2018-2019学年高三数学上学期第二次月考试题理

范亭中学2016级高三第二次月考试题
理科数学
本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟
第I 卷（选择题）
一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.若{}{}
1,1P x x Q x x =<=>-则( ) A.P Q ⊆ B.Q P ⊆ C.()R C P Q ⊆ D.()R Q C P ⊆ 2.下列函数是以为周期的是( )
A.y sinx =
B.2y cosx =+
C.221y cos x =+
D.32y sin x =-
3.1
6730' 6730'
tan tan ︒-
︒的值为( )
A.B.C.D.
4.将函数3sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
2
π
个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 5.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2
π
个单位,若所得的图象与原图象重合,则的值不可能等于( ) A.B.C.D.
6.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+(其中为实数),若()6f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对x R ∈恒成立,且()02f f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
,则()f x 的单调递增区间是( )
A.(),3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B.(),2k k k Z πππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C.()2,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D.(),2k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
7.已知函数()f x 在点处连续,下列结论中正确的是( )
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在附近的左侧()'0f x >,右侧()'0f x <,那么()0f x 是极大值
C.如果在附近的左侧()'0f x >,右侧()'0f x <,那么()0f x 是极小值
D.如果在附近的左侧()'0f x <,右侧()'0f x >,那么()0f x 是极大值 8.已知, x R sin x cos x m ∈-=,则的取值范围为( )
A.11m -≤≤
B.m ≤1m -≤≤1m ≤≤
9.已知 ?, ?cos cos sin sin αβαβ+=
+=12则() cos αβ-= ( )
A.12-
B.-1
2D. 10.函数[],x 0,2y sinx π=∈的图象与直线1
2
y =-
的交点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.函数()f x 的定义域为,()12f -=,对任意x R ∈,()'2f x >,则()24f x x >+的解集为( )
A.()1,1-
B.()1,-+∞
C.(),1-∞-
D.(),-∞+∞ 12.对于函数()sin 1
0sin x y x x
π+=
<<,下列结论正确的是( ) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值 D.既无最大值也无最小值
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.
14.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,,,60a b c c C ==︒,则
b
a
=______
15.关于的方程1222x x a --+=(其中a >的两根分别为1?2,x x ,则312log ()x x +的值为__________
16.在ABC ∆中,3
B π
=
,AC =则2AB BC +的最大值为: .
三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,其余每道12分,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题满分10分)已知集合{}
2
45|0,A x x x =--≥集合{}22.|B x a x a =≤≤+
1.若1a =-,求A B ⋂和A B ⋃;
2.若A B B ⋂=,求实数的取值范围.
18．(本题满分12分)已知直线y x =与圆221x y +=交于,A B 两点,点在轴的上方,是坐标原点.
1.求以射线为终边的角的正弦值和余弦值;
2.求以射线OB 为终边的角的正切值
19. (本题满分12分) 已知函数()2sin sin 6f x x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间 (2)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的值域 20、(本题满分12分)如图为函数
()()()sin 0,0,y f x A x A ωϕωϕπ==+>><图象的一
部分,其中点4,23P π⎛⎫
⎪⎝⎭
是图象的一个最高点,点,03Q π⎛⎫ ⎪
⎝⎭是与点相邻的图象与轴的一个交点.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)若将函数()f x 的图象沿轴向右平移3
π
个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的1
4
(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =的解析式及单调递增区间.
21.（本题满分12分）已知函数2
()sin 22cos 16f x x x π⎛⎫
=-+- ⎪⎝
⎭
1.求函数() f x 的最小正周期及单调递减区间
2.设ABC ∆三内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ,已知1
(),,,2
f A b a c =
成等差数列,且9AB AC ⋅=,求的值
22．(本题满分12分)已知函数,为自然对数的底数.
1.求函数的最小值;
2.若
对任意的
恒成立,求实数的值;
3.在的条件下,证明:
理科参考答案
一、选择题 1.答案：C
解析：∵{}
1P x x =<∴{}1R C P x x =≥又{}
1Q x x =>-∴()R C P Q ⊆故选 2.答案：C 解析：
对于A,B,函数的周期为,对于C,函数的周期是,对于D,函数的周期是2
3
π,故选C. 3.答案：C
解析：1
6730' 6730'
tan tan ︒-
︒
2
2tan135
-=
=
4.答案：B
解析：3sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭的图象向右平移2
π
个单位长度,得3sin 223y x ππ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦23sin 23x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
.令2222,232k x k k Z πππ
ππ-+≤-
≤+∈,则
7222,6
6k x k k Z π
πππ+≤≤+
∈,7,1212
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈,∴函数在()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增.同理,令23222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈,可得函数在()713,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
上单调递减.故选B.
5.答案：B
解析：因为将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2
π
个单位,所得图象与原图像重合,所以
2π是已知函数的周期的整数倍,即22
k ππ
ω⋅
=()k Z ∈,解得4k ω=()k Z ∈,故选B 项. 6.答案：C 解析：由题意得16f π⎛⎫=±
⎪⎝⎭,即sin 13πϕ⎛⎫
+=± ⎪⎝⎭
,所以()32k k Z ππϕπ+=+∈,所以()6k k Z π
ϕπ=
+∈.由()02f f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
,即()sin sin πϕϕ+>,所以sin 0ϕ<,因此()726m m Z πϕπ=
+∈.从而()()7sin 2sin 26f x x x πϕ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
,其单调递增区间为()7222262k x k k Z π
ππππ-
≤+
≤+∈,即()563k x k k Z ππ
ππ-≤≤-∈,所以
()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈.故选C.
7.答案：B
解析：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A 错.如果在附近的左侧()'0f x >,右侧()'0f x <,则函数先增后减,则()0f x 是极大值.如果在附近的左侧()'0f x <,右侧
()'0f x >,则函数先减后增,则()0f x 是极小值.故选B.
8.答案：B
解析：
因为x R ∈,所以34
x R π
-∈, 所以3114cos x π⎛⎫
-≤-
≤ ⎪⎝⎭
,
所以m ≤≤9.答案：A 解析：
由 ?, ?cos cos sin sin αβαβ+=+=12 两边平方相加得
()()22
2
2
?
? 1,cos cos sin sin αβαβ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
+++=+=122 所以22 ?2 ?1,cos cos sin sin αβαβ++=
()2 ? ? 1,cos cos sin sin αβαβ+=-
() .cos αβ-=-1
2
10.答案：B 解析：
在[0,2]π内使1 2sin x =-
的角为76π和116
π,所以[],x 0,2y sinx π=∈的图象与直线1
2
y =-
有个交点,故选B 11.答案：B
解析：令()()()24m x f x x =-+,则()()20m x f x '-'=>,所以()m x 在上是增函数。

