中考动点问题题型方法归纳

图（3）
B
图（1）
B
图（2）
动点问题题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点
1、直线
3
64
y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线
段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48
5
S
=
时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o ． （1）求⊙O 的直径；
（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；
（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t
s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．
提示：第（3）问按直角位置分类讨论
3、如图，已知抛物线
33)1(2+-=x a y （0≠a ）经过
点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过
O 作射
线OM AD ∥．过顶点D 平行于x OM
于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，
四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
提示：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

二、 特殊四边形边上动点
O M B H A
C
x
y 图（1）
O M B H A
C
x
y 图（2）
P Q
A C
D
4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；
（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是秒； （3）求
y 与x 之间的函数关系式．
提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类；提醒-----高相等的两个三角形面积比等于底边
的比。

5、如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；
（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （0S
≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．
提示：第（2）问按点P 到拐点B 所用时间分段分类； 第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO 与∠ABM 互余， 画出点P 运动过程中，∠MPB=∠ABM 的两种情况， 求出t 值。

利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值.
6、如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C （0，2)．动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF 上AB ，交BC 于点
F ，连结DA 、DF ．设运动时间为t 秒． (1)求∠ABC 的度数； (2)当t 为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数关系式；
②若一抛物线y=x 2
+mx 经过动点E ，当S<23时，求m 的取值范围(写出答案即可)．
提示：发现特殊性，DE ∥OA
7、已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且
∠AOC=60°，点B 的坐标是(0,83)，点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动，同时，点Q 从点O 开始以每秒a （1≤a ≤3）个单位长度的速度沿射线OA 方向移动，设(08)t t <≤秒后，直线PQ 交OB
于点D.
（1）求∠AOB 的度数及线段OA 的长； （2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （3）当4
3,33
a OD ==
时，求t 的值及此时直线PQ 的解析式； B
A
C
D
P
O
Q
x
y
y O x
C
N
B
P
M A （4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与
OAB ∆不相似？请给出你的结论，并加以证明.
8、已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为
(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路
线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式；
（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的
2
7
？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
（4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由． 9、如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线214
10189
y x x =
--与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点,连结AC ．现有两动点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A
移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒) (1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0＜t ＜9
2
时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请
说明理由;
(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．
提示：第（3）问用相似比的代换，得PF=OA （定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.
三、 直线上动点
8、如图，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与
y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为
(30)A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．
（1）求实数a b c ，，的值；
（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
提示：第（2）问发现特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊图形四边形BNPM 为菱形；
第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△BNQ ，再判断 是否在对称轴上。

A
B
D
C
O P x y A B
D C O x y （此题备用）
9、）如图，已知直线
112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使|
|AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ，②A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ，③E 为直角顶点时，作法同②；
第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；
(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；
(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．
提示：第（4）问按点P 分别在AB 、BC 、CD 边上分类讨论；求t 值时，灵活运用
等腰三角形“三线合一”。

11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为
()6,0A -，()6,0B ，(0,43C ，延长AC 到点D,使CD=1
2
AC ,过点
D 作D
E ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个
四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；
第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.最短路线问题
12、已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，
且满足
AB AD
PC PQ =（如图1所示）．（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；
A
D P
C
B Q
图1
D
A
P
C
B
（Q ） 图2
图3
C
A
D P B Q
P
（2）在图8中，联结AP ．当3
2AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC
S y S =△△，其中APQ S △表示△
APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．
提示：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足
条件的变量的取值范围。

当PC ⊥BD 时，点Q 、B 重合，x 获得最小值；当P 与D 重合时，x 获得最大值。

第（3）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或
者证∠BQP ＝∠BCP ，得B 、Q 、C 、P 四点共圆也可求解。

13、如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，P 是边AB （含端点）上的动点．过P 作BC 的垂线PR ，R 为垂足，∠PRB 的
平分线与AB 相交于点S ，在线段RS 上存在一点
T ，
若以线段PT 为一边作正方形PTEF ，其顶点E ，F 恰好分别在边BC ，AC 上．
（1）△ABC 与△SBR 是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系；
（3）设边AB ＝1，当P 在边AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值．
提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与R 重合时，PA=TS 为最大；当P 与A 重合时，PA 最小。

此问与上题中求取值范围类似。

14、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，AB =5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t =2时，AP =，点Q 到AC 的距离是；
（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C?时，请直接．．
写出t 的值． 提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；
（４）按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形， ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t 时， ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．
15、已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
提示：第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；
(第13题)
T
P
S
R E
A
B
C
F
第（3）问，四边形ABEF 为平行四边形时，E 、F 两点纵坐标相等，且AB=EF ，对第（2）问中两种情形分别讨论。

四、 抛物线上动点
16、如图①，已知抛物线32
++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

17、正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于
E BC ，交x 轴负半轴于
F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，若
3
2
FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；
（3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在，请给予严格
证明，若不存在，请说明理由．
注意：第（2）问，发现并利用好NM ∥FA 且NM ＝FA;
第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。

需分类讨论，先画出合适的图形，再证明。