2020年高中必修一数学上期中模拟试卷及答案(1)

2020年高中必修一数学上期中模拟试卷及答案(1)
一、选择题
1．f (x)＝－x 2
＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2．设奇函数()f x 在(0)+∞，
上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()
0f x f x x
--<的解
集为（ ）
A ．(10)(1)-⋃+∞，，
B ．(1)(01)-∞-⋃，
， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(1
0)(01)-⋃，， 3．设()(),0121,1
x x f x x x ⎧<<⎪=⎨
-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
5．函数()1
11
f x x =-
-的图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122
t -
≤≤ B ．22t -≤≤
C ．12t ≥
或1
2
t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =
7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，
1log a
b 的大小关系为（ ）
A ．
1log log b a b a
a b a b >>> B ．
1log log a b b a
b a b a >>> C ．
1log log b a b a
a a
b b >>> D ．
1log log a b b a
a b a b >>>
8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]
0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）
B ．（-1,0）
C ．（0,1）
D ．（1,2）
10．已知0.80.8
20.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
12．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围
是( ) A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞
二、填空题
13．已知()2
x a x a
f x ++-=
，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两
个不同的交点，则a 的取值范围是______________. 14．下列各式：
（1）1
22[(]-
-=　
（2）已知2log 13a
〈 ，则2
3
a 〉 . （3）函数2x
y =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；
（4）函数()f x 的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤； （5）函数2
ln()y x x =-+的递增区间为1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
正确的．．．
有________．（把你认为正确的序号全部写上）
15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设
{}
2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.
17．关于下列命题：
①若函数2x
y =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；
② 若函数1
y x =
的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩
⎭； ③若函数2
y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；
④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.
其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).
18．已知函数()()212
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m
的取值范围为______．
19．已知312a
b +=
a b =__________. 20．已知函数(12)(1)()4(1)
x
a x f x a
x x
⎧-<⎪
=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________
三、解答题
21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益
()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为1
8
万元，投资股票等风险型产品的收
益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 22．设函数()(0.a
f x x x x
=+
≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()1
22
62
x
x
x f <-+
+在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤
=
∈⎢⎥+⎣⎦
的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．
23．已知定义域为R 的函数()221
x x a
f x -+=+是奇函数．
()1求实数a 的值；
()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．
24．已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>
（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)
b x c
g x x a x +-=
<-，求函数()g x 的最大值 25．已知()42log ,[116]
f x x x =+∈，，函数()()()2
2
[]g x f x f x =+．
（1）求函数()g x 的定义域；
（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．
26．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()2
2f x x x =-.
(1)写出函数()y f x =的解析式；
(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.
2．D
解析：D 【解析】
由f (x )为奇函数可知，
()()
f x f x x
--＝
()2f x x
<0.
而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，
然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内
3．C
解析：C 【解析】
由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由
()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =
,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
4．A
解析：A 【解析】
由0.5
0.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，
所以a c b >>，故选A .
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 把函数1
y x
=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1
y x = 的图象向右平移一个单位得到11
y x =-的图象， 把1
1y x =
-的图象关于x 轴对称得到11
y x =--的图象， 把11y x =-
-的图象向上平移一个单位得到()1
11
f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】
本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]
1,1-最大值是
21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令
()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0
t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()
y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.
7．D
解析：D 【解析】
因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以
1
1a
>,1log 0a b <.
综上
1log log a b
b a
a b a b >>>；故选D. 8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
20207312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】
∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），
2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫
⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选C. 【点睛】
本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
9．B
解析：B 【解析】
试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=
15
3022
-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】
0.8000.70.71a <=<=Q ，
22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，
b a
c ∴<<，故选B. 【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
11．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；
7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，
故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
12．B
解析：B 【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
二、填空题
13．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决
解析：(0,1), 【解析】
(),,2
x x a x a x a
f x a x a ≥++-⎧=
=⎨<⎩
， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈
点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
14．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函
解析：（3） 【解析】 （1）(11
2
2
2
1222-
-
-⎛⎫
⎡⎤
-== ⎪⎢⎥⎣
⎦
⎝⎭
，所以错误；
（2）2log 1log 3a
a a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，02
3
a <<，综上，02
3
a <<
或1a >，所以错误； （3）函数2x
y =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关
于原点对称，正确；
（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；
（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以错误； 所以正确的有（3）。

15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---
【解析】
当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填
1x ---.
16．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与
解析：0 【解析】 【分析】
将{
}
2
()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】
分别画出ln y x =-,1y x =-,2
4y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象
如图所示,故最小值为0.
故答案为0 【点睛】
本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.
17．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则
故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主
解析：①②③ 【解析】 【分析】
通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】
对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则11
02
x <
<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即
2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.
【点睛】
本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.
18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没
解析：{|2m m >或2}3
m <- 【解析】 【分析】
分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】
解：∵函数()()212
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，
则函数2
(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.
当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.
故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得 2m >；
当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.
故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得2
3
m <-
.
综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3
m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3
m <-. 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.
