≤黄金分割≥教学案例1

≤黄金分割≥教学设计
郑少蓉
一、教材分析：
《黄金分割》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）八年级下册。

本章节立足学生已有的现实情境和感观经验，如：建筑、艺术、对人类的影响上的实例来了解黄金分割，让学生进一步体会其中的文化价值和丰富的内涵，有意识地培养学生积极的情感和态度，促进学生概括能力和审美意识的发展；同时在应用中让学生进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，并在实际操作、思考、交流等过程中，增强学生的时间意识，发展学生探究和综合应用知识的能力。

二、设计思路：
在数学课中，教师自身角色的转变，努力发挥“辅”和“导”的功能，科学、能动地组织学生进行课前准备，课堂交流，常常能起到出乎意料的作用。

课前布置了预习作业，让学生去查录有关黄金分割的资料，在课上进行交流发言。

三、课时安排：2课时
四、教学目标;
a)知识储备点：结合现实情境了解黄金分割；在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关
内容。

b)能力培养点：在实际操作、思考、交流等过程中，增强学生的时间意识，发展学生探究和综合
应用知识的能力。

c)情感体验点：通过黄金分割的学习，让学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发
展的作用；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，让学生体会其中的应用价值。

五、学法引导：
通过具体的实例，让学生在丰富的实际情境中应用线段的比的知识学习黄金分割。

六、学具准备：
黄金分割实例图、刻度尺、圆规等。

七、教学流程：
（一）情境导入：
中世纪的数学家开普勒（1571—1630）对黄金分割作了很高的评价。

他说：几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。

下面我们先请一位同学讲述一下，什么是黄金分割？——在已知线段上求作一个点，使该点所分线段的其中一部分是全线段与另一部分的比例中项，这就是黄金分割问题。

如下图
黄金分割在数学上是把一条线段分成两部分，其中较长的线段是较短的线段和整个线段的比例中项。

那么黄金分割在生活中有什么作用呢？
课前布置了预习作业，让学生去查录有关黄金分割的资料，在课上进行充分的交流发言。

(给学生留10分钟时间交流，可用课件形象说明)
以下是我查到的有关黄金分割的资料，如学生在交流时不够全面，就及时给与补充。

“黄金分割”的比值为0.618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数。

日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素。

在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值。

一天合理的生活作息也应该符合黄金分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道。

掌握与运用好黄金分割，可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量。

以上介绍了黄金分割在饮食、生活作息中的运用，相信对于同学们有许多帮助。

20世纪中，法国建筑师里科布西埃发现黄金比具有数列的性质。

他将其与人体尺寸相结合，提出黄金基准尺方案，并视之为现代建筑美的尺度。

法国还产生了冠名为黄金分割画派的立体主义画家集团，专注于形体的比例。

宇宙万物，凡是符合黄金分割的，总是最美的形体。

例如邮票、照片、课本、奖状、国旗、小提琴......又如：以牛马狮虎的前肢为界作一垂直虚线，将躯体分为两部分，其水平长度之比恰符合黄金分割；再如：有经验的报幕员往往站在台侧的三分之一强些的地方，观众看上去感到非常得体，整个舞台那么祥和，因为是站在线段上的最佳点──黄金分割点。

体型的标准尺度，以古希腊的艺术珍品“金星女神”模特儿，具体标准是以肚脐眼为界，向上到头顶的长度是整个身长的0.382倍；向下到脚心的长度是整个身长的0.618倍。

换句话说：把身长按黄金分割而得的数据即是。

身材不理想者可辅之以体育锻炼作弥补。

上身略长者，适度跑步、跳高、跳远、游泳；反之，举重、器械操。

服装也能补拙，前者的上装可按常规做得略短；后者的服装可按常规做得略长。

人体黄金分割因素包括4个方面，即18个“黄金点”，如脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等；15个“黄金矩形”，如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等；6个“黄金指数”，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等；3个“黄金三角”，如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等。

