∥3套精选试卷∥2018年上海市九年级上学期期末联考数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
【答案】C
【分析】连接CE，先由三角形内角和定理求出∠B的度数，再由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质求出∠CEA的度数，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半即可解答．
【详解】解：连接CE，
∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，
∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠BCE+∠B＝30°，
∵Rt△AEC中，AC＝8cm，
∴CE＝2AC＝16cm，
∵BE＝CE，
∴BE＝16cm．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．2．正六边形的周长为12，则它的面积为（）
A3B．33C．43D．63
【答案】D
【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为12，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=1
6
×360°=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为12，∴BC=12÷6=2，
∴OB=BC=2，∴BM=1
2
BC=1，
∴OM=22
OB BM
=3，
∴S△OBC=1
2
×BC×OM=
1
2
×2×3=3，
∴该六边形的面积为：3×6=63．
故选：D．
【点睛】
此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）
A．0.55米B．11
30
米C．
13
30
米D．0.4米
【答案】B
【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝5
4
，A（0，0.8），C
（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝5
4
，A（0，0.8），C
（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴
930
5
24
0.8
a b c
b
a
c
++=
⎧
⎪⎪
-=
⎨
⎪
=
⎪⎩
，
解得：
8
15
4
3
4
5
a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
，
所以解析式为：y＝
8
15
-x2+
4
3
x+
4
5
，
当x＝2.75时，y＝
13
30
，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣
13
30
＝
11
30
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键
4．如果2
a b
=（a，b均为非零向量），那么下列结论错误的是（）
A．a//b B．a-2b=0 C．b=
1
2
a D．2
a b
=
【答案】B
【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.
a b
-=故错误.
故选B.
5．已知二次函数233
y x mx n
=-+-的图像与x轴没有交点，则( )
A ．423m n +＞
B ．423m n +＜
C ．423m n -＜
D ．423
m n -＞ 【答案】C 【分析】若二次函数233y x mx n =-+-的图像与x 轴没有交点，则0∆＜，解出关于m 、n 的不等式，再分别判断即可；
【详解】解：233y x m n =-+-与x 轴无交点，2239120,4m n n m ∴∆=-<∴>
， 22334442244333
m n m m m ⎛⎫∴++=+-≥- ⎪⎝⎭＞，故A 、B 错误； 同理：2
2334442244333m n m m m ⎛⎫-<-=--+≤ ⎪⎝⎭； 故选C .
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键.
6．如图，在正三角形ABC 中，D,E,F 分别是BC,AC,AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ）
A ．1∶3
B ．2∶3
C 3 2
D 3 3
【答案】A 【解析】∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，
∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠C=∠FDE ，
同理可得：∠B=∠DFE ，∠A=DEF ，
∴△DEF ∽△CAB ，
∴△DEF 与△ABC 的面积之比=2
DE AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 又∵△ABC 为正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°
∴△EFD 是等边三角形，
∴EF=DE=DF ，
又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴△AEF≌△CDE≌△BFD，
∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，
在Rt△DEC中，
DE=DC×sin∠C=3
DC，EC=cos∠C×DC=
1
2
DC
，
又∵DC+BD=BC=AC=
3
2
DC，
∴
3
3
2
33
2
DC
DE
AC DC
==，
∴△DEF与△ABC的面积之比等于：
2
23
1:3
DE
AC
⎛⎫
⎛⎫
==
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故选A．
点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边
DE
AC
之比，进而得到面积比．
7．如图为二次函数()
20
y ax bx c a
=++≠的图象，则下列说法：①0
a>；②20
a b
+=；③0
a b c
++>；④0
>；⑤420
a b c
-+<，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y 的值可判断③；根据抛物线与x轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y的值可判断⑤.
【详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误；
∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=
2
b
a
-=1，∴2a+b=0，故②正确；
观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确；
∵抛物线与x轴有两交点坐标，
∴△>0，故④正确；
观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确，
故选D.
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-2b a ；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．
8．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ） A ．35 B ．38 C ．58 D ．34
【答案】B
【解析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是38． 故选B ．
【点睛】
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．抛物线223y x x =--的对称轴是（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．2x =
D ．2x =- 【答案】A
【分析】直接利用对称轴为2b x a =-
计算即可． 【详解】∵21221b x a -=-
=-=⨯， ∴抛物线223y x x =--的对称轴是1x =，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数对称轴的求法是解题的关键．
10．如图，一次函数1
y ax b 和反比例函数2k y x
=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )
A ．20x -<<或04x <<
B ．2x <-或04x <<
C ．2x <-或4x >
D ．20x -<<或4x >
【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.
