第三讲正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师 -

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第三讲正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师-work Information Technology Company.2020YEARFEDCBA第三讲正方形的性质与判定一、知识要点1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：1 边的性质：对边平行，四条边都相等．2角的性质：四个角都是直角．3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的矩形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形二、典型例题例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC 于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．正方形菱形矩形平行四边形分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得) 注意：灵活选择正方形的识别方法．例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB与△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS与△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．三、作业正方形的判定一．选择题（共8小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF二．填空题（共6小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________（填上一个符合题目要求的条件即可）．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_________时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_________，使得该菱形为正方形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为_________．三．解答题（共8小题）15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：△AED≌△BFD；（2）若AB=2，当CD的值为_________时，四边形DECF是正方形．20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE_________是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）22．已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．（1）求证：∠ECF=90°；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；（3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件：_________，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．故选：C．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确．B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选B．点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故②正确；③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；故不正确的有1个．故选：A．点评：此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理．5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形考点：正方形的判定．分析：根据平行线的性质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，进而判断即可．解答：证明：如图所示：∵分别过A、B、C、D作对角线的平行线，∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，∵对角线AC=BD，AC⊥BD，∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，∴四边形EFMN是正方形．故选：A．点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分考点：正方形的判定．分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．故选B．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．分析：A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C．点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解答：解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．二．填空题（共6小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD（填上一个符合题目要求的条件即可）．考点：正方形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：AC=BD且AC⊥BD．点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）考点：正方形的判定．专题：计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．解答：解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，DF=AC=CE，DE=BC=CF，∴DF=CE=DE=CF，∴四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC，使得该菱形为正方形．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形判定定理进行分析．解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC．考点：正方形的判定；菱形的判定．专题：开放型．分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD等．考点：正方形的判定；矩形的判定与性质．专题：开放型．分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD 等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案．解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形．三．解答题（共8小题）15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF 是正方形．解答：解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠DFB=90°，又∵∠ABC=90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∴矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．解答：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出答案．解答：（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CE，DE=FE，故四边形ADCF是平行四边形．（2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB=90°，∴，故四边形ADCF是正方形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：△AED≌△BFD；（2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定．。

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。

练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝．【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝．故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2，故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×•（x﹣y）（2x+y）﹣2×•（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章特殊平行四边形

正方形的性质与判定知识点及例题

FE D CBAA 5A 4A 3A 2A 1正方形的性质与判定一．知识要点：1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．二．例题讲解1. 正方形的性质【铺垫】正方形有条对称轴．【例1】如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为【例2】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...nA A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．【例3】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.正方形菱形矩形平行四边形E DC BAFE P D C BAPDCBA G C F E D BA B D CA EF 【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=【例4】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.【例5】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.【例6】如图4.6－6，已知E 为正方形ABCD 的边BC 的中点，EF ⊥AE ，CF 平分∠DCG ，求证：AE ＝EF ．解析：可取AB 中点M ，连结ME ，证△AME ≌△ECFF A B C DE 2.正方形的判定【例1】如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。

正方形的性质及判定

正方形的性质及判定1•正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形•它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等.②角的性质：四个角都是直角.③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角.④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3.正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定②：有一个角是直角的菱形是正方形.―、正方形的性质【例1】正方形有条对称轴.【例2】已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则S:S正方形BDEF正方形ABCD【例3】如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE丄AF，AF=20，则BE的长为【例4】如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1,BF=2，Z GEF=90。

，则GF的长为.【例5】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A,A ，…，A 分别是正方形的中心，则n 个正12n方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC,BD 的交点，过点O 作OE 丄OF ，分别交AB ，CD 于E ，F ，若AE =4,CF =3，则EF =【例7】如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM 丄BC 于M ，PN 丄BD 于N ，则PM+PN的值为【例8】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE =CE .A EB FD例11】【例9】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE 丄BC 于E ,PF 丄CD 于F .求证：AP=EF .【例10】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ,MN 〃AB ,且分别与AO 、BO 交于M 、N .试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程.如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且A ABP 为等边三角形，那么Z DCP =【例12】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使ED ：AD =2FC :AC ，求证：A BEF 是等腰直角三角形．【例13】如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若Z EAF=50。

北师大版九年级上册 1.3正方形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。

2018届九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定练习（含答案）北师大版

2018届九年级数学上册第⼀章特殊平⾏四边形第3节正⽅形的性质与判定练习（含答案）北师⼤版正⽅形的性质与判定⼀、选择题(本⼤题共10⼩题)1.如图，四边形ABCD是正⽅形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）A.22.5°B.25°C.23° D.20°2.如⼀个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（）A.平⾏四边形B.菱形C.正⽅形 D.矩形3.四边形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，使四边形ABCD为正⽅形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD．需要满⾜（）A.①②B.②③C.②④D .①②或①④4.如图，正⽅形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正⽅形的⾯积为（）A.3B.12C.18D.365.如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（）A.平⾏四边形B.矩形C.菱形 D.正⽅形6.已知在正⽅形ABCD中，对⾓线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm7.如图，正⽅形ABCD的边长为x，点E、F分别是对⾓线BD上的两点，过点E、F作AD、AB的平⾏线，则图中阴影部分的⾯积的和为（）A.x2B.x2C.x2D.x28.如图，正⽅形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的⾯积是（）A.30B.34C.36D.409.如图，E是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂⾜，若正⽅形ABCD周长为a，则EF+EG等于（）A. B. C.aD.2a10.已知正⽅形ABCD的⼀条对⾓线长为2，则它的⾯积是（）A.2B.4C.6⼆、填空题(本⼤题共6⼩题)11.如图，在正⽅形ABCD中，E为CD边上⼀点，以CE为对⾓线构造正⽅形CMEN，点N在正⽅形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为 ______ ．12.如图，已知：正⽅形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正⽅形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正⽅形ABCD的⾯积为16，AE=1，则正⽅形EFGH的⾯积为 ______ ．13.如图，将正⽅形纸⽚按如图折叠，AM为折痕，点B落在对⾓线AC上的点E处，则∠CME= ______ ．14.如图，BD是△ABC的⾓平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满⾜条件 ______ 时，四边形BEDF是正⽅形．15.如图，正⽅形ABCD的边长为4，线段GH=AB，将GH的两端放在正⽅形的相邻的两边上同时滑动，如果G点从A点出发，沿图中所⽰⽅向按A→B→C→D→A滑动到A⽌，同时点H从点B出发，沿图中所⽰⽅向按B→C→D→A→B滑动到B⽌，在这个过程中，线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的⾯积为 ______ ．16.如图，在正⽅形ABCD中，AB=，点P为边AB上⼀动点（不与A、B重合），过A、P在正⽅形内部作正⽅形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三⾓形时，AP= ______ ．三、解答题(本⼤题共8⼩题)17.已知：P是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂⾜．（1）求证：DP=EF．（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．18.如图，在正⽅形ABCD中，E为对⾓线AC上⼀点，连接EB、ED．（1）写出图中所有的全等三⾓形；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数．19.已知，在正⽅形ABCD中，E是CB延长线上⼀点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某⼀标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．20.如图，矩形ABCD的对⾓线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；（2）当矩形ABCD满⾜什么条件时，四边形PCOB是正⽅形．正⽅形的性质与判定练习参考答案⼀、选择题。