19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力
解析：3 【解析】 【分析】
首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】
13212
2
3
3
33a b a b a
a b +-+====.
【点睛】
本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-
【解析】 【分析】 根据
()()1212
0f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得
a 的取值范围.
【详解】
由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函
数，所以1210124a a a a ->⎧⎪
<⎨⎪-≤+⎩
，解得10a -≤<.
故答案为：[)1,0-. 【点睛】
本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.
三、解答题
21．（1）()1,()0)8f x x g x x =
=≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】
（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；
（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为
20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】
（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，
1211
(1),(1)82f k g k ====，
()1
,()0)8f x x g x x ==≥；
（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，
则投资债券等稳健型产品为20x -万元，
1
(20)()(20)8y f x g x x =-+=-
21
2)3,0208
x =-+≤≤Q ，
2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】
本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.
22．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；
（2）由题意可得出22(2)162x x
a <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，
从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解； （3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容
易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)
+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤
，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】
()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，
且()()a
f x x f x x
-=-+
=--， ()f x ∴为奇函数；
()2若不等式()1
2262x x x
f <-+
+在[]0,2上恒成立， 即122622
x
x
x x a +
<-++在[]0,2上恒成立， 即2
2(2)162x x
a <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，2
2
3
112612()22
y t t t =-++=--+
， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；
()()123111x g x x x -=
=-+++是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦，
()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上，恒有2()()min max f x f x >，
0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭，
12313a a ⎛
⎫∴+>+ ⎪⎝
⎭，解得115a >，不满足0a <；
0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，
1()1,()3max min f x f x ∴==，1
213
⨯<，不满足题意；
0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)
+∞上单调递增，
1
3≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是增函数，
11()333min f x f a ⎛⎫
∴==+ ⎪⎝⎭
，()()11max f x f a ==+，
12313a a ⎛
⎫∴+>+ ⎪⎝
⎭，解得11159a <≤；
1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，
()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
，
()12133a a ∴+>+，解得5
13
a ≤<；
1
3)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，
在⎤⎦上单调递增，
()min f x f
∴==()113,1133f a f a ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
，
当1313a a +≥+，即113
a ≤<时，1
33a >+，
a <<
，113a ∴≤<，
当1313a a +
<+，即11
93
a <<时，1a >+，
解得77a -<<+11
93
a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()a
f x x x
=+
的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．
23．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；
（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】
()1根据题意，函数()221
x x a
f x -+=+是定义域为R 奇函数，
则()0020021
a
f -+==+，解可得1a =，
当1a =时，()()12121212
x x
x x
f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；
()2由()1的结论，()121
21221
x x x f x -==-++，在R 上为减函数；
证明：设12x x <，
则()()(
)
(
)(
)
22
121
21222112221212121
x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫
-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则(
)21220x x
->，(
)1210x
+>，()
2210x
+>， 则()()120f x f x ->， 则函数()f x 在R 上为减函数． 【点睛】
本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =. 24．（1）{}
13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1
(,)(1,)2
-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】 【分析】
（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a c
a
f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩
求解即可；
（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a b
a c
a ⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为
2210x x -->，再解此不等式即可；
（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4
(1)(
)21x x ⎡⎤--++⎢⎥
-⎣
⎦
，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解. 【详解】
（1）由题意可得()4
32421
b a
c a
f a b c ⎧-=⎪⎪
⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩
，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()2
43f x x x ∴=-+，
解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}
13x x ≤≤；
（2）（ⅰ）由题意可知012a b a
c
a
⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c b
x x a a ++<，
即2210x x -++<，得2210x x -->，解得2
1
x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞.
（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=23
1x x +=-
2(1)2(1)4
1
x x x -+-+=
-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ , 因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x
-+≥-，当且仅当4
11x x -=-时即1x =-时取
等号 , 所以4(1)(
)41x x ⎡
⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡
⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦
所以当1x =-时，()max 2g x =- . 【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题.
25．（1）[1]4，
；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】 【分析】
（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2
116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩
，解不等式可求
（2）由已知可求()()()2
2
[]g x f x f x +＝
，结合二次函数的性质可求函数g x （
）的最值及相应的x ． 【详解】
解：（1）()42log [116]
f x x x =+∈Q ，，，()()()2
2
[]g x f x f x +＝．
由题意可得，2
116
116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩
， 解可得，14x ≤≤
即函数()g x 的定义域[1]4，
； （2）()42log ,[116]
f x x x =+∈Q ，， ()()()
()2
22224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++
设4log t x =，则[01]t ∈，
， 而()()2
26633g t t t t =++=+-在[0]1，
单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13． 【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．
26．(1) ()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1-
【解析】 【分析】
（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；
（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．
【详解】
解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，
()f x Q 是奇函数，
()()f x f x ∴=--=-()()2
222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦
()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.
(2)当[)0,x ∈+∞时，()()2
2211f x x x =-=--，最小值为1-；
当(),0x ∈-∞，()()2
2211f x x x x =--=-+，最大值为1.
据此可作出函数的图象，如图所示，
根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解， 则a 的取值范围是()1,1-. 【点睛】
本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．。