北京市101中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)

状元考前提醒
拿到试卷：熟悉试卷
刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略
答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平
考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功
在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分
考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究
发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！
北京101中学2018－2019学年下学期高一年级期中考试
数学试卷
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.函数sin 3cos3y x x =+的最小正周期是（ ） A. 6π B. 2π
C.
23
π
D.
3
π 【答案】C 【解析】 【分析】
逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.
【
详解】sin 3cos32(
3))224
y x x y x x x π=+⇒=
+=+, 223
T π
π
ω
=
=
，故本题选C. 【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.
2.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A. 72
B. 60
C. 48
D. 36
【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可知：由51340a a +=，可得9240a =，所以可求出920a =，再次利用此性质可以化简8910a a a ++为93a ，最后可求出8910a a a ++的值.
【详解】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=⇒=⇒=，
89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B.
【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.
3.在ABC ∆中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC ∆一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
【答案】B 【解析】
试题分析：利用正余弦定理将sinC ＝2sin （B ＋C ）cosB 转化为222
22a c b c a a b ac
+-=⨯∴=，
三角形为等腰三角形 考点：正余弦定理
4.00sin15cos15-的值等于（ ）
A.
2
B. -
C. 2
-
D.
2
【答案】C 【解析】 【分析】
因为000154530=-，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出00sin15cos15-的值.
【详解】0
sin(4530)c sin15cos os(43)5501=----，
00000000sin 45cos30cos 45sin 30(cos 45cos3sin15co 0sin s1545sin 30)
︒︒⇒=--+-，
001122sin15cos 221522222
⇒=
⨯---⨯=-
-，故本题选C. 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：
00sin15cos15==-，
00sin15cos12
5⇒==-
-.
5.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数2
()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为
（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
【答案】A 【解析】 【分析】
由,,a b c 依次成等比数列，可得2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，这样就可以判断出函数2
()f x ax bx c =++的图象与x 轴
的交点的个数.
【详解】因为,,a b c 依次成等比数列，所以2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程
20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，因此函数2
()f x ax bx c =++的图
象与x 轴的交点的个数为零个，故本题选A.
【点睛】本题考查了等比中项的概念、一元二次方程根的判别式与相应二次函数与x 轴的交点个数的关系.
6.在ABC ∆中，若45,B b c ===o A =（ ） A. 15o
B. 75o
C. 75o 或105o
D. 15o 或
75o
【答案】D 【解析】
分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A.
详解：因为sin sin b B c C =
，所以
π
sin sin 2c B C b === 所以π2π
,33C = 因此5ππ,1212
A =
， 选D.
点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
7.在ABC ∆
中，已知sin :sin :sin 1:1:A B C =12
ABC S ∆=
，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
的值是（ ）
A. 2
C. 2-
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
在ABC ∆中，根据正弦定理，
可以把sin :sin :sin A B C =可以进一步判断三角形的形状，利用1
2ABC S ∆=和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
的值.
【详解】在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对边,,a b c ，根据正弦定理，
可知
sin sin sin a b c
A B C
==,
已知sin :sin :sin 1:1:A B C =
::a b c =然ABC ∆
是等腰直角三角形，即,a b c ==，1
2
ABC S ∆=
11122b b b ⇒⋅=⇒=，因此
有1,a b c ===
cos()cos()cos()2424
AB BC BC CA CA AB cb ab bc πππ
πππ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
故本题选C.
【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量
积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.
8.数列{}n a 满足n a =
123...n
n ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为（ ）
A.
2
n
n + B.
22
n
n + C.
1
n n + D.
21
n
n + 【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式，化简数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求出数列
11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和. 【详解】(1)123...12,2
n n n n n n n a ++++++===114
(1)(2)
n n a a n n +=++，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为
11114()233445(1)(2)S n n =+++⨯⨯⨯++L , 111111111124()4()23344512222
n
S n n n n ⇒=-+-+-+++-=-=++++L ，故本题选B.
【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，利用裂项相消法求数列的前n 项和.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==，则n a =_________. 【答案】3n －1
【解析】
因为在等比数列{}n a 中，1254
133,81,{81
a q a a a q ===∴=，解得1
11,3,3n n a q a -==∴= ，故
答案为13n - .
10.已知1
sin cos 5
αα-=
，则sin 2α=____________．
【答案】
2425
【解析】
因为1sin cos 5αα-=
，所以22
1sin cos 2sin cos 25αααα+-=，即11sin225
α-=，则24
sin225
α=
.
11.在ABC ∆中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B = _________. 【答案】
13
【解析】 【分析】
运用正弦定理实现边角转化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式，化简cos (3)cos b C a c B =-，最后求出cos B 的值. 【详解】根据正弦定理，可知
sin sin sin a b c
A B C
==,由cos (3)cos b C a c B =-，可得 sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B ⋅=⋅-⋅sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B
⇒⋅+⋅=⋅，
sin()3sin cos B C A B ⇒+=⋅，sin()3sin cos sin 3sin cos A A B A A B π⇒-=⋅⇒=⋅，
(0,)sin 0A A π∈∴≠Q ,所以1
cos .3
B =
【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式，考查了公式恒等变换能力.