第03讲正方形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第3讲正方形的性质与判定1. 理解正方形的概念；2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．知识点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）知识点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型1：正方形的概念和性质】【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线互相平分D．每条对角线平分一组对角【变式1-1】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等【变式1-2】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．菱形的四个角都是直角【典例2】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【变式2-1】（2022秋•临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式2-2】（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）【变式2-3】（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．76B．24C．48D．88【题型2：正方形的判定】【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【变式3-1】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】（2022秋•济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD 交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD【变式3-3】（2022春•卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【变式4-1】（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．【变式4-2】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【变式4-3】（2022秋•二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当∠BAC＝°时，四边形ADCE是一个正方形，并说明理由．【题型3：正方形的性质与判定综合】【典例5】（2022春•临沭县期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF 为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．【变式5-1】（2022春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【变式5-2】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【变式5-3】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．1．（2021•娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE ＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2022秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD 3．（2022春•东莞市期中）下列给出的条件中，不能判断▱ABCD是正方形的是（）A．AC＝BD，AD＝AB B．AD＝AB，∠A＝90°C．AC＝BD，AC⊥BD D．AC⊥BD，AD＝AB 4．（2022•什邡市校级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BDD．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC5．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半6．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③7.（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．8.（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．（1）求证：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．9．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．10．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE ＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．1．（2022春•张家川县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD 2．（2022春•平南县期末）下列说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半3．（2022秋•铁西区期中）如图，已知正方形ABCD的面积为64平方厘米，DE ＝10厘米，则CE的长为（）A．6B．12C．2D．2 4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l 于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为．5．（2022秋•龙岗区校级期末）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．6．（2022秋•茂南区期末）正方形的边长为5，则它的周长为．7．（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝°．8.（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．9．（2022春•寻乌县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足条件时，四边形AEDF是正方形．10．（2022春•江宁区期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当△ABC满足时，四边形ADFE是正方形．11．（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求证：四边形AFDE为正方形；（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．12．（2021春•海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？。

2018-2019学年最新北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》课时练习及答案解析-精品试题

北师大版数学九年级上册第一章第三节正方形的性质与判定课时练习一、单选题（共15题）1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等答案：C解析：解答：解：A.不正确，菱形的对角线不相等；B.不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；C.正确，三者均具有此性质；D.不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；故选C．分析:对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（）A．AE=BF B．AE⊥BFC．AO=OE D．S△AOB=S四边形DEOF答案：C解析：解答: A.∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=AD，又∵CE=DF，∴AF=DE，∵∠D=∠BAF=90°，∴△BAF≌△ADE，∴AE=BF，故此选项正确；B.∵△BAF≌△ADE，∴∠BFA=∠AED，∵∠AED+∠EAD=90°，∴∠BFA+∠EAD=90°，∴∠AOF=90°，∴AE⊥BF，故此选项正确；C.连接BE，假设AO=OE，∵BF⊥AE，∴∠AOB=∠BOE=90°，∵BO=BO，∴△ABO≌△EBO，∴AB=BE，又∵AB=BC，BC＜BE，∴AB不可能等于BE，∴假设AO=OE，不成立，即AO≠OE，故此选项错误；D.∵△BAF≌△ADE，∴S △BAF=S △ADE，∴S △BAF -S △AOF=S △ADE-S △AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，故此选项正确．故选C．分析: 首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE，即可得出AE=BF，进而得出∠BFA+∠EAD=90°，即AE⊥BF，用反证法证明AO≠EO，利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出D正确3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四条边相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．对角线相等答案：D解析：解答: 正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．分析: 根据正方形和菱形的性质容易得出结论4.如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：（1）点D到直线l的距离为1，（2）A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:D解析：解答:连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为22∴OD=2∴直线l∥AC并且到D的距离为1，同理，在点D的另一侧还有直线满足条件，故共有4条直线l．故选：D．分析: 连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=2，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答5.若正方形的周长为40，则其对角线长为（）A．100 B．202C．102D．10答案:C解析：解答: ∵正方形的周长为40，∴正方形的边长为10，∴对角线长为102故选C．分析: 根据正方形的周长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形对角线的长求出．6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm 答案:B解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=8cm，OA=OC，∵OE∥AB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AB=4cm，故选B．分析:根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可7. 如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（）A．114 B．124 C．134 D．144答案:A解析：解答：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，AB=BC=AD，设AB=BC=AD=x，则DE=x-7，∵CD2+DE2=CE2，∴x2+（x-7）2=132，解得：x=12，或x=-5（不合题意，舍去），∴BC=AB=12，∴阴影部分的面积=12（AE+BC）•AB=12×（7+12）×12=114；故选：A．分析: 本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键8.如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为（）A．30°B．22.5°C．15°D．45°答案:B解析：解答: ∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°，故选B．分析: 由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可求出答案．9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE 的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAS=90°，∵△AED是等边三角形，∴∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，∴∠BAE=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=12（180°-150°）=15°，∴∠DFE=∠AFB=90°-15°=75°，故选D．分析: 根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAS=90°，根据等边三角形的性质得出∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，求出∠BAE=150°，AB=AE，∠ABE=∠AEB=15°，求出∠AFB 即可10.在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有（）A．5个B．12个C．9个D．15个答案:B解析：解答: 在四条边垂直平分线上的点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；在两条对角线上的点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；共有8+4=12个点满足条件．故选：B．分析: 在四条边垂直平分线上，每一条可以找到两个点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；在两条对角线上，每一条可以找出2个点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；由此得出共有8+4=12个点满足条件11.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案:A解析：解答: ∵由已知，AG∥FC且AG=FC，故四边形AGCF为平行四边形，∴∠GAF=∠FCG又AE=BF，AD=AB，且∠DAE=∠ABF，可知∠ADE=∠BAF∴DE⊥AF，DE⊥CG．又∵G点为中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，可证CD=CM，∴∠CDG=∠CMG，即GM⊥CM．又∠MGN=∠DGC=∠DAF（外角等于内对角），∴∠FCG=∠MGC．故选A．分析:要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可12.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论：①BE=AF；②∠DAF=∠BEC；③∠AFB+∠BEC=90°；④AF⊥BE中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②③④D．①②④答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC，∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE．（①正确）∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC，（③错误）∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC．（②正确）∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CBE+∠AFB=90°，∴AF⊥BE．（④正确）所以正确的是①②④．故选D．分析:分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解13.如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：①点D到直线l的距离为3②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:B解析：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为22∴OD=2∴直线l∥AC并且到D的距离为3同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l．故选：B．分析: 连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=2，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．14.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等答案:A解析：解答：A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．故选：A．分析:本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断15.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（）A．35°B．45°C．55°D．60°答案:B解析：解答：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AE=AB，∴AE=AB=AD，∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，∴∠AEB+∠AED=135°，即∠BED=135°，∴∠BEF=180°-135°=45°．故选：B．分析: 由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°，即可得出∠BEF二、填空题（共5题）16.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：_________，可使它成为正方形答案: AB=AD解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：AB=AD．分析: 由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案17.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________（只填写序号）答案: ②③或①④解析：解答: 有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；综上所述：错误的是：②③或①④；故答案为：②③或①④．分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是______答案: 答案不唯一如：AB=BC，或AC⊥BD等解析：解答: 由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB=AC．可进一步确定其为正方形，故答案为：AB=AC．分析: 要使四边形ABCD是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以还有可能是矩形，使AB=AC，即可满足题意19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．答案：①②③解析：解答：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当①BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．故答案为：①②③．分析: 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC 进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可20.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．其中，正确的有_________（只填写序号）答案：①②③④解析：解答：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形，故②正确；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，∴若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．故答案为：①②③④．分析: 分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可三、解答题（共5题）21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；答案：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE=AE，FD∥AC．∴BD=CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=AF．∴∠F=∠5=∠1=∠2．∴∠FAE=∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF=EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；答案：（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB，由（1）知CE=12AB，∴AC=CE又四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？答案：解答：（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB=90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形解析：分析: 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中根据特殊角的正弦函数值求∠B的度数是解题的关键22. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；答案: 解答：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件答案: （2）AC⊥BD解析：（2）要使四边形ABCD是正方形，AC、BD还需要满足的条件是：AC⊥BD分析：（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出∠ABC=90°，即可得出答案；（2）利用正方形的判定得出矩形的对角线互相垂直进而得出答案23.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形答案：见解答解析：解答：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，∴AC=AD，又∵AB⊥CD∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，∴ME=MF，∴矩形AEMF是正方形．分析:本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强24.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．答案：解答：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中AB＝CD∠BAE＝∠CDEAE＝DE∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）求∠BEC的度数答案：∠BEC=30°解析：解答：（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°-15°×2=30°分析: 本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD 绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．（1）求证：AB⊥AE．答案：解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△CBD与△CAE中，CB＝CA∠BCD＝∠ACECD＝CE∴△CBD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠CAE，∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形答案：解答: （2）证明：∵点D为AB中点，∴∠ADC=90°，∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形解析：分析: 此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出∠BCD=∠ACE是解题关键。