【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，
故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.
11．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞98
B ．k ＜98
C ．k ＜﹣98
D ．k ＜89
【答案】B
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，
解得k ＜98
． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．
12．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，
下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.1．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．10cm 【答案】C
【分析】根据比例关系即可求解.
【详解】∵模特身高165cm ，下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.1， ∴165
x ＝0.1， 解得：x ＝99，
设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：99165y y
++＝0.612， 解得：y ≈2．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例关系的定义.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7. 14．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
【答案】2π
【解析】试题分析：如图，
∠BAO=30°，3，
在Rt △ABO 中，∵tan ∠BAO=BO AO ， ∴3tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴22(3)12-=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=121222
ππ⨯⨯⨯=． 考点：圆锥的计算．
15．若二次函数y ＝mx 2+2x+1的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 _____．
【答案】m≤1且m≠1．
【分析】由抛物线与x 轴有公共点可知△≥1，再由二次项系数不等于1，建立不等式即可求出m 的取值范围.
【详解】解：y ＝mx 2+2x+1是二次函数，
∴m≠1，
由题意可知：△≥1，
∴4﹣4m≥1，
∴m≤1
∴m≤1且m≠1
故答案为m≤1且m≠1．
【点睛】
本题考查二次函数图像与x 轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键.
16．如图，若点P 在反比例函数y ＝﹣3x （x ＜0）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积为_____．
【答案】1
【分析】设PN ＝a ，PM ＝b ，根据P 点在第二象限得P （﹣a ，b ），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设PN ＝a ，PM ＝b ，
∵P 点在第二象限，
∴P （﹣a ，b ），代入y ＝
3x
中，得 k ＝﹣ab ＝﹣1，
∴矩形PMON 的面积＝PN•PM ＝ab ＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何意义，即S 矩形PMON =K
17．如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转55︒得到ADE ∆，点B 的对应点是点D ，直线BC 与直线DE 所夹的锐角是_______.
【答案】55︒
【分析】延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F ，然后根据旋转的性质分别求出∠EAC=55°，∠AED=∠ACB ，再根据对顶角相等，可得出∠DFB=∠EAC=55°.
【详解】解：延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F
由题意可得：∠EAC=55°，∠AED=∠ACB
∴∠AEF=∠ACF
又∵∠AOE=∠FOC
∴∠DFB=∠EAC=55°
故答案为：55°
【点睛】
本题考查旋转的性质，掌握旋转图形对应角相等是本题的解题关键.
18．已知一元二次方程230x x a ++=的一个根为1，则a =__________．
【答案】-4
【分析】将x=1代入方程求解即可.
【详解】将x=1代入方程得4+a=0，
解得a=-4，
故答案为：-4.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线
与BC 边相交于点D ．
（1）求点D 的坐标；
（2）若抛物线经过A 、D 两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、A 、M 为顶点的三角形与△ABD 相似，求符合条件的所有点P 的坐标.
【答案】（3）点D 的坐标为（3，3）；（3） 抛物线的解析式为23984y x x =-
+；（3） 符合条件的点P 有两个，P 3（3，0）、P 3（3，-4）.
