九年级数学上册22.2一元二次方程的解法易错题解析素材华东师大版(new)

一元二次方程的解法
不少同学在解决一元二次方程有关问题时,忽视隐含条件、思考不周而导致各种各样的缺误，下面分类剖析一下错解的原因，希望同学们引以为戒．
忽视方程的同解性
例１．解方程：)1(3)1(2+=+x x 错解：由原方程得：x+1=3 ∴x=2．
剖析：上面的解法错在方程的两边同除以为零的x+1,违背了方程的同解原理，造成失根．
正确的解法为；0)1(3)1(2=+-+x x ,(x+1）（x －2）=0，∴2,121=-=x x ． 忽视方程的定义
例１．已知一元二次方程0)12(22=+--k k kx 有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是 ．
错解：令△＝224)12(k k --＞０，即－4k+1＞0，解得41<k ．∴当4
1
<k 时,原方程有两个不等的实数根．
剖析：这里忽视了二次项系数o k ≠的隐含条件． 故本题的正确答案为：4
1
<k 且o k ≠． 忽视有根的前提条件
例３．关于x 方程012)2(2=+++-k x k x 的两实数根为1x 与2x ,若112
221=+x x ，
求实数k 的值．
错解：由根与系数的关系得：12,22121+=+=+k x x k x x ．∵ 2212
221)(x x x x +=+－
２21x x ＝１１,∴11)12(2)2(2=+-+k k ,∴092=-k ，解得：3±=k ．
剖析：关于x 的二次方程的两实数根的平方和为１１,首先要保证它有实数根为前提．所以，此解忽视了判别式△≥０这一隐含条件．本题中,当k=3时,原方程为0752=+-x x ，
＝－３＜０，故只取k=－3．
忽视方程根多样性
例４．已知实数a 、b 满足条件025,02522=+-=+-b b a a ,则=+a
b
b a ．
错解：由已知条件可知，a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，∴a+b=5,ab=2， =+a b
b a
2
21
22252)(22=⨯-=-+ab ab b a ．
剖析：本题就a 、b 的关系有两种情况:一是a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，此时 ＞０．可知a ≠b ．二是a=b 同样能使已知两式同时成立．而上述解法只考虑了a ≠b 的情
形，却忽视了第二种情况a=b ．当a=b 时，=+a b
b a ２．
本题的正确解答为：当a ≠b 时，=+a b b a 221;当a=b 时,=+a
b
b a ２．
五、忽视方程根的符号
例5．已知一元二次方程0152=++x x 的两根为21,x x ，求
2
1
1
2
x x x x +的值． 错解:由根与系数的关系,得31
,352121=-=+x x x x ，所以原式＝2
21121x x x x x x +＝
33
5
212
12
1-
=+x x x x x x ． 剖析:∵31
,352121=-=+x x x x ,∴0021<<x x 且．∴2112x x x x +≠2
21121x x x x x x +，因此，
原式＝2
211
21x x x x x x -
-
＝－
33
5
212
12
1=
+x x x x x x ． 六、忽视条件的等价性
例６．若一元二次方程0562=-+-m x x 的两实数根都大于２,求m 的取值范围． 错解：设方程的两实数根为21,x x ，则m x x x x -==+5,62121,∵2,221>>x x ,所以
⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆4402121x x x x ，即⎪⎩
⎪
⎨⎧>->≥--454
60)5(436m m ，解得－４≤m ＜１． 剖析：由2,221>>x x ，可以推出4,42121>>+x x x x ，但反过来，由4,42121>>+x x x x 却推不出2,221>>x x ，即它们之间不等价．两实数根都大于２的充要条件是△≥０且
0)2()2(21>-+-x x 且0)2)(2(21>--x x ，解得－４≤m ＜－３．
七、忽视隐含条件
例７． 已知关于x 的方程=-+--112)21(2x m x m ０有两个不等的实根,求m 的取值范围．
错解:∵方程有两个不等的实根，∴△＝0)21(4)12(2>-++-m m ，得m ＜2．
又∵1－２m ≠0，∴m ≠2
1
．
剖析：本题求解时注意了a 及△，但忽视了1+m 这一隐含条件下:m+1≥0．
故正确的答案应是－1≤m ＜2且m ≠2
1
．
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