北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟培优测试题(附答案详解)

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟培优测试题（附答案详解）
一、单选题
1．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AP ⊥EF 分别交BD 、EF 于O 、P 两点，M 、N 分别为BO 、DO 的中点，连接MP 、NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB ＝1，则四边形BMPE 的面积是（ ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．110 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：
①abc ＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b ＝0；⑤b 2＞4ac
其中正确的结论的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是（ ）
A ．﹣254＜m ＜3
B ．﹣254
＜m ＜2 C ．﹣2＜m ＜3 D ．﹣6＜m ＜﹣2
4．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．132 5．如图，Rt AOB ∆中，90OAB ∠=︒，6OA =，OA 在x 轴的正半轴，OB ，AB 分别与双曲线1k y x =()10k ≠，21k y x
=()20k ≠相交于点C 和点D ，且:1:2BC CO =，若//CD OA ，则点E 的横坐标为（ ）
A ．4
B ．3
C ．83
D ．26
6．如图抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A(-1，0)，顶点坐标(1，n)，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（不包含端点），则下列结论：①a+b=0；②213a -≤≤-；③若点(-2，y 1)，21,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(2，y 3)在此抛物线上，则y 1＜y 2＜y 3；④当1<x<3时，总有ax 2+bx+c>0；⑤关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．正确的是（ ）
A ．①②④⑤
B ．①②③④
C ．④⑤
D ．②③④⑤ 7．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AM 、BN 是⊙O 的两条切线，D 、C 分别在AM 、BN 上，DC 切⊙O 于点
E ，连接OD 、OC 、BE 、AE ，BE 与OC 相交于点P ，AE 与OD 相交于点Q ，已知AD=4，BC=9．以下结论：
①⊙O 的半径为②OD ∥BE ③PB=④tan ∠CEP=
其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，已知函数3y x =与k y x =的图像在第一象限交于点A （m ,y 1）,点B （m +1，y 2）在k y x
=的图像上，且点B 在以O 点为圆心，OA 为半径的⊙O 上,则k 的值为（ ）.
A ．34
B ．1
C ．32
D ．2
9．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a ），下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③9a-b+c=0；④若方程a （x+5）（x-1）=-1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则-5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论有（ ）个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且AC 为半圆的13
，设扇形AOC 、△COB、弓形BmC 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则下列结论正确的是（ ）．
A ．1S <2S <3S
B ．3S <2S <1S
C ．2S <3S <1S
D ．2S <1S < 3S
二、填空题 11．如图，△ABC 中∠BAC=60°，AB=2AC ．点P 在△ABC 内，且PA=
，PB=5，PC=2，
则∠APC 的度数为_____，△ABC 的面积为_____．
12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点F ，AC ⊥AB 于点A ，点E 在边CD
上，且满足DF•DB=DE•DC ，FE=FB ，BD 平分∠ABE ，若AB=6，CF=9，则OE 的长为_____．
13．如图，已知A （﹣1，0）、B （0，﹣2），点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点Q 的坐标为_____．
14．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AB AD =，12∠=∠，BE 与AD 的延长线交于E ，连接EC ．过A 作AF EC ⊥于F ，交BC 于G ．下列结论：
①AEB ACB ∠=∠；②BE CD =；③AGC S 2
AG EF ⋅=
△；④223∠=∠中，其中正确的有______（填序号）．
15．如图，菱形AD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =2，分别以AB 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为__________．
16．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c ，当﹣3＜x ＜﹣2时，y ＞0；当3＜x ＜4时，y ＜0．则a 与c 满足的关系式是_____．
17．如图，矩形ABOC 的顶点B 、C 分别在x 轴，y 轴上，顶点A 在第二象限，点B 的
坐标为（﹣2，0）．将线段OC 绕点O 逆时针旋转60°至线段OD ，若反比例函数y =k x
（k ≠0）
的图象经过A 、D 两点，则k 值为______．
18．已知直线y ＝kx （k ≠0）经过点（12，﹣5），将其向上平移m （m ＞0）个单位，平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点）．若点（﹣a 2﹣2，p ），（﹣a 2﹣1，q ）（其中a ，p ，q 是常数）在反比例函数y ＝725m x -的图象上，则p 与q 的大小关系是p _____q ．
19．如图，sin ∠C 35
=，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，且BC =5，则△BDE 周长的最小值为______．
20．如图，直线1l 经过点(3,3)A ，过点A 且垂直于1l 的直线与x 轴交于点,B 与直线2l 交于点,C 且30BOC ∠=︒，则BC 的长等于____________________．
三、解答题
21．已知，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半⊙O 的三等分点（如图1），
（1）求证：四边形OBCD 是菱形．
（2）直线PD 切⊙O 于D ，交直径BA 的延长线于P ，若切线长PD 的长为3，求菱形的面积.