【分析】（3）有题目所给信息可以知道，BC 线上所有的点的纵坐标都是3，又有D 在直线3942=-+y x 上，
代入后求解可以得出答案．
（3）A 、D ，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．
（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P 、A 、M 为顶点的三角形与△ABD 相似，所以应有∠APM 、∠AMP 或者∠MAP 等于90°，很明显∠AMP 不可能等于90°，所以有两种情况． 【详解】（3） ∵四边形OABC 为矩形，C （0，3） ∴BC ∥OA ，点D 的纵坐标为3． ∵直线39
42
=-+y x 与
BC 边相交于点D ， ∴39
3,242
x x -
+==． ∴点D 的坐标为（3，3）． （3） ∵若抛物线2y ax bx =+经过A （6，0）、D （3，3）两点，
∴3660423a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得：38
9
4a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴抛物线的解析式为23984y x x =-+
（3） ∵抛物线239
84
y x x =-
+的对称轴为x=3， 设对称轴x=3与x 轴交于点P 3，∴BA ∥MP 3， ∴∠BAD=∠AMP 3．
①∵∠AP 3M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP 3． ∴P 3（3，0）．
②当∠MAP 3=∠ABD=90°时，△ABD ∽△MAP 3． ∴∠AP 3M=∠ADB
∵AP 3=AB ，∠AP 3P 3=∠ABD=90° ∴△AP 3P 3≌△ABD ∴P 3P 3=BD=4
∵点P 3在第四象限，∴P 3（3，-4）．
∴符合条件的点P 有两个，P 3（3，0）、P 3（3，-4）．
20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点．
（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． （提示：若平面直角坐标系内有两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则线段PQ 的长度221212()()x x y y -+-）． 【答案】（1）y=x+3；y=﹣x 2﹣2x+3；（2）M 的坐标是（﹣1，2）；（3）P 的坐标是（﹣1317
+1，
317
2
）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）． 【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC 和抛物线的解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （−1，t ），又因为B （−3，0），C （0，3），所以可得BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t−3）2＝t 2−6t ＋10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标． 【详解】（1）A （1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0）， 则B 的坐标是（﹣3，0）
根据题意得：30
3m n n -+=⎧⎨
=⎩
解得13
m n =⎧⎨
=⎩
则直线的解析式是y=x+3； 根据题意得：
解得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
则抛物线的解析式是y=﹣x 2﹣2x+3
（2）设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小． 把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得，y ＝−1＋3＝2， ∴M （−1，2），
即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（−1，2）； （3）如图，设P （−1，t ）， 又∵B （−3，0），C （0，3），
∴BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t −3）2＝t 2−6t ＋10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2即：18＋4＋t 2＝t 2−6t ＋10解之得：t ＝−2； ②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2即：18＋t 2−6t ＋10＝4＋t 2解之得：t ＝4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2即：4＋t 2＋t 2−6t ＋10＝18解之得：t 1＝
3172+，t 2＝317
2
-； ∴P 的坐标是（﹣1，
317+）或（﹣1，317
-）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．如图，已知抛物线2
14
y x bx c =
++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,3)A ，点(12,15)-B ，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交与点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、
Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）21234y x x =
++；（2）(6,0)P -；（3）存在，116
(,3)3
Q - ，2(4,3)Q 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点P （m ，2
1234
m m ++），表示出PE ＝2134
m m --，再用S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝1
2AC ×PE ，
建立函数关系式，求出最值即可；
（3）先判断出PF ＝CF ，再得到∠PCA ＝∠EAC ，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况计算即可．
【详解】（1）∵点(0,3)A ，(12,15)-B 在抛物线上，
∴3
115144124c b c =⎧⎪⎨=⨯-+⎪⎩
， ∴2
3
b c =⎧⎨
=⎩，
∴抛物线的解析式为2
1234
y x x =
++， （2）∵AC ∥x 轴，A （0，3） ∴
2
1234
x x ++＝3， ∴x 1＝−6，x 2＝0， ∴点C 的坐标（−8，3）， ∵点(0,3)A ，(12,15)-B ， 求得直线AB 的解析式为y ＝−x ＋3，
设点P （m ，2
1234
m m ++）∴E （m ，−m ＋3） ∴PE ＝−m ＋3−（21234m m ++）＝2
134
m m --，
∵AC ⊥EP ，AC ＝8， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC
＝
12AC ×EF ＋
1
2
AC ×PF ＝12AC ×（EF ＋PF ） ＝12AC ×PE ＝12
×8×（2
134
m m -
-） ＝−m 2−12m
＝−（m ＋6）2＋36， ∵−8＜m ＜0
∴当m ＝−6时，四边形AECP 的面积的最大，此时点P （−6，0）； （3）∵2
1234y x x =
++＝21(4)14
x +-， ∴P （−4，−1），
∴PF ＝y F −y P ＝4，CF ＝x F −x C ＝4， ∴PF ＝CF ， ∴∠PCF ＝45°
同理可得：∠EAF ＝45°， ∴∠PCF ＝∠EAF ，
∴在直线AC 上存在满足条件的Q ，
设Q （t ，3）且AB ，AC ＝8，CP =，
∵以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时， ∴
CQ CP AC AB
=，
∴
8
8t +=
∴t ＝−
16
3或t ＝−323（不符合题意，舍） ∴Q （−16
3
，3）
②当△CQP ∽△ABC 时， ∴
CQ CP
AB AC
=，
=
， ∴t ＝4或t ＝−20（不符合题意，舍） ∴Q （4，3）
综上，存在点
1
16 (,3)
3
Q-
2(4,3)
Q.
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
22．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01（sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158）
【答案】32.05米
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，
∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝AD AC
，
∴AC＝
5
sin9︒
＝
5
0.156
≈32.05（m），
答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
23．垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按:A可回收物，:B有害垃圾，:C餐厨垃圾，:
D其它垃圾四类分别装袋，投放.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）. （1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率；
（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【答案】(1) 1
4
； (2)乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是
1
3
.