除此之外，近年国内学者陆续发现有关的“黄金分割”数据，如前牙的长宽比、眉间距与内眦间距之比等，均接近“黄金分割”的比例关系。

专家们认为，这些数据的陆续发现不仅表现人体是世界上最美的物体，而且为美容医学的发展，为临床进行人体美和容貌美的创造和修复提供了科学的依据。

古希腊人以为，美是神的语言。

他们找到了一条数学证据，宣称黄金分割是上帝的尺寸。

几何学天才欧几里德更进一步：他发现大自然美丽的奥妙在于巧妙和谐的数学比例大多接近1比0.618。

伦敦西敏寺、巴黎圣母院等建筑物；近代好莱坞演员费雯丽、奥黛丽·赫本等美人儿，都在冥冥中遵从黄金分割这一美的规律。

在夏季，人们格外留恋春天的感觉，这种体验恐伯每个人都有，也不足为奇。

可是你知道吗?人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处：人的正常体温37摄氏度与0．618的乘积为22．8摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态。

我国古代的九宫格。

九宫格的源头可是我们中国人发明的一种构图模式，但巧的是它与黄金分割有着惊人的理论联系！人们把长方形的上下左右用黄金分割来做出4条线，我们惊奇的发现这就是我国古人所说的九宫格。

人们发现在九宫格的4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，在国外的摄影
理论里把这4个点称为“趣味中心”。

顾名思义，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”。

下面谈谈黄金分割在生活中的作用：
1、黄金分割（0.618）在养生保健中有重要作用。

从辩证观点看，运动和休息、动和静也是一个0.618的比例关系，大致为四分动六分静，饮食、吃饭六、七成饱，摄入的饮食以六分粗粮，四分精食为适宜；
2、环境中的作用，什么温度最适宜人类的身心健康；
3、人体中的美，事物中的形体美、建筑物的美，一般都符合黄金分割；
4、无论是国内、国外，古代还是现在，人们都发现生活中美的东西很多都符合黄金分割。

最后通过多媒体图片展示总结：
身材修长的模特儿要穿高跟鞋、翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖都是为了追求黄金身材；达芬奇自画像、断臂女神维纳斯雕塑像及名画蒙娜丽莎之所以名流千古，均是因为它们在脸部及身材比例上符合黄金分割比例而带来的美；我们的国旗的宽与长的比符合黄金比，包括上面的五角星的制作也是依据黄金比来完成的（图示）；打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。

特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬线上。

这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方：奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等、衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度线上；
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,普通树叶的宽与长之比也接近0.618；植物叶子，千姿百态。

你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。

我们知道，一周角360°，360°×0.382≈137.5°，瞧，叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618、；在一些建筑上也体现了黄金分割：古代的有古埃及胡夫金字塔（底边长和高的比是黄金比）和古希腊巴特农神庙（高和宽的比是黄金比）、现代的有上海东方明珠电视塔的旋转餐厅的位置等等。

想一想：上海东方明珠电视塔是亚洲第一高塔，它的旋转餐厅装在什么位置时才美观大方呢？——取在此处，意思是说分割的比例象黄金一样珍贵。

以上在我们全体师生的共同努力之下，发现了如此之多的黄金分割的奥秘，并了解到丰富的相关信息。

今天可以说是让我们在座的每一位都大饱眼福啊,我们真正意义上体会到了数学带给我们的美。

（二）解读探究：
做一做：拿出准备好的五角星，度量相隔两顶点组成的线段中，各短线段之间的关系：度量线段AC 、BC 的长度，然后计算
AB AC 、AC BC ，有何发现？ AB AC =AC BC
，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB AB 的比叫黄金比，其中AB AC =21
5-≈0.618。

『通过观察计算，进一步理解黄金分割的意义』 黄金分割点的两种做法：
1.按课本第98页作法作出黄金分割点。

2.接着提问：还有其他得到黄金分割点的方法吗？请看随堂练习，请同学们以小组为单位展开讨论，说说这种做法的道理，然后派代表陈述。

（留充分的时间让学生分组讨论）
『通过作图学习，培养学生的理解与动手能力，使学生体验动手、动脑筋解决实际问题的乐趣』
（三）学习小结：（先由学生来分析，在由老师来补充）
1.内容总结——（什么叫黄金分割、黄金比为
21
5-
，黄金分割点的作法，黄金分割在生活中的应用……）
2.方法归纳——（黄金分割点很奇妙，要学好它；在相关建筑、模型等设计中，要使物体的
结构合理、美观，要尽可能的考虑使用黄金分割……）
（四）目标检测：
1.已知点M为线段AB的黄金分割点，且AB=45，求较短线段BM的长。