1.3正方形的性质与判定+练习 2023—2024学年北师大版数学九年级上册++

1.3 正方形的性质与判定一、单选题 1．下列说法错误的是（）A ．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．每组邻边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．四个角都相等的四边形是矩形2.如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5°3. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形ABCD 和正方形EFGH ，每个直角三角形纸片的两条直角边长之比为1：2，若正方形EFGH 的面积为5，则正方形ABCD 的面积为( )A.2√3+4B. 12C. 4√5D. 9 4．如图，正方形OABC ，顶点A 在x 轴上，32OA =，将正方形OABC 绕原点O 逆时针旋转105︒至正方形OA B C '''的位置，则点B '的坐标为（）A ．()3,3-B ．()3,33-C ．()33,3-D ．332,622⎛⎫- ⎪⎝⎭5．如图，棱长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB 的中点P 出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C '处的最短路径是（）A ．13B ．23C ．25D ．426.如图,在四边形ABCD 中,点O 是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是( )A.AC=BD,AB ∥CD,AB=CDB.AD ∥BC,∠BAD=∠BCDC.AO=CO,BO=DO,AB=BCD.AO=BO=CO=DO,AC ⊥BD7定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC 中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y =(x −m)2−m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A. 4，−1B. 5−√172，−1 C. 4，0 D. 5+√172，−1二、填空题1．如图，P 为AB 上任意一点，分别以AP PB 、为边在AB 同侧作正方形APCD 、正方形PBEF ，设CBE α∠= ，则AFP ∠为________2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，45∠=︒，P为ABAED的中点，当点E运动时，线段PE的最大值为．3．如图，正方形ABCD的面积为8cm2，且其对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积为cm2．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且1AF=，P是对角线AC上一动点，则PE PF+的最小值是．三、解答题1．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．2．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF 交AB于G，连接DG．（1）求证：∠EDG＝45°．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．（3）当BE：EC＝时，DE＝DG．3．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝3√2，求AG，MN的长．4.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图①,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,中点四边形EFGH是;(2)如图②,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明).5．如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，F为AB上一点，且FG BE⊥交CD于点G，(1)求证：FG BE=；(2)若点E为AD中点，FG垂直平分BE，求DGCG的值．。

北师大版初三数学上册1.3正方形的性质与判定知识讲解及例题演练

北师大版初三数学上册1.3正方形的性质与判定知识讲解及例题演练要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．【答案与解析】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作正方形DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE 的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE 于点G，连接AF、CG．（1）求证：AF=BF；（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．【答案与解析】证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，∴△AEG≌△CEF（AAS）．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形．【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD 上的点，若∠EBF＝45°．(1)求证：AE＋CF＝EF．(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△BCH，∴∠1＝∠2，BE＝BH．又∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF和△HBF中，∴△EBF≌△HBF，∴EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF －AE．证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．∵四边形ABCD是正方形，∴在Rt△EAB和Rt△HCB中，∴Rt△EAB≌Rt△HCB，∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．∵∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴∠EBA ＋∠ABH＝90°．又∵∠EBF＝45°，∴∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．在△EBF和△HBF中∴△EBF≌△HBF，∴EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【答案与解析】证法一：(间接折半法)如图①所示．∵∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴∠3＝∠5，BE＝BF．取AE的中点G，连接OG，∵AO＝OC，∴OG EC．由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴∠7＝∠8，∴FO＝GO．∴EC＝2OG＝2FO．证法二：(直接折半法)如图②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的中点H，连接OH．∵AO＝OC，∴OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴BO＝BH，∴FO＝EH．∴EC＝2EH＝2FO．证法三：(直接加倍法)如图③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠OCM，∴AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，∴FM＝EC．∴EC＝FM＝2FO．【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．举一反三：【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM ＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵BE＝EF，∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝FD＝FG．∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴EG⊥CG．。

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.正方形、矩形、菱形都具有的特征是()A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线平分一组对角3.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分的面积是.4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC=度.5.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是度.【能力巩固】6.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为()A.10°B.15°C.20°D.12.5°7.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论:①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为.9.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为.10.如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC的中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.【素养拓展】11.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上任意一点，BE⊥AG于点E，DF∥BE，且交AG于点F.若EF=1，BE=3，求DF的长.参考答案【基础达标】1.D2.A3.14.1055.22.5 【能力巩固】6.B7.C8.√5-19.710.解:(1)证明:∵四边形ABCD 为正方形∴AB=AD ，∠B=∠D=90°，DC=CB. ∵E 、F 分别为DC 、BC 的中点 ∴DE=12DC ，BF=12BC∴DE=BF ，∴△ADE ≌△ABF (SAS).(2)由题知△ABF 、△ADE 、△CEF 均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2∴S △AEF =S 正方形ABCD -S △ADE -S △ABF -S △CEF =4×4-12×4×2-12×4×2-12×2×2=6. 【素养拓展】11.解:∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD ，∠DAB=∠ADC=90°. ∵BE ⊥AG ，DF ∥BE ∴DF ⊥GA.∵∠BAE+∠ABE=90°，∠DAF+∠BAE=90° ∴∠DAF=∠ABE ，且AB=AD ，∠AFD=∠AEB=90° ∴△ABE ≌△DAF (AAS) ∴AE=DF ，AF=BE=3. ∵AE=AF-EF=3-1=2 ∴DF=2.1.3 正方形的性质与判定【基础达标】1.下列说法不正确．．．的是()A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形2.下列命题中的真命题是()A.三个角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D.平行四边形是轴对称图形3.黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是.4.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件:，使得该菱形为正方形.5.把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.【能力巩固】6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.求证:四边形BEDF是正方形.【素养拓展】8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG.(1)求证:AF=BF.(2)如果AB=AC，求证:四边形AFCG是正方形.参考答案【基础达标】1.D2.C3.正方形4.AC=BD或AB⊥BC(答案不唯一)5.(1)等腰直角三角形(2)等腰三角形(3)直角三角形【能力巩固】6.D7.证明:∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°∴四边形BEDF为矩形.又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB∴DF=DE.∴矩形BEDF为正方形.【素养拓展】8.证明:(1)∵AD=CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即得DE是线段AC的垂直平分线∴AF=CF∴∠FAC=∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC=90°得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°∴∠B=∠BAF，∴AF=BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE.又∵E是边AC的中点∴AE=CE.在△AEG和△CEF中∵∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE∴△AEG≌△CEF，∴AG=CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形.∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形.在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF，即得F是边BC的中点.又∵AB=AC，∴AF⊥BC，即得∠AFC=90°∴四边形AFCG是正方形.。

正方形的性质与判定(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题1.9 正方形的性质与判定（知识讲解）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。