12.在数列{}n a 中，111,21n n a a a n +=-=+，则数列通项n a = ________. 【答案】2n 【解析】 【分析】
根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前n 项和公式，可以求出数列{}n a 的通项公式.
【详解】当2n ≥时，
1122332211()()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+-+L ，
2(211)
(21)(23)(25)5312
n n n a n n n n -+⇒=-+-+-++++=
=L ，当11,n a =也适
用，所以2
n a n =.
【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.
13.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P （单位圆与x 轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角02παα⎛⎫
<< ⎪⎝
⎭
到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动
3π
到达点2P ，若点2P 的横坐标为45
-，则cos α的值等于_________.
334
- 【解析】 【分析】
由三角函数的定义可以求出2P ，判断点2P 的位置，由已知点2P 的横坐标为4
5
-，利用同角的三角函数关系，可以求出点2P 的纵坐标，可以得到4cos()35
π
α+
=-， 3
sin()35
πα+=，再利用二角差的余弦公式求出cos α的值.
【详解】由三角函数的定义可知：点2P 的坐标为(cos(),sin())33ππαα+
+，因为02
π
α<<，
所以5336πππ
α<+<，所以点2P 在第二象限，已知点2P 的横坐标为45
-，即
4cos()35πα+=-
，所以3
sin()35
πα+==，因此有
413cos[()]cos()cos sin()sin 333333525os c ππππππαααα+-=+++=-⨯+=
=.
【点睛】本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.
14.设等差数列{}n a 满足
222222444848
57sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值
范围是________. 【答案】9,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已
知等式
222222444848
57sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+， 化简为sin(4)1d -=，根据()1,0d ∈-，可以求出d 的值，利用等差数列前n 项和公式和二次函数的性质，得到对称轴所在范围，然后求出首项1a 的取值范围.
【详解】222222444848
57sin cos cos cos sin sin sin()a a a a a a a a -+-+
2222484857sin (1sin )cos (1cos )sin()a a a a a a ---=+
2222484857sin cos cos sin sin()
a a a a a a ⋅-⋅=+
4848484857(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )
sin()
a a a a a a a a a a ⋅-⋅⋅⋅+⋅=
+
484857sin()sin()
sin()
a a a a a a -⋅+=
+,数列{}n a 是等差数列，所以4857a a a a +=+，
484a a d -=-，所以有sin(4)1d -=，而()1,0d ∈-，所以4(0,4)d -∈，因此42
8
d d π
π
-=
⇒=-
，
2111(1)(1)2281616n n n n n n S na d na a n πππ--⎛
⎫=+=-⨯=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为：
1162a n π
π
+=
，由题意可知：当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值， 所以1168.59.52a ππ+<
<，解得198a ππ<<，因此首项1a 的取值范围是9,8ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前
n 项和公式，以及前n 项和n S 取得最大值问题，考查了数学运算能力.
三、解答题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.已知12cos θ13=
，()θπ,2π∈，求πsin θ6⎛
⎫- ⎪⎝
⎭以及πtan θ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．
【答案】7
17
【解析】 【分析】
根据同角三角函数，求出sin θ，tan θ；再利用两角和差公式求解. 【详解】12cos 013θ=
>Q ，(),2θππ∈ 3,22πθπ⎛⎫
∴∈
⎪⎝⎭
5sin 13θ∴==-
，sin 5
tan cos 12
θθθ=
=-
5121sin sin cos cos sin 66613132πππθθθ⎛
⎫⎛⎫∴-=-=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5
tan tan
1
7412tan 54171tan tan 11
412π
θπθπθ+-
+⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭---⨯ ⎪⎝⎭
【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数
值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.
16.已知等差数列{}n a 满足12 23n n a a n +-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n n a b +是首项为l ，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）221n n --. 【解析】
分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由 1223n n a a n +-=+ ，令 12n =、
可得11+2537.
a d a d =⎧⎨+=⎩，解得112.a d =⎧⎨=⎩，从而可得结果；（Ⅱ）由数列{}n n a
b +是首项为1，公
比为2的等比数列，可得1
2n n n a b -+=，结合（1）可得()1
2
21n n b n -=--，利用等差数
列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列{}n b 的前n 项和. 详解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1223n n a a n +-=+，
所以2132
2527.a a a a -=⎧⎨-=⎩
所以11+25
37.
a d a d =⎧⎨
+=⎩
所以112.a d =⎧⎨=⎩
所以()()11211,2,3,n a a n d n n =+-=-=L
.
（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，
所以1
2n n n a b -+=
因为21n a n =-， 所以()1
2
21n n b n -=--.