（10
5
6-）
2.报幕员在台上时，若站在黄金分割点处时，会显得活泼而生动。

已知舞台长10米，那么报
幕员要至少走多远报幕？（5
5
15-）
（五）延伸拓展，链接生活：
——通过寻找黄金分割点，设计一个五角星的图案。

（六）实践搜索：
——请大家搜集黄金分割的相关资料（如华罗庚优选法），或刚才在课堂交流后了解到的，写一篇短文《黄金分割的应用》。

要求资料真实、数据明确。

（七）巩固练习
——课本4.3——1.2及“试一试”
教学反思:
以上是我在数学课堂教学中的一个片断，这堂课给了我许多意外的惊喜。

数学来源于生活实际，又服务于生活实际。

我们要学会认识数学中的美和用数学美去装点、美化生活。

通过课堂可以培养学生的创新精神并活跃思维，同时也使我意识到了如下几点：
(1)教的转变：教师可以从知识的传授者转变为学生学习的引导者、组织者、合作者和共同研究者，只有充分培养学生自主学习的能力，才能使课堂焕发出生命力。

(2)学的转变：在课堂里，学生虽是主角，但必须作好充分的准备，应该从被动的接受知识转变成主动的探索、寻找知识。

（仍有个别学生准备不够充分，处于被动接受状态）
(3)教学目标的转变：一堂数学课的教学目标不仅仅是知识的落实，更重要的是让学生的思维能力得到提升，能自主解决问题，发现问题，认识到数学是生活中的数学。

总之，这一堂“黄金分割”的数学课，给了我许多启示和思考，也为我以后的教育教学提出了更高的要求。

教学评析：
这节课立意必须要新颖，才能充分调动起学生学习的积极性。

内容充实、较好的落实了以学生为主体的教学目的和要求，并使师生在共同交流中得到许多意外的收获与认识。

在这节课中，学生锻炼了思维、提高了对数学在现实中作用的认识，培养了学生在学习中交流、合作、互相帮助的意识。

1.突出了学生主体地位、引导学生主动探索问题、解决问题。

黄金分割起源于著名的几何问题：把一线段分成两部分，使较长线段是较短线段和整个线段的比例中项。

此分割点就称为黄金分割点，位置在整个线段的0.618处。

这个问题在数学生的表述和处理看似简单，但它包含着极为丰富的实际背景，与现实生活、工农业生产、科学实践及自然界许多事物的内在关系有着密切的联系。

0.618体现自然中最美的、最和谐、最经济、最优化、最科学的数量关系。

如果
仅就寻找分割点，学生利用线段的比和方程知识就可解决，这样以来很难看出分割“黄金”意义。

本节课教师引导学生利用课余时间查找资料，广泛接触黄金分割的实际问题，体悟其真实含义，充分调动学生的积极性，学生在查找、思考、交流中得到对问题的初步认识，通过课堂上学生的积极发言，教师及时的小结与点拨大家的讨论、交流等师生互动活动，使学生真正体会到学习的快乐与兴趣。

许多学生查找的内容丰富详实很有说服力，处乎教师意料，整个课堂气氛活跃，思维积极，面貌焕然一新，体现新的教学观念。

2.重视数学的应用意识和美学价值的培养。

加强数学的应用意识和实践能力是新课程教学目的的重要内容之一。

本节课通过自主探究学习，从学生们生动的发言中，大家感悟到了数学与现实的密切联系。

数学不仅仅是处理数字间的运算关系，它包含了事物许多方面的数量关系，是事物内在规律的体现，正如爱因斯坦所言：事物的真谛隐藏在数学之中。

现代科学离开数学将一事无成。

这节课教师及时利用学生发言内容，总结出黄金分割在养生、保健、饮食、起居、建筑外形、人体比例、生物形态等等方面的重要作用及其美学意义。

通过这节课学生进一步认识到数学来源于生活实际，服务于生活实际。

数学包含了许多美的内容，它不仅有严谨的内容与形式，亦有简洁与和谐的美。