22．（1）如图1，已知：在AOB 和COD △中，,OA OB OC OD ==，
90AOB COD ∠=∠=︒，C D 、分别在OA OB 、上，连接AD BC 、，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是
（2）如图2所示，已知：正方形,ABCD 将Rt EFG 斜边EG 的中点与点A 重合，直角顶点F 落在正方形的AB 边上，Rt EFG 的两直角边分别交AB AD 、边于P Q 、两
点(点P 与点F 重合)，求证：222EP GQ PQ +=；
（3）如图3，若将Rt EFG 绕着点A 逆时针旋转 9(0)0a a ︒<≤︒，两直角边分别交AB AD 、边于P Q 、两点，如图3所示：判断四条线段EP PF FQ QG 、、、之间是否
存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由．
23．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数(0)m y x x
=
>交于(2,4)A 、(,1)B a ，与x 轴、y 轴分别交于点,C D .
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求证：AD BC =.
24．如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1，4)，且经过点N(2，3)，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的解析式及点A 、B 、C 的坐标；
(2)若直线y=kx+t 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，探索并判断四边形CDAN 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；
(3)直线y=mx+2与抛物线交于T ，Q 两点．是否存在这样的实数m ，使以线段TQ 为直径的圆恰好过坐标原点，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．
25．现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．
26．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接BE，作CF⊥BE分别交BE于点G，AB于点F．
（1）如图1，若CF恰好平分∠BCA，求证：△CGE≌△CGB；
（2）如图2，若AE
AC
＝
1
5
，取BC的中点H，连接AH交BE于点P，求证：
①AH＝3AP；
②BH2＝BF•BA．
27．如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4，0)，连结OG．抛物线y＝ax（x﹣2）+1+3的顶点为P．
（1）直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴；
（2）连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a的值．
（3）如图②，若抛物线开口向上，点C，D分别为抛物线和线段AB上的动点，以CD
为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE（点C，D，E成逆时针顺序），连结GE．
①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值；
②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式．
28．已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
29．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是△ABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则
满足1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．
过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则
BE BD EC DM =，AD AF DM FC =（依据）， ∴BE AD EC DM ⋅＝BD AF DM FC
⋅， ∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=．
情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ． …
（1）情况①中的依据指： ；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :F A ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．
30．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的顶点是C （0，1），直线l ：y ＝－ax ＋3与这条抛物线交于P 、Q 两点，与x 轴、y 轴分别交于点M 和N ．
（1）设点P 到x 轴的距离为2，试求直线l 的函数关系式；
（2）若线段MP 与PN 的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线的性质得到EF ∥BD ，EF=12BD ，推出点P 在AC 上，得到PE=12
EF ，得到四边形BMPE 平行四边形，过M 作MF ⊥BC 于F ，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，
∴EF ∥BD ，EF=12
BD ， ∵四边形ABCD 是正方形，且AB=BC=1，
∴，
∵AP ⊥EF ，
∴AP ⊥BD ，
∴BO=OD ，
∴点P 在AC 上，
∴PE=12
EF ， ∴PE=BM ，
∴四边形BMPE 是平行四边形，
∴BO=12
BD ， ∵M 为BO 的中点，
∴BM=14， ∵E 为BC 的中点，
∴BE=12BC=12
， 过M 作MF ⊥BC 于F ，
∴MF=22
BM=14， ∴四边形BMPE 的面积=BE•MF=
18， 故选B ．
【点睛】
本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．D
【解析】
①由开口向下，可得a ＜0，又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得c ＞0，然后由对称轴在y 轴右侧，得到b 与a 异号，则可得b >0，abc<0，故①正确；
②当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0 （1），
当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0 （2），
（1）+（2）×2得：6a+3c ＜0，
即2a+c ＜0，
又∵a＜0，
∴a+（2a+c ）=3a+c ＜0，
故②错误；
③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x 轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x 轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确；
④根据对称轴为x=1，可得12b a
-=，所以2a+b=0，故④正确； ⑤由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2-4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故⑤正确；
综上可知，正确的有4个，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定． 3．D
【解析】
【分析】如图，解方程﹣x 2+x+6=0得A （﹣2，0），B （3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x ﹣3），即y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m 经过点A （﹣2，0）时m 的值和当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m 的值，从而得到当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围．
【详解】如图，当y=0时，﹣x 2+x+6=0，解得x 1=﹣2，x 2=3，则A （﹣2，0），B （3，0），
将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为
y=（x+2）（x ﹣3），
即y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y=﹣x+m 经过点A （﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程
x 2﹣x ﹣6=﹣x+m 有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为﹣6＜m ＜﹣2，
故选D ．
【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x 轴的交点等，把求二次函数
y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元
二次方程是解决此类问题常用的方法.
4．B
【解析】
【分析】
作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则
343CH AB ==，4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．
【详解】
解：作CH AB ⊥于H ，如图，
菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，
ABC ∆∴为等边三角形，
3432
CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，
1HP ∴=，
在Rt CHP ∆中，32(43)17CP =+=，
梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，
∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，
∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，
APQ CPQ ∴∠=∠，
而//CD AB ，
APQ CQP ∴∠=∠，
CQP CPQ ∴∠=∠，
7CQ CP ∴==.
