM ∠=∠. (3)
分
易知90ACB ∠=︒， ∴BAC CAM △∽△.
(4)
分 ∴
AB AC
AC AM
=
. 即224AC AB AM =⋅=. ∴26AC =.
(5)
分
21．解：（1）800，400，40；
(3)
分
（2）2010，2100.
(5)
分
注：本题一空一分
22．解：（1）如图，当C 、D 是边AO ,OB 的中点时，
点E 、F 都在边AB 上，且CF AB ⊥. ∵OA =OB =8， ∴OC =AC=OD=4. ∵90AOB ∠=︒,
∴42CD =.
(1)
分
在Rt ACF △中， ∵45A ∠=︒,
A
C
O D
B
F
E
2
图O
A
B
D
M
C 1
2
3
∴22CF =.
∴422216CDEF S =⨯=矩形. (2)
分
（2）设,CD x CF y ==.过F 作FH AO ⊥于H . 在Rt COD △中，
∵4tan 3
CDO ∠=
, ∴43
sin ,cos 55
CDO CDO ∠=∠=.
∴45
CO x =.
…….……………………..3分 ∵90FCH OCD ∠+∠=︒, ∴FCH CDO ∠=∠.
∴3cos .5HC y FCH y =⋅∠=
∴2245
FH CF CH y =-=
. ∵AHF △是等腰直角三角形, ∴45
AH FH y ==
. ∴AO AH HC CO =++. ∴
74855
y x +=. ∴1
(404)7
y x =-.
(4)
分
易知2214
(404)[(5)25]77
CDEF S xy x x x ==-=---矩形,
∴当5x =时，矩形CDEF 面积的最大值为100
7
. (5)
分
23．解：（1）由题意可知,∵(32)4(3)90m m m ∆=---=>， (1)
分
即0.∆>
∴方程总有两个不相等的实数根.
…….……………………..2分
（2）由求根公式，得
(32)3
2m x m --±=
．
∴ 3
1x m
=-或1x =． (3)
A C
O
D B
F
E
H
分
∵ m ＞0， ∴ 3
11m
>-
． ∵ 12x x >， ∴ 123
11x x m
==-，． (4)
分
∴ 2111
.3x y x m
-==- 即1
(0)y m m
=->为所求．
(5)
分
（3）在同一平面直角坐标系中
分别画出1
(0)y m m
=-
> 与(0)y m m =->的图象.
(6)
分
由图象可得，由图象可得 当01m <≤时，y m -≤． (7)
分
24．解：过B 作BC ⊥x 轴于C .
∵ 等边三角形OAB 的一个顶点为(2,0)A ， ∴ OB =OA =2，AC =OC =1，∠BOC =60°. ∴ BC =tan 603OC ︒=. ∴ B (1,3).
(1)
分
设经过O 、A 、B 三点的抛物线的 解析式为：2(1)3y a x =-+.
将A （2，0）代入得：2(21)30a -+=， 解得3a =-.
∴经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式为
23(1)3y x =--+. 即2323y x x =-+.
(2)
分
O
A
B
x
y
C
D Q
O
A
B
x
y
C
y m O
1
1
(0)
y m m =->1
(0)y m m
=-
>
（2）依题意分为三种情况： （ⅰ） 当以OA 、OB 为边时， ∵ OA=OB ，
∴ 过O 作OQ ⊥AB 交抛物线于Q . 则四边形OAQB 是筝形，且∠QOA=30°. 作QD ⊥x 轴于D ，QD=OD tan QOD ∠,
设Q ()
2,323x x x -+，则2323tan30x x x -+=︒. 解得：53
x =
. ∴Q 553,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.
(3)
分
（ⅱ） 当以OA 、AB 为边时，由对称性可知Q 153,39⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
…….……………………..4分
（ⅲ） 当以OB 、AB 为边时，抛物线上不存在这样的点Q 使BOQA 为筝形.
…….…………..5分
∴Q 553,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或153,39⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭.
（3）点Q 在M 内.
由等边三角形性质可知OAB △的外接圆圆心M 是（2）中BC 与OQ 的交点，
当Q 553,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，
∵MC ∥QD , ∴△OMC ∽△OQD . ∴
MC OC QD OD
=. ∴3
3
OC QD MC OD ⋅=
=. ∴ 31,3M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭.
∴ MQ =
2
2
53531339⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=43
9. 又23
3
BM =, ∵
439<23
3
, ∴Q 553,39⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
在
M 内. (6)
O
A
B
x
y
C
D Q
M
分
当Q 553,39⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭时，由对称性可知点Q 在
M 内. 综述，点Q 在M 内. (7)
分
25．解：（1）45； (2)
分
（2）如图2，以A 为顶点AB 为边在ABC △外作BAE ∠=60°，并在AE 上取AE =AB ，连结BE 和CE .
∵ACD △是等边三角形, ∴AD =AC ，DAC ∠=60°. ∵BAE ∠=60°,
∴DAC ∠+BAC ∠=BAE ∠+BAC ∠. 即EAC ∠=BAD ∠. ∴EAC △≌BAD △.
…….……………………..3分 ∴EC =BD.
∵BAE ∠=60°，AE =AB=3, ∴AEB △是等边三角形，
∴EBA ∠=60°, EB = 3，
…….……………………..4分 ∵30ABC ∠=︒, ∴90EBC ∠=︒.
∵90EBC ∠=︒，EB =3，BC =4, ∴EC =5.
∴BD =5.
(5)
分
（3）DAC ∠=2ABC ∠成立.
(6)
分
以下证明：
如图３，过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取BE =2AH ，连结EA ，EC . 并取BE 的中点K ，连结AK . ∵AH BC ⊥于H ，
∴90AHC ∠=︒.
∵BE ∥AH , ∴90EBC ∠=︒. ∵90EBC ∠=︒，BE =2AH ,
∴222224EC EB BC AH BC =+=+.
∵2224BD AH BC =+, ∴EC =BD.
∵K 为BE 的中点，BE =2AH ,
A
E
B
C
D
2
图3
图A
B C
D
H
E
K
∴BK=AH.
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形.
又∵90
∠=︒,
EBC
∴四边形AKBH为矩形.
∴90
∠=︒.
AKB
∴AK是BE的垂直平分线.
∴AB=AE.
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD,
∴EAC
△. (7)
△≌BAD
分
∴EAC BAD
∠=∠.
∴EAC EAD BAD EAD
∠-∠=∠-∠.
即EAB DAC
∠=∠.
∵90
∠=︒，ABC
∠为锐角,
EBC
∴90
∠=︒-∠.
ABC EBA
∵AB=AE,
∴EBA BEA
∠=∠.
∴1802
∠=︒-∠.
EAB EBA
∴EAB
∠=2ABC
∠.
∴DAC
∠. (8)
∠=2ABC
分。