全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程

_2.3
双_曲_线
2．3.1 双曲线的标准方程
[对应学生用书P25]
在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．
问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 2
5
＝1.
问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 2
5
＝1.
双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．
[对应学生用书P26]
[例1]
[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．
[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛
⎭
⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
(－2)2a 2－(－3)2
b 2
＝1，⎝⎛
⎭⎫1532
a 2－(2)2
b 2＝1，
解得⎩⎨⎧
1
a 2
＝1，1b 2
＝1
3，
即a 2＝1，b 2＝3，
∴所求双曲线的标准方程为x 2
－y 2
3＝1.
当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为 y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛
⎭
⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
(－3)2a 2－(－2)2
b 2
＝1，(2)2a 2
－
⎝⎛
⎭
⎫1532
b 2＝1.
解得⎩⎨⎧
1
a 2＝－1
3，1
b 2
＝－1，
(不符合题意，舍去)．
综上：所求双曲线的标准方程为x 2
－y 2
3
＝1.
法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛
⎭
⎫153，2，
得⎩⎪⎨⎪⎧
m (－2)2
＋n (－3)2
＝1，m ⎝⎛⎭
⎫1532＋n (2)2
＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，n ＝－13， 所以所求双曲线的标准方程为x 2
－y 2
3
＝1.
[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；
(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b 2
＝1.
由题意，知⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋
b 2＝9，42a 2－(15)2
b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝5.
故双曲线的方程为y 24－x 2
5＝1.
(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，
∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 2
6－λ＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴25λ－46－λ
＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25
－y 2
＝1.
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.
因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13
－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 2
20＝1.
[例2] 若方程x 25－m ＋y 2
m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范
围．
[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．
[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2
m 2－2m －3
＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5. 所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．
[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2
n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎨⎧
m >0，n <0时，
表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎨⎧
m <0，
n >0
时，表示焦点在y 轴上的双曲线．
3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2
k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必
要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析：x 29－k ＋y 2
k －4＝1表示双曲线的充要条件是
(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4.
因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．
即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．
答案：充分不必要
4．若方程x 22－m ＋y 2
|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是
________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．
解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧
2－m >0
|m |－3<0
⇒－3<m <2.
②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.
答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)
[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2
＝32，试求△F 1PF 2的面积．
[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．
[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 2
16＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲
线的定义，
得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 2
2－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·
PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得
cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 2
22PF 1·PF 2＝100－100
2PF 1·PF 2
＝0，
∴∠F 1PF 2＝90°，
∴S △F 1PF 2
＝12PF 1·PF 2＝1
2×32＝16.
[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．
5．已知双曲线x 2
16－y 2
25
＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2
＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.
解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝1
2
PF ′，又FN ＝
OF 2－ON 2＝5，由
双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝1
2(PF
－PF ′)－FN ＝1
2
×8－5＝－1.
答案：－1
6．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2
＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.
∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝3
2，c ＝5.
∴b 2＝25－94＝91
4
.
∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－3
2
)．
1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．
2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，
由条件列出a ，b ，c 的方程组．
[对应课时跟踪训练(十)]
1．双曲线x 225－y 2
24＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为
________．
解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1
－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.
答案：21
2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 2
9＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是
△PF 1F 2的内心，且S △IPF
2＝S △IPF 1
－λS △IF 1F 2
，则λ＝________.
解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F
2⇒12×PF 2×r ＝1
2×
PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝4
5
.
答案：45
3．若方程x 2k －3＋y 2
k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．
解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <3
4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.
解析：由双曲线x 2a －y 2
2＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2
＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.
答案：1
5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·
|2MF |＝2，则该双曲线的方程是________． 解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF .
∴|1MF |2＋|2MF |2＝40. ∴(|1MF |－|2MF |)2
＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2 ＝40－2×2＝36.
∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3. 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2
＝1.
答案：x 29
－y 2
＝1
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，9
4)；
(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(9
4
，5)．
解：(1)因为椭圆x 225＋y 2
9＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为
F 1(－5,0)，F 2(5,0)．
由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝| (5＋5)2＋(9
4－0)2－
(5－5)2＋(9
4
－0)2|
＝|
(414
)2－ (9
4
)2|
＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 2
9＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(9
4
，5)代入，得
⎩⎪⎨⎪⎧
9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧
A ＝－1
9，B ＝116，
故所求双曲线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2
＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.
求△F 1PF 2的面积．
解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，
由余弦定理得：
F 1F 22＝PF 21＋PF 2
2－2PF 1·
PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.
∴S △F 1PF 2＝1
2PF 1·PF 2·sin 120°
＝12×43×32＝3
3
.
8. 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．
解： 以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立
平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R
，sin C ＝c
2R
(R 为△ABC 外接圆的半径)．
∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c
2.
从而有|CA |－|CB |＝1
2
|AB |＝2 2<|AB |.
由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.
∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 2
6＝1(x >2)．。