【分析】（1）甲投放的垃圾可能出现的情况为4种，以此得出甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率；（2）根据题意作出树状图，依据树状图找出所有符合的情况，求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【详解】(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C、D四种可能，所以甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率为1
4
；
(2)
161
P 483
=
= ∴ 乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是13
. 【点睛】
本题考查了概率事件以及树状图，掌握概率的公式以及树状图的作法是解题的关键.
24．一个二次函数的图象经过(3，1)，(0，-2)，(-2，6)三点．求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点． 【答案】二次函数为2
22y x x -=-，顶点(1,-3)．
【分析】先设该二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），利用待定系数法求a ，b ，c 的值，得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数的图象经过(0,-2)，可设所求二次函数为2
2y ax bx =+-， 由已知，函数的图象不经过(3,1)，(-2,6)两点，可得关于a 、b 的二元一次方程组9321,
422 6.a b a b +-=⎧⎨
--=⎩
解这个方程，得1,
2.a b =⎧⎨=-⎩
∴二次函数为：2
22y x x -=-； 化为顶点式得：2
(1)3y x =-- ∴顶点为：(1,3)-． 【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法以及顶点公式求法等知识，难度不大．
25．已知反比例函数y=
k
x
的图象与一次函数y=kx+m 的图象相交于点A （2，1）． （1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）当x 取什么范围时，反比例函数值大于0；
（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B ，且纵坐标为﹣4，当x 取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；
（4）试判断点P （﹣1，5）关于x 轴的对称点P′是否在一次函数y=kx+m 的图象上．
【答案】（1）y=2
x
，y=2x﹣3；（2）x＞1；（3）x＜﹣1.5或1＜x＜2；（4）点P′在直线上．
【详解】试题分析：（1）根据题意，反比例函数y=k
x
的图象过点A（2，1），可求得k的值，进而可得解
析式；一次函数y=kx+m的图象过点A（2，1），代入求得m的值，从而得出一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，当y＞1时，解得对应x的取值即可；
（3）由题意可知，反比例函数值大于一次函数的值，即可得2
x
＞2x﹣3，解得x的取值范围即可；
（4）先根据题意求出P′的坐标，再代入一次函数的解析式即可判断P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．．
试题解析：解：（1）根据题意，反比例函数y=k
x
的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1），
则反比例函数y=k
x
中有k=2×1=2，
y=kx+m中，k=2，
又∵过（2，1），解可得m=﹣3；
故其解析式为y=2
x
，y=2x﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的解析式为y=2
x
，
令y＞1，即2
x
＞1，解可得x＞1．
（3）根据题意，要反比例函数值大于一次函数的值，
即2
x
＞2x﹣3，解可得x＜﹣1.5或1＜x＜2．
（4）根据题意，易得点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣5）
在y=2x﹣3中，x=﹣1时，y=﹣5；
故点P′在直线上．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
26．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，分别连接AC、BC，过点B作直线BD，使CBD A
∠=∠.求证：直线BD与圆O相切.
【答案】见解析
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得90C =∠，然后根据直角三角形的性质和已知条件即可证出AB BD ⊥，最后根据切线的判定定理即可证出直线BD 与圆O 相切． 【详解】证明：∵AB 是圆O 的直径 ∴90C =∠ ∴90A ABC ∠+∠= ∵CBD A ∠=∠
∴90ABD CBD ABC ∠=∠+∠=， 即AB BD ⊥ ∵点B 在圆O 上 ∴直线BD 与圆O 相切． 【点睛】
此题考查的是圆周角定理的推论和切线的判定，掌握直径所对的圆周角是直角和切线的判定定理是解决此题的关键．
27．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下： 甲 10 6 10 6 8 乙
7
9
7
8
9
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2. （1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
【答案】（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙． 【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【详解】（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：1
5
[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7
﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；
（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．
【点睛】
本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2
1
n
=[（x1x
-）2+（x2x
-）
2+…+（x n x
-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．设点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x =
图象上的两个点，当1x ＜2x ＜时，1y ＜2y ，则一次函数2y x k =-+的图象不经过的象限是
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】∵点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x =
图象上的两个点，当1x ＜2x ＜1时，1y ＜2y ，即y 随x 增大而增大，
∴根据反比例函数k y x
=图象与系数的关系：当0k >时函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．故k ＜1．
∴根据一次函数图象与系数的关系：一次函数1y=k x+b 的图象有四种情况：
①当1k 0>，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、三象限；
②当1k 0>，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、三、四象限；
③当1k 0<，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、四象限；
④当1k 0<，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第二、三、四象限．
因此，一次函数2y x k =-+的1k 20=-<，b=k 0<，故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．
2．如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，5AD =，10BD =，4AE =，AC =( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】D 【分析】先由DE ∥BC 得出
AD AE AB AC =，再将已知数值代入即可求出AC ． 【详解】∵DE ∥BC ，
∴AD AE AB AC
=， ∵AD=5，BD=10，
∴AB=5+10=15，
∵AE=4， ∴5415AC
=， ∴AC=12.