设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则(
)()1
1242
13521n n S n -⎡⎤=++++-++++-⎣⎦L L
()12112122n n n +--=-
- 221n n =--
所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --
点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积是30,12
cos 13
A =
. （1）求AB AC ⋅u u u r u u u r
；
（2）若1c b -=，求a 的值. 【答案】（1）144；（2）5. 【解析】 【分析】
（1）由同角的三角函数关系，由12
cos 13
A =
，可以求出sin A 的值，再由面积公式可以求出bc 的值，最后利用平面向量数量积的公式求出AB AC ⋅u u u r u u u r
的值；
（2）由（1）可知bc 的值，再结合已知1c b -=，可以求出,b c 的值，由余弦定理可以求出
a 的值.
【详解】（1）5
(0,)sin 13
A A π∈∴==
Q ，又因为ABC ∆的面积是30，所以 1sin 301562bc A bc ⋅=⇒=，因此12
cos 156144;13
AB AC cb A ⋅=⋅=⨯=u u u r u u u r （2）由（1）可知156bc =，与1c b -=联立，组成方程组：1561bc c b =⎧⎨-=⎩，解得1312c b =⎧⎨=⎩
或
12
13c b =-⎧⎨
=-⎩
，不符合题意舍去，
由余弦定理可知：5a ===. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求a ，可以不求出,b c 的值也可以，计算如下：
5.a ====
18.在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；
（2）求AB 边上中线CD 的长.
【答案】（1）（2【解析】 【分析】
（1）利用同角的三角函数关系，可以求出sin C 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出sin A ，最后利用正弦定理求出BC 长；
（2）利用余弦定理可以求出AB 的长，进而可以求出BD 的长，然后在BCD ∆中，再利用余弦定理求出AB 边上中线CD 的长.
【详解】（1）(0,)sin 5
C C π∈∴==
Q ，
sin sin()sin cos cos sin 10
A B C B C B C π=--=⋅+⋅=
，由正弦定理可知中： sin
sin sin sin BC AC AC A
BC A B B
⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：
2AB ===，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD ∆中，由余弦定理可知：
CD===
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.
19.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{}n a的前n项和n m
S a
=，则称{}n a 是“回归数列”.
（1）①前n项和为2n
n
S=的数列{}n a是否是“回归数列”?并请说明理由；
②通项公式为2
n
b n
=的数列{}n b是否是“回归数列”?并请说明理由；
（2）设{}n a是等差数列，首项11
a=，公差0
d<，若{}n a是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a，总存在两个“回归数列”{}n b和{}n c，使得
()
n n n
a b c n N*
=+∈成立，请给出你的结论，并说明理由.
【答案】（1）①是；②是；（2）1
-；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）①利用公式1
1
(2,)
(1)
n n
n
S S n n N
a
S n
*
-
⎧-≥∈
=⎨
=
⎩
和2n
n
S=，求出数列{}n a的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；
②求出数列{}n b的前n项和，按照回归数列的定义进行判断；
（2）求出{}n a的前n项和，根据{}n a是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出d的值；
（3）等差数列{}n a的公差为d，构造数列111
(1),(1)()
n n
b a n a
c n a d
=--=-+，可证明
{}
n
b、{}n c是等差数列，再利用等差数列前n项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.
【详解】（1）①当2,
n n*
≥∈N时，11
1
222
n n n
n n n
a S S--
-
=-=-=，
当1
n=时，
11
2
a S
==，当2,
n n*
≥∈N时，
1
n n
S a
+
=，1
m n
∃=+，所以数列{}n a是“回
归数列”；
②因为2n b n =，所以前n 项和2n S n n =+，根据题意22n n m +=， 因为2
(1)n n n n +=+一定是偶数，所以存在(1)
2
n n m +=，使得n m S a =， 所以数列{n b }是
“回归数列”； （2）设{}n a 是等差数列为1(1)(1)
22
n n n n n S na d n d --=+
=+，由题意可知：对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，即(1)
1(1)2
n n n d m d -+
=+-，取2n =，得1(1)d m d +=-，解得1
2m d
=+，公差0d <，所以2m ∴<，又
*,1,1m N m d ∈∴=∴=-；
（3）设等差数列n a =1(1)a n d +-，
总存在两个回归数列111(1),(1)()n n b a n a c n a d =--=-+，显然{}n b 和{}n c 是等差数列，使得(
)n n n a b c n N
*
=+∈，
证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=， 数列{n b }前n 项和11(1)
2
n n n B ma a -=-
，1,1;2,1n m n m ==== 3n ≥时，(3)22n n -+
为正整数，当(3)22
n n
m -=+时，m n b B =， 所以存在正整数(3)22n n
m -=+，使得m n b B =，所以{n b }是“回归数列”，
数列{n c }前n 项和n C =
1(1)()2n n a d -+，存在正整数(1)
12
n n m -=+，使得n m C c =，所以{n c }是“回归数列”，所以结论成立.
【点睛】本题考查了公式11(2,)
(1)
n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，等差数列的前n 项和、通项公式，
考查了推理能力、数学运算能力.。