（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。

3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。

（3）有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）对角线相等的菱形是正方形。

4、面积：正方形面积=边长的平方；正方形面积=对角线乘积的一半5、中点四边形（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.【典型例题】类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积1．如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 边上的动点，6AB =，AE AF =．（1）求证：BAE DAF ∠=∠；（2）设AEF 的面积为y ，EC 的长为x ．试求出y 与x 之间的函数表达式．【答案】（1）见分析；（2）2162x x -+(06)x <≤ 【分析】（1）由正方形的性质可得到AB =AD ，90B D C ∠=∠=∠=︒，运用HL 证明ADF ABF∆≅∆即可得到结论；（2）由（1）可得BE =DF ，进而得CF =CE ，根据2AEF ADF CEF ABCD S S S S ∆∆∆=--正方形可得结论．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∵AB =AD =BC ，90B D C ∠=∠=∠=︒又AE AF =∵ADF ABF ∆≅∆（HL ）∵BAE DAF ∠=∠;（2）由（1）知，ADF ABF ∆≅∆∵BE =DF又BC =DC∵CE =CF =x∵BE =DF =6-x∵2AEF ADF CEF ABCD S S S S ∆∆∆=--正方形2211626(6)22x x =-⨯⨯⨯--⨯ =2162x x -+(06)x <≤ 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及三角形面积公式等知识，得到2AEF ADF CEF ABCD S S S S ∆∆∆=--正方形是解答此题的关键．【变式1】在正方形ABCD 中，E 是BC 边延长线上的一点，且CE =BD ，则∵AEC =（）A ．30度B ．67.5 度C ．22.5 度D ．30度【答案】C【分析】先连接AC ，根据正方形的性质，得出AC =EC ，进而得到∵E =∵CAF ，再根据平行线的性质，得出∵E =∵DAF ，最后根据∵CAD =45°，求得∵AEC 的度数．解：如图，连接AC ，则正方形ABCD 中，AC =BD ，∵CE =BD ，∵AC =EC ，∵∵E =∵CAF ，∵AD ∥EC ，∵∵E =∵DAF ，∵∵CAF =∵DAF ，∵∵CAD =45°，∵∵CAF =∵DAF =22.5°，∵∵AEC =22.5°，故选：C ．【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形ACE ．解题时注意：正方形的两条对角线相等，并且每条对角线平分一组对角．【变式2】如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边BC 和CD 的中点，连接AE ，在AE 上取点G ，连接GF ，若45EGF ∠=︒，则GF 的长为__________．【分析】连接BF 交AE 于H ，根据正方形的性质得到AB BC CD ==，90ABE C ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到BAE CBF ∠=∠，AE BF =，推出FGH ∆是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．解：连接BF 交AE 于H ，四边形ABCD 是正方形，AB BC CD ∴==，90ABE C ∠=∠=︒，点E 、F 分别是边BC ，CD 的中点，BE CF ∴=，在ABE ∆与BCF ∆中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE BCF ∴≅，BAE CBF ∴∠=∠，AE BF =，90BAE AEB ∠+∠=︒，90AEB EBH ∴∠+∠=︒，90∴∠=︒BHE ，90GHF ∴∠=︒，45FGH ∠=︒，FGH ∴是等腰直角三角形，∵6AB BC ==，∵3BE CF ==∵AE BF =∵1122ABE S AB BE AE BH =⋅=⋅△∵AB BE BH AE ⋅==，∵HF HG BF BH ==-==∵GF =，【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．类型二、据正方形性质进行证明2．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，E 为BC 中点，连接AE ，将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点为G ，连接EG 并延长交CD 于点F ，连接AF ，CG ．(1)判断CG 与AE 的位置关系，并说明理由； (2)求DF 的长．【答案】(1)平行，理由见分析 (2)2【分析】（1）由折叠知ABE AGE ≌，可得AEB AEG ∠=∠，根据E 为BC 的中点，可得3EC EB EG ===，进而可得ECG EGC ∠=∠，根据CGE AEG ∠=∠，即可得证；（2）证明Rt Rt ADF AGF △≌△，得DF FG =，设DF x =，则3EF x =+，6FC x =-．勾股定理列出方程，解方程求解即可．(1) 解： CG AE ∥．理由如下：由折叠知ABE AGE ≌，∵BE EG =，AEB AEG ∠=∠．又E 为BC 的中点，∵3EC EB EG ===．∵ECG EGC ∠=∠．∵2BEG ECG EGC AEG ∠=∠+∠=∠，∵CGE AEG ∠=∠．∵CG AE ∥．(2) ∵四边形ABCD 是正方形，∵AD AB AG ==．又90ADF AGF ∠=∠=︒，90ADF AGF ∠=∠=︒，AG AG =,∵Rt Rt ADF AGF △≌△．∵DF FG =．设DF x =，则3EF x =+，6FC x =-．∵222EF EC CF =+．即222(3)3(6)x x +=+-．解得2x =．即2DF =．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，HL 证明三角形全等，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．【变式1】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG ，下列结论不正确的是（）A ．CE DF =B ．CE DF ⊥C ．AE EG =D ．AG AD =【答案】C【分析】证明∵BCE ∵∵CDF 得到CE =DF ，∵BCE =∵CDF ，即可判断A 、B ；如图，取CD 中点H ，连接GH ，AH ，证明∵AHG ∵∵AHD ，得到AD =AG ，即可判断D ；根据现有条件不能证明AE =EG ，即可判断C ．解：∵四边形ABCD 是正方形，∵AB =BC =CD ，∵CBE =∵DCF =90°，∵E 、F 分别是AB ，BC 的中点， ∵1122BE AB CF BC ==，， ∵BE =CF ，∵∵BCE ∵∵CDF （SAS ），∵CE =DF ，∵BCE =∵CDF ，故A 不符合题意；∵∵BCE +∵DCE =90°，∵∵CDF +∵DCE =90°，∵∵DGC =90°，即CE ∵DF ，故B 不符合题意；如图，取CD 中点H ，连接GH ，AH ，则12GH DH CH CD === 同理可证AH ∵DF ，∵∵AHD =∵AHG ，又∵AH =AH ，GH =DH ，∵∵AHG ∵∵AHD （SAS ），∵AD =AG ，故D 选项不符合题意，根据现有条件不能无法不能证明AE =EG ，故C 选项符合题意；【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中位等等，熟知正方形的性质是解题的关键．【变式2】如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将∵ADE绕点A顺时针旋转90°到∵ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．【答案】15 4解：如图所示，连接EG，由旋转可知△ABF∵∵ADE，∵DE=BF，AE=AF，∵AG∵EF，∵H为EF的中点，∵AG垂直平分EF，∵EG=FG，设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x，∵∵C=90°，∵CE2+CG2=EG2即x2+22=(8−x)2解得x=154，∵CE的长为154，故答案为：15 4.【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.类型三、添加一个条件使四边形成正方形3．如图，AD是△ABC的中线，过点A、B分别作BC、AD的平行线，两平行线相交于点E．(1)求证：AE=CD；(2)当AB、AC满足什么条件时，∵四边形AEBD是矩形？请说明理由；∵四边形AEBD是菱形？请说明理由；∵四边形AEBD是正方形？请说明理由．【答案】(1)见分析(2)∵AB=AC；理由见分析；∵AB∵AC；理由见分析；∵AB=AC且AB∵AC；理由见分析【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再根据AD是△ABC的中线，即可证得．（2）根据特殊四边形AEBD的性质，反推回关于AB、AC的条件，再正向证明即可．(1) 解：∵AE//BD，AD//BE，∵四边形AEBD是平行四边形，∵AE=BD，∵AD是∵ABC的中线，∵BD=CD，∵AE=CD．