故选：D.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
3．二次函数222=++y x x 与坐标轴的交点个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 【答案】B
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数进行判断．
【详解】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0，
∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与x 轴没有交点，与y 轴有一个交点．
∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标，令y ＝0，即ax 2＋bx ＋c ＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根之间的关系：△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数；△＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
4．若点(2, 3)在反比例函数y=
k x 的图象上，那么下列各点在此图象上的是( ) A ．(-2,3)
B ．(1,5)
C ．(1, 6)
D ．(1, -6) 【答案】C 【解析】将（2，3）代入y=
k x
即可求出k 的值，再根据k=xy 解答即可． 【详解】∵点（2，3）在反比例函数y=k x （k≠0）的图象上， ∴k=xy=2×3=6，
A 、∵-2×3=-6≠6，∴此点不在函数图象上；
B 、∵1×5=5≠6，∴此点不在函数图象上；
C 、∵1×6=6，此点在函数图象上；
D 、∵1×（-6）=-6≠6，此点不在函数图象上．
故选：C ．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
5．如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为（ ）
A ．1:2
B ．2:5
C ．5:12
D ．6:13
【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．
【详解】设平行四边形的边AD=2a ，AD 边上的高为3b ；过点E 作EF ⊥AD 交AD 于F ，延长FE 交BC 于G
∴平行四边形的面积是6ab
∴FG=3b
∵AD ∥BC
∴△AED ∽△CEM
∵M 是BC 边的中点， ∴2EF AD EG MC
==, ∴EF=2b ，EG=b ∴1122
CEM S EG CM ab =⨯= ∵1322
CDM ACM S S FG CM ab ==⨯= ∴CDE CDM CEM S S S ab =-=
∴阴影部分面积=52ACM CDE S S ab =+= ∴阴影部分面积：平行四边形ABCD 的面积=
5:65:122ab ab = 故选：C ．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．
6．一元二次方程2(x 2)0-=的根是( )
A ．x 2=
B ．12x x 2==
C ．1x 2=-，2x 2=
D ．1x 0=，2x 2=
【答案】B
【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（x ﹣2）2＝0，
则x 1＝x 2＝2，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
7．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【详解】
考点：中心对称图形．
分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
解：A ．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
B ．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C ．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D ．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
故选A ．
8．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A ，1122D E E B ，2222A B C D ，2343D E E B ，3333,A B C D ，按如
图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C ，1E ，2E ，2C ，3E ，4E ，3C …在x 轴上，已知正方形1
111D C B A 的边长为1，1130OB C ∠=︒，112233////B C B C B C ，…，则正方形n n n n A B C D 的边长是（ ）
A．
1
()
2
n B．1
1
()
2
n-C．3
()n D．1
3
()n-
【答案】D
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形边长，进而即可找到规律得出答案．
【详解】∵正方形
1
1
1
1
D
C
B
A的边长为1，
11
30
OB C
∠=︒，
112233
////
B C B C B C，…
11222334111222334
,,30
D E B E D E B D D C E C B E C B E
∴==∠=∠=∠=︒
1111
1
sin30
2
D E C D
∴=︒=
1
22
1
3
2()
3
3
B C
∴==
同理可得2
33
13
()
33
B C==
故正方形n n n n
A B C D的边长为1
3
()
3
n-
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和锐角三角函数，利用正方形的性质和锐角三角函数找出规律是解题的关键．9．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）
A．
9
5sinα
米B．
9
5cosα
米C．
5
9sinα
米D．
5
9cosα
米
【答案】B
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．【详解】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝3
2
＋0.3＝
9
5
，
∵cosα＝BD AB
，
∴cosα＝
9
5 AB
，
解得，AB＝
9
5cosα
米，
故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，求出顶点坐标并抓住点的平移规律是解题关键．
11．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）。