因为
()()1120m f -=--=,所以()0m x >的解集为{}|1x x >-,即()24f x x >+的解集为
()1,-+∞。

12.答案：B 解析： ∵sin 11
1,sin sin x y x x
+=
=+
又(0,)x π∈,
(] 0,1.sin x ∴∈ [)2,,y ∴∈+∞故选B.
二、填空题 13.答案：12
解析：设两项运动都喜欢的人数为,画出韦恩图(如图)得到方程
15?1?0? 8?30? 3x x x x -++-+=⇒=,
∴喜爱篮球运动但不喜爱
乒乓球运动的人数为15312-=.
14.答案：
12
+ 解析：由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-,即222
2a a b ab =+-,整理得
2
10b b
a a
⎛⎫--= ⎪⎝⎭,解得b b a a ==⎝
15.答案：1
解析： 16.
答案：
解析：设AC b =AB c =,BC a =.在ABC ∆中,
2sin sin sin a b c
A B C
===,2sin a A ∴=,2sin c C =,且23A C π+=
,222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+22sin 4sin 3C C π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
()4sin C C C ϕ=+=+,
其中sin 7ϕ=
,cos ϕ=,,63ππϕ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
,而20,
3
C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,6C πϕπ⎛⎫
∴+∈ ⎪⎝⎭
,当2C πϕ+=时.2AB BC +
有最大值三、解答题 17.答案：1.
{|1A x x =≤-或{}}|5,21,x B x x ≥=-≤≤
所以{}2|1,A B x x ⋂=-≤≤-
|1{A B x x ⋃=≤或}5.x ≥
2.
因为A B B ⋂=,所以.B A ⊆ ①若,B =∅则22a a >+,得2a >;
②若,B ≠∅则≤⎧⎨
+≤-⎩a 2a 21或≤⎧⎨≥⎩
a 2
2a 5所以3a ≤-.
综上知2a >或3a ≤-. 解析：
18.答案：1.由22
1y x x y =⎧⎨+=⎩
得11x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪
=⎪⎩
或22x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪
=⎪⎩ ∵点在轴上方,
∴点,A B
的坐标分别为(
),()2222
-
22
sin cos αα∴=
=
2.
由得1tan β=
= 解析： 19.答案：1.(
)11cos 212222223x f x sinx sinx cosx sin x sin x -π=+=+=-⎫⎛
⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+⎝⎭
, 函数()f x 的最小正周期为T π=, 由222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈,解得5,12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间是5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦ 2.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
时,22,333x π
ππ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦
,23sin x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪∈⎝⎭⎣π⎦-,(
)0,1f x ⎡∈+⎢⎣⎦
,
所以当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x
的值域为0,1⎡+⎢⎣
⎦ 解析：
20.答案：1.由函数()()sin y f x A x ωϕ==+的图象知2A =,又
44433T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴212w T π==,()12sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;又∵点4,23P π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数图象()y f x =的一个最高点,则
142sin 223πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
,∴()2232k k Z ππϕπ+=+∈,∵ϕπ<,∴6πϕ=-,∴
()12sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2.由1得,()1
2sin 2
6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,把函数()f x 的图象沿轴向右平
移
3π个单位,得到1
2sin 2
3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变),得到()2sin 23g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
,由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
,解得
()5k 12
12x k k Z π
πππ-
≤≤+
∈,∴()g x 的单调增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦ 解析：
21.答案：1.2,,,6
3T k k k Z π
ππππ⎡
⎤
=++
∈⎢⎥⎣
⎦
2.a =解析：
22.答案：1.由题意
, 由
得. 当
时,;当
时,. ∴
在
单调递减,在
单调递增 即
在
处取得极小值,且为
最
小
值
,其
最
小值
为
2.
对任意
的恒成立,即在
上,
. 由1,设,所以
. 由得
易知在区间上单调递增,在区间上单调递减,
∴在
处取得最大值,而.
因此的解为, ∴
3.由2得
,即
,当且仅当
时,等号成立,
令,则即,
所以,累加得。