(2)∵AB=AC∵AB=AC，AD是∵ABC的中线，∵AD CD，∵∵BDA=90°．∵四边形AEBD是平行四边形，∵四边形AEBD是矩形，∵AB∵AC∵AB∵AC，AD是∵ABC的中线，∵BD=AD．∵四边形AEBD是平行四边形，∵四边形AEBD是菱形．∵AB=AC且AB∵AC∵AB=AC且AB∵AC，∵∵ABC是等腰直角形∵AD是∵ABC的中线，∵BD=AD，BD∵AD，∵四边形AEBD是平行四边形，∵四边形AEBD是正方形．【点拨】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定等知识点的应用．【变式1】平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件∵AB=BC；∵△ABC=90°；∵OA=OB；∵AC∵BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（）A．13B．12C．16D．23【答案】D【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可．解：一共有∵∵，∵∵，∵∵，∵∵，∵∵；∵∵6种组合数，其中能判定四边形是正方形有∵∵，∵∵，∵∵，∵∵4种组合数，所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是42 63 =，故选D．【点拨】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．【变式2】如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：________，可使它成为正方形．【答案】90BAD∠=【分析】根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．解：由于四边形ABCD是菱形，如果90BAD∠=，那么四边形ABCD是正方形．故答案为：90BAD∠=．【点拨】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．类型四、据正方形性质与判定求角的大小、线段的长及面积4．如图，在∵ABC中，AB=BC，∵ABC=90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点．DF，EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG．(1)求证：四边形FBGH是菱形；(2)判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论；(3)若DF AB的长．【答案】(1)见分析(2)四边形ABCH是正方形，理由见分析(3)AB=6．【分析】（1）由DF是△ABG的中位线，则DF∵BG，同理EG∵BF，得四边形FBGH为平行四边形，再利用SAS证明△ABF∵∵CBG，得BF=BG，从而证明结论；（2）连接BH交AC于点O，由（1）知，四边形ABCH是菱形，再根据AB=CB，可知四边形ABCH是正方形；（3）由菱形的性质可知FH =BGDH =DF +FHAD =x ，则AB =2x ，利用勾股定理即可解决问题．(1)解：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∵AF =FG =GC ，又∵D 为AB 中点，∵DF 是△ABG 的中位线，∵DF ∵BG ，同理EG ∵BF ，∵四边形FBGH 为平行四边形，∵∵ABC =90°，AB =BC ，∵∵BAF =∵BCG =45°，在△ABF 和△CBG 中AB CB BAF BCG AF CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABF ∵∵CBG （SAS ），∵BF =BG ，∵四边形FBGH 是菱形；(2)解：四边形ABCH 是正方形，理由如下：如图，连接BH 交AC 于点O ，∵四边形FBGH 是菱形，∵OF =OG ，OB =OH ，FG ∵BH ，由（1）得AF =CG ，∵OF +AF =OG +CG ，即OA =OC ，∵四边形ABCH 是菱形，又∵∵ABC =90°，∵四边形ABCH 是正方形；(3)解：∵DF 是∵ABG 的中位线，∵BG=2DF又∵四边形FBGH是菱形，∵FH=BG∵DH=DF+FH∵四边形ABCH是正方形，∵AH=AB，∵DAH=90°，∵AD2+AH2=DH2，设AD=x，则AB=AH=2x，则x2+（2x）2=（2，解得：x1=3，x2=-3（舍），∵AB=2x=6．【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．【变式1】如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转38︒，得到正方形AEFG，DB的延长线交EF于点H，则DHE∠的大小为（）A．76︒B．97︒C．90︒D．114︒【答案】B【分析】根据旋转的性质，求得∵BAE=38°，根据正方形的性质，求得∵DBA=45°，∵ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可．解：根据旋转的性质，得∵BAE=38°，∵四边形ABCD是正方形，∵∵DBA=45°，∵ABH=135°，∵四边形AEFG是正方形，∵∵E=90°，∵∵DHE=360°-90°-38°-135°=97°，故选B．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键．【变式2】如图，在∵ABC中，∵ACB＝90°，AC＝BC D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角∵CDE，且∵DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为_____；∵ADE面积的最大值为_____．【答案】12【分析】要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，过C作AB的垂线交AB于F，CF即为CD=CE的最小值，然后运用勾股定理即可求得DE的最小值；当DE最小时，∵ADE 为等腰直角三角形，此时其面积有最大值，然后求解即可．解：如图：过C作AB的垂线交AB于F∵CF是CD的最小值∵∵ACB＝90°，AC＝BC∵AB2=∵CF∵AB∵CF=1∵CD=CE的最小值为1，AF=1∵DE∵∵GCE=90°、∵CF A=90°，∵CAG=90°，CG=CF=1∵四边形AFCG是正方形∵AF=AG=1∵当D点在F点时，∵ADE的面积最大，且等腰∵AGF的面积∵∵ADE的面积最大值为：11111222 AG AF⨯⨯=⨯⨯=．，12．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．类型五、据正方形性质与判定进行证明5．如图，点E为正方形ABCD外一点，∵AEB＝90°，将Rt∵ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到∵ADF，DF的延长线交BE于H点．(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；(2)已知BH＝7，DH＝17，求BC的长．【答案】(1)四边形AFHE是正方形，理由见分析；(2)13．【分析】（1 ）根据旋转的性质可得∵AEB＝∵AFD＝90°，∵EAF＝90°，AE＝AF，从而可得四边形AFHE是正方形；（2 ）连接BD，先在Rt∵DHB中利用勾股定理求出BD，再在Rt∵BCD中求出BC，即可解答．(1)解：四边形AFHE是正方形，理由：由旋转得：∵AEB＝∵AFD＝90°，∵EAF＝90°，∵∵AFH＝180°﹣∵AFD＝90°，∵四边形AFHE是矩形，由旋转得：AE＝AF，∵四边形AFHE是正方形；（2）连接BD，∵四边形AFHE是正方形，∵∵DHE＝90°，∵∵DHB＝180°﹣∵DHE＝90°，∵BH＝7，DH＝17，∵BD，∵四边形ABCD是正方形，∵BC＝CD，∵C＝90°，∵BC13，【点拨】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理及旋转性质，作辅助线直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（）A．∵1＜∵2B．∵1＞∵2C．∵3＜∵4D．∵3＞∵4【答案】C【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出∵BAD＝∵EAG＝90°，然后根据同角的余角相等可得∵1＝∵2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∵3＜∵4．解：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，∵∵BAD＝∵EAG＝90°，∵∵BAD＝∵2＋∵DAE＝90°，∵EAG＝∵1＋∵DAE＝90°，∵∵1＝∵2，在Rt△ABE中，AE＞AB，∵四边形AEFG是正方形，∵AE＝AG，∵AG＞AB，∵∵3＜∵4．故选：C．【点拨】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用．【变式2】如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，将CDE△沿DE折叠，得到FDE，延长EF交AB于G，连接DG，1GF=．（1）AG=______；（2）GDE∠=______︒；（3）正方形ABCD的边长为______．【答案】1453【分析】（1）由翻折的性质及全等三角形的性质可求出AG=FG；（2）根据正方形的性质及角的和差关系可得GDE∠；（3）设边长为x，得到BG=x-1，BE=12x，GE=1+12x，根据勾股定理列出方程，故可求解．解：（1）根据折叠的意义，得∵DEC∵∵DEF，∵EF＝EC，DF＝DC，∵CDE＝∵FDE，∵DA＝DF，DG＝DG，∵Rt∵ADG∵Rt∵FDG（HL），∵∵ADG＝∵FDG，AG＝FG=1（2）∵∵DEC∵∵DEF，Rt∵ADG∵Rt∵FDG∵∵GDE＝∵FDG＋∵FDE＝12（∵ADF＋∵CDF）＝45°（3）∵∵DEC∵∵DEF，Rt∵ADG∵Rt∵FDG∵GF=GA=1，EC=EF设正方形边长为x，得到BG=x-1，BE=12x，GE=1+12x，在Rt∵BEG中，GE2=BG2+BE2∵（1+12x）2=（x-1）2+（12x）2解得x=3∵正方形ABCD的边长为3故答案为：1；45；3．【点拨】此题考查了翻折性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握其性质是解决此题关键．类型六、中点四边形6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB CD=时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见分析；（2）当AB=CD时，EF∵GH，理由见分析【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得；（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、B C、BD、AC的中点，∵FG=12CD，FG∵C D．HE=12CD，HE∵C D．∵FG=EH，FG∵EH，∵四边形EGFH是平行四边形；（2）解：当AB=CD时，EF∵GH，理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，当AB=CD时，EH=12CD，EG=12AB，∵EG=EH，∵四边形EGFH是菱形，∵EF∵GH．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．【变式1】如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：∵若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；∵若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；∵若AC 与BD 互相垂直且相等，则四边形EFGH 是正方形；∵若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】先根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形，然后根据菱形，矩形，正方形的判定进行逐一判断即可．解：∵点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∵EH 是∵ABD 的中位线， ∵12EH BD =，EH BD ∥，同理111222GF BD EF AC GH AC ===，，，EF AC ∥ ∵EH =GF ，GH =EF ，∵四边形EFGH 是平行四边形，∵若AC =BD ，则EH =GF =GH =EF ，则四边形EFGH 是菱形，故∵错误；∵若AC ∵BD ，则EF ∵EH ，∵平行四边形EFGH 是矩形，故∵错误；∵若AC 与BD 互相垂直且相等，结合∵∵的判断可知四边形EFGH 是正方形，故∵正确；∵若四边形EFGH 是平行四边形，并不能推出AC 与BD 互相平分，故∵错误，故选A ．【点拨】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知识是解题的关键．【变式2】某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地(如图)，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC=__cm【答案】20解：∵等腰梯形的对角线相等，EF 、HG 、GF 、EF 均为梯形的中位线，∵EF=HG=GF=EF=12AC ．又∵EF+HG+GF+EF=40cm ，即2AC=40cm ，则AC=20cm ．对角线AC=20cm ．类型七、正方形的综合问题7．如图∵，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 上一点，连接AE ，以AE 为一边作正方形AEFG ，连接DG ．(1)求证：DG BE =；(2)如图∵，连接AF 交CD 于点H ，连接EH ，求证：EH BE DH =+；(3)在（2）的条件下，若4AB =，点H 恰为CD 中点，求CEH △的面积．【答案】(1)证明见分析 (2)证明见分析 (3)83CEH S = 【分析】（1）由正方形的性质得AB ＝AD ，∵BAD ＝∵EAG ＝90°，AE ＝AG ，再证∵BAE ＝∵DAG ，然后证∵ADG ∵∵ABE （SAS 即可得出结论；（2）证∵AEH ∵∵AGH （SAS ），得EH ＝GH ，再证C 、D 、G 三点共线，然后由GH ＝DG ＋DH ＝BE ＋DH ，即可得出结论；（3）设BE ＝x ，则CE ＝4−x ，DG ＝BE ＝x ，EH ＝BE ＋DH ＝x ＋2，再由勾股定理得出方程，求出x ＝43，则CE ＝4−x ＝83，然后由三角形面积公式即可得出答案．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形∵90,BAD AB AD ∠=︒=∵90BAE EAD ∠+∠=︒∵四边形AEFG 是正方形∵90,EAG AE AG ∠=︒=∵90EAD DAG ∠+∠=︒∵BAE DAG ∠=∠在BAE 和DAG △中AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵BAE DAG ≌∵DG BE =．(2)由（1）知BAE DAG ≌∵90,ADG B BE DG ∠=∠-︒= ∵90ADC ∠=︒∵9090180CDG ADC ADG ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ∵H ，D ，G 三点共线∵四边形AEFG 是正方形∵,45AE AG EAF GAF =∠=∠=︒在BAE 和DAG △中AE AG EAF GAF AH AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵EAH GAH ≌∵EH HG =∵HG DG DH =+∵EH BE DH =+(3)∵四边形ABCD 是正方形，4AB =∵4CD AB ==∵H 恰CD 中点 ∵122DH HC CD === ∵BAE DAG ≌∵BE DG =设BE x =，则,4DG x EC x ==- 由（2）知2EH BE DH x =+=+ 在Rt ECH △中，由勾股定理知222EC CH EH += ∵222(4)2(2)x x -+=+解得，43 x=∵83 EC=∵118822233 CEHS EC CH=⋅=⨯⨯=．【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．【变式1】将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：∵AE＝DE；∵EG＞GC；∵BE＝BF；∵若AB＝1，则AD正确的有（）A．∵∵∵B．∵∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵∵【答案】B【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得E，G分别为AD，CD的中点，再根据勾股定理可得AD，再根据三角形的性质得到EG＞GC，即可得到结果；解：∵四边形ABCD是矩形，∵∵C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，由折叠的性质得：AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∵E，G分别为AD，CD的中点，故∵正确，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，在Rt∵BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∵b2＝2a2，∵b，∵AB＝CD＝1，∵AD∵正确，∵∵EOG＝∵D＝90°，∵EG＞OG，∵OG ＝GC ，∵EG ＞GC ，故∵正确，不妨设BE ＝BF ，则∵BEF ＝∵BFE ＝∵DEF ＝∵AEB ＝60°，这个显然不可能，故∵错误．故选：B ．【点拨】本题主要考查了利用矩形的性质证明，准确分析判断是解题的关键．【变式2】如图，四边形ABCD 是轴对称图形，且直线l 是对称轴，//AB CD ，则下列结论∵//AD BC ；∵ABD ∆是等边三角形；∵ABD CDB ∆≅∆；∵四边形ABCD 是正方形.其中正确的是______.(只填写序号）【答案】∵∵【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．解：因为l 是四边形ABCD 的对称轴，//AB CD ，则AD AB =，12∠=∠，14∠=∠，则24∠=∠，AD DC ∴=，同理可得：AB AD BC DC ===，所以四边形ABCD 是菱形，但无法确定是否是正方形，根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以∵//AD BC ，故∵正确；∵BD 不一定等于AB ，故ABD ∆不一定是等边三角形，故∵错误；∵四边形ABCD 是正方形，故∵错误；∵在ABD ∆和CDB ∆中AB BC AD DC BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABD CDB SSS ∴∆≅∆，故∵正确．故答案为∵∵．【点拨】此题主要考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，轴对称图形中对应角相等，对应边相等．。

第三讲正方形的性质与判定-【2021年新九年级数学(北师大版)(解析版)

第二讲正方形的性质与判定【学习目标】1.在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探素正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论，2.进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力.3.掌控正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

【基础知识】1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）正方形四条边都相等，对边平行（2）正方形的四个角都是直角（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a【考点剖析】考点一：应用正方形的性质进行计算、求解例1 ．如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，且AE =AB ，过E 作EF ⊥AC ，交BC 于点F ．求证：BF =EF ．【答案】证明见解析．利用“HL ”证明△AFE ≌△AFB 即可解决问题．【详解】解：如图连接AF ．∵四边形ABCD 是正方形，且FE ⊥AC ，∴∠AEF=∠B=90°，在Rt△AFE和Rt△AFB中，，∴Rt△AFE≌Rt△AFB(HL)，∴BF=EF．例2．如图，在一正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．△≌△．（1）求证：BEC DEC∠的度数．（2）延长BE交AD于点F，若FD FE=．求AFE【答案】（1）见解析；（2）60°【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，在△BEC和△DEC中，，∴△BEC≌△DEC（SAS）；（2）∵FD=FE，∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x，∵四边形ABCD是正方形∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x，∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DEC=135°-2x，∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°，解得：x=30，∴∠AFE=60°．考点二：正方形的判定例3．四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．（1）如图是ABCD的一部分，请用尺规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；∠=60°若ACE是等边三角形，求证：ABCD是菱形；（2）如图，在射线BD上作一点E，使得ACE（3）在（2）的条件下，若，求证：菱形ABCD是正方形．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：∵在ABCD中，∴AO=CO，∵ACE是等边三角形，∴AC⊥OE，即：AC⊥BD，∴ABCD是菱形；（3）∵ACE是等边三角形，AC⊥OE，∴∠AED=12∠AEC=30°，∵，∴EAD∠=15°，∴∠ADO=30°+15°=45°，∴在菱形ABCD中，∠ADO=∠CDO=45°，即：∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形．考点三：正方形折叠问题例4．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）BG＝2．【详解】（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG＝12∠BAF，由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，∴∠EAF＝12∠DAF，∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝12（∠DAF＋∠BAF）＝12∠DAB＝12×90°＝45°；（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝12CD＝12×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，∵GE2＝CG2＋CE2∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，∴BG＝2．【真题演练】1．设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，∴它们之间的关系故选：B．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形【答案】C【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题； B 、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为假命题； C 、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故为真命题； D 、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为假命题；故选：C ．3．下列命题是假命题的是（） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C ．对角线相等的平行四边形是矩形 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D 【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，是真命题； B 、正方形的对角线相等且互相垂直平分，是真命题； C 、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题；故选：D ．4．有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由条件可知，减掉的部分位置应在正方形中心位置，所以A 、C 排除，再根据虚线和正方形边的位置关系是不平行的，所以D 项符合；本题也可以通过动手操作的方式进行解答和验证；故选：D ．5．如图，四边形ABCD 是正方形，O 是坐标原点，对角线AC ，BD 分别位于x 轴和y 轴上，点D 的坐标是，则正方形ABCD 的周长是（）A ．B ．12C ．D ．【答案】D 【详解】四边形ABCD 是正方形，且点()0,3D3OD OC ∴==，在Rt OCD △中，222+OD OC CD =，既，CD ∴=∴正方形的周长为故答案为：D6．如图，四边形ABCD 为矩形，E 、F 、G 、H 为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的形状是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【答案】C 【详解】解：连接AC 、BD ，∵在△DAC 中，G 、H 为CD 、DA 的中点， ∴HG ∥AC ，且HG ＝12AC ，在△BAC 中，E 、F 为AB 、BC 的中点， EF ∥AC ，且EF ＝12AC ， ∴HG ∥EF ，且HG ＝EF ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ， ∴EH ＝EF ，∴平行四边形EFGH 是菱形，故选：C ．7．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点C 折叠纸片，使点C 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为1，则FM 的长为（） A ．1 B ．C ．D ．12【答案】B 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，，由折叠的性质可知，1FB BC ==，1122BM AB ==，在Rt BFM中，由勾股定理得：．故选：B．8．已知点P是正方形ABCD内部一点，且PAB△是正三角形，则∠CPD=______度．【答案】150【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵△ABP是等边三角形，∴AP＝BP＝AB，∠P AB＝∠PBA＝60°，∴AP＝AD＝BP＝BC，∠DAP＝∠CBP＝30°．∴∠BCP＝∠BPC＝∠APD＝∠ADP＝75°，∴∠PDC＝∠PCD＝15°，∴∠CPD＝180°−∠PDC−∠PCD＝180°−15°−15°＝150°．故答案为：150．9．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】2a2【详解】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积＝（2a）2+a2﹣12•2a•3a＝4a2+a2﹣3a2＝2a2．故答案为：2a2．10．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE=____．【详解】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，∴BF=DE=1，S△AFB=S△ADE，∴S正方形ABCD=S四边形AECF=16，∴AD =4， ∴AE =11．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线l 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．∵DF ⊥AF ，BE ⊥AE ，∴∠AFD =∠AEB =90°，∠ADF +∠DAF =90°，∵∠DAF +∠BAE =90°， ∴∠ADF =∠BAE ，在△AFD 和△BEA 中，∴△AFD ≌△BEA （AAS ）， ∴DF =AE =3，AF =BE =1，在Rt △BEA 中，由勾股定理得：，．12．如图，在等边ABE △下方作一个正方形BCDE ，连接AC ，AD ．（1）求证：ABC ≌AED ；（2）求CAD ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）30CAD ∠=︒ 【详解】解：（1）证明：∵正方形BCDE 中，BC DE =，，等边ABE △中，AB AE =，， ∴，， ∴，∴ABC ≌AED （SAS ）；（2）∵正方形BCDE 中，BC DE =，等边ABE △中，AB AE =， ∴AB BC =， ∴，又由（1）得：，∴由三角形内角和定理可知：∠BAC =∠EAD =15°，∴．13．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∴MN=2OM，∵AC=2OM，∴MN=AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥MN，由（1）可知四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；【过关检测】1．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形的正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形的菱形，故A错误；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D 正确．故选：D ．2．若正方形的面积为100，则其对角线长为（）A ．100B ．C ．D ．10【答案】C 【详解】∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长为10，∴其对角线长= 故选C ．3．如图所示，正方形ABCD ，点E 在正方形对角线BD 上，且DE AB =，则BCE ∠的度数为（）A ．22.5︒B ．30C ．32.5︒D ．15︒【答案】A 【详解】∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB CD =，45CBD ∠=︒，又DE AB =， ∴DE CD =， ∴12∠=∠，由图知，23345CBD ∠=∠+∠=∠+°，∴3245145∠=∠-=∠-°°，又∵1390BCD ∠+∠=∠=°， ∴114590∠+∠-=°°， ∴21135∠=°，∴167.5=∠°， ∴．故A 正确．4．已知矩形ABCD ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（） A ．AC BD ⊥ B ．AC BD =C ．AC 平分BAD ∠ D ．【答案】B 【详解】解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ⊥，矩形ABCD 是正方形；四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，， AC 平分BAD ∠，，，∴AB BC =，∴矩形ABCD 是正方形；，∴AB AD =，∴四边形ABCD 是矩形，矩形ABCD 是正方形；故选：B ．5．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则HBC ∠的度数为（）A ．30︒B ．22.5︒C ．15︒D ．12.5︒ 【答案】C【详解】解：由翻折的性质可知：AH=AB ，MN 垂直平分AD ，∴DH=AH ，∴AH=AD=DH=AB ，∴△ADH 是等边三角形，∴∠DAH=60°．∴∠HAB=30°．∵AB=AH ，∴∠ABH=12×（180°-30°）=75°． ∴∠HBC=15°．故选C ．6．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD ．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD 的长为（）AB C ．2 D 【答案】B【详解】解：如图甲，连结BD ，∵AB=BC=CD=DA ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是正方形，则AB 2+AD 2=BD 2，∴AB=AD=1，如图乙，∵AB=BC=CD=DA ，∴四边形ABCD 为菱形，连接BD ，AC ，∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=BC=AB=1∴AO=OC=12AC=12， ∴BO=DO ，在Rt △BCO 中，由勾股定理2==，∴故选择：B ．7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF =，则两个正方形重合部分的面积为（）A ．212aB ．214aC ．218a D ．【答案】B【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =，∴S 四边形FOEC =214a ．故选择：B ．8．如图，直线a 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线a 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．【详解】解：在正方形ABCD 中，AD AB =；∵DF AF ⊥，，∴，；∵，∴；在Rt △AFD 和Rt △BEA 中，，∴Rt △AFD ≌Rt △BEA （AAS ），∴3DF AE ==，1AF BE ==；在Rt △BEA 中，由勾股定理得：．．9．如图，平面直角坐标系中，已知点，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为，则OC =______（用含a 的代数式表示）．【答案】18-a ．【详解】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，∵点，AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，∵AB AC⊥，∠EAD=90°，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，∵AB AC=，AE=AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-a，∴CD=9-a，OC=OD+CD=9+9-a=18-a，故答案为：18-a．10．如图，B，E，F，D四点在一条直线上，菱形ABCD的面积为2120cm，正方形AECF的面积为250cm，则菱形的边长为___cm．【答案】13【详解】解：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴12AC2=50，∴AC=10cm，∴AO=CO=5cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴12×AC×BD=120，∴BD=24cm，∴BO=DO=12cm，∴AB=，故答案为13．11．通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD ，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C 落在第一次的折痕EF 上点G 处，折痕为BH试探究∠CBH 、∠GBH 、∠GBA 三个角之间的数量关系，并说明理由．【答案】∠CBH ＝∠GBH ＝∠GBA ，理由见解析【详解】∠CBH ＝∠GBH ＝∠GBA ．理由：连接CG ，由第一次折叠知点B 、C 关于EF 对称，∴EF 垂直平分BC ，∴BG ＝CG ，由第二次折叠知△BCH ≌△BGH ，∴BG ＝BC ，∴BG ＝CG ＝BC ，∴△BCG 是等边三角形，∴∠CBG ＝60°，∵△BCH ≌△BGH ，∴∠CBH ＝∠GBH ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴，∴∠CBH ＝∠GBH ＝∠GBA ．12．如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上（点F 与点C 、D 不重合），，且．求证：四边形ABCD 是正方形．【答案】证明见解析．【详解】证明：如图，作EM BC ⊥于点M ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB BC ⊥，∴//EM AB ，∴，，∠ABC=90°∵，∴，∵，∴，∴，∴AB BC =∴矩形ABCD 是正方形．13．如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，连结CF ．（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形；（3）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是正方形．注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．【答案】（1）见解析；（2）当△ABC 满足∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是菱形；（3）当△ABC 满足AB ＝AC 且∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是正方形．【详解】（1）证明：∵AF //BC ，∴∠FAE ＝∠EDB ，∠AFE ＝∠EBD ，在AEF 和△DEB 中，，∴△AEF ≌△DEB （AAS ），∴AF ＝DB ，又∵BD ＝DC ，∴AF ＝DC ，又∵AF //DC ，∴四边形ADCF 为平行四边形．（2）当△ABC 满足∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是菱形；AD 是t R ABC 斜边BC 的中线，12AD BC DC ∴==又四边形ADCF 是平行四边形四边形ADCF 是菱形；（3）当△ABC 满足AB ＝AC 且∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是正方形．∠BAC ＝90゜，AD 是BC 边的中线，AD BC ∴=又四边形ADCF 为平行四边形，∴四边形ADCF 为菱形，∴四边形ADCF为正方形．。

第三讲 正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师 -