故选：B ．
【点睛】
考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最小．
5．D
【解析】
【分析】
由OA 的长度以及点D 在双曲线21k y x
=()20k ≠相的图象上，即可得出点D 的坐标，根据CD ∥OA 以及BC ：CO ＝1：2，即可得出点B 的坐标，由点O 、B 的坐标即可求出直线OB 的解析式，再联立直线OB 以及双曲线21k y x =
()20k ≠的解析式成方程组，解方程组即可求出点E 的横坐标．
【详解】
解：∵OA ＝6，点D 在双曲线21k y x =
()20k ≠的图象上， ∴D （6，26
k ） ∵CD ∥OA ，BC ：CO ＝1：2，
∴BD ：BA ＝1：3，
∴AD ∶AB=2∶3
∴AB=
24
k ∴B （6，24k ）， ∵O （0，0）、B （6，
24
k ） ∴直线OB 的解析式为2124k y =x ． 联立直线OB 与双曲线曲线21k y x
=的解析式成方程组，
得：22
24k y x k y x
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：
x=±∵点E 在第一象限，
∴
x=
故选：D
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出直线OB 的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．
6．C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到0a <，再由抛物线的对称轴方程得到2b a =-，则0a b a +=->，
可对①进行判断；利用抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（不包含
端点），得到23c <<， 3c a =-可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线2y ax bx c =++的图像可对④进行判断；根据抛物线2
y ax bx c =++与直线1y n =-有两个交点可对⑤进行判断．
【详解】 解：抛物线开口向下，
0a ∴<， 而抛物线的对称轴为直线12b x a
=-=，即2b a =-， 20a b a a a ∴+=-=->，所以①不正确；
∵抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（不包含端点），
∴23c <<，
把1x =-，0y =带入2y ax bx c =++，
得0a b c -+=，
3c a ∴=-，
233a ∴<-<，
213
a ∴-<<-，所以②不正确； 抛物线的顶点坐标(1,)n ，与x 轴交于点A(-1，0)，点(-2，y 1)，21,2y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(2，y 3)在此抛物线上，
∴10y <，2c y n <<，3y c =
∴132y y y <<，所以③不正确；
抛物线的顶点坐标(1,)n ，与x 轴交于点A(-1，0)，
则抛物线与x 轴的 另一个交点为（3，0）
∴当1<x<3时，总有ax 2+bx+c>0，所以④正确；
抛物线的顶点坐标(1,)n ， ∴抛物线2y ax bx c =++与直线1y n =-有两个交点，
∴关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根，所以⑤正确；
综上所述，正确的有：④⑤
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ．
7．B
【解析】
试题分析：①连接OE ，则OE ⊥DC ，易证明四边形ABCD 是梯形，则其中位线长等于（4+9）
=，而梯形ABCD 的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边）大于直角边（或
运用垂线段最短判定），故可判断①错误；②先证明△AOD ≌△EOD ，得出
∠AOD=∠EOD=∠AOE ，再运用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半证明
∠AOD=∠ABE ，从而得出OD ∥BE ，故②正确；③由①知OB=6，根据勾股定理，OC===3；易证△OPB ∽△OBC ，则，所PB===，③正确；④易知∠CEP ＞∠ECP ，所以CP ＞PE ，故tan ∠CEP=错误．故答案选B ．
考点：圆的综合题．
8．A
【解析】
【分析】
由B 在y=k x 的图像上可知y 2=1k m +，由y=3x 与y=k x 图像交于A 点可知y1=3m=k m ，进而可得k=3m 2，根据点B 在以O 点为圆心，OA 为半径的⊙O 上可知OA=OB ，利用A 、B 的坐标求出OA 、OB 的长，列方程即可求出m 的值，进而求出k 的值即可.
【详解】
∵y=3x 与y=k x 图像交于A 点，点A （m ，y 1）， ∴y 1=3m=k m
， ∴k=3m 2， ∵B 在y=
k x 的图像上，点B （m+1，y 2） ∴y 2=1
k m +， ∵B 在以O 点为圆心，OA 为半径的⊙O 上，
∴OA=OB ，
∴m 2+(3m)2=(m+1)2+223()1
m m + 解得：m 1=12
，m 2=12-，m 3=14- ，
∵A 点在第一象限，
∴m=12
， ∴k=3m 2=
34. 故选A.
【点睛】
本题考查一次函数及反比例函数图像的性质，根据OA=OB 利用A 、B 坐标列出方程确定m 的值是解题关键.
9．B
【解析】
【分析】
根据开口方向及顶点坐标求出b=4a ，c=-5a ,可求得①②③，根据图像得平移和韦达定理即可判断④⑤．
【详解】
解：函数的顶点坐标为(-2，-9a ) 则22b a -=- ，2
494ac b a a
-=- 则b=4a ，c=-5a
函数开口向上，
a ＞0，
则b ＞0，c ＜0
则abc ＜0,①错误
把x=2代入二次函数表达式，则
42y a b c =++=7a ＞0，②错误
9y a b c =-+=0，③正确
a （x+5）（x-1）=-1展开后得
24510ax ax a +-+=
函数2
y ax bx c =++向上平移一个单位变成
21y ax bx c =+++=2451ax ax a +-+
其与x 轴的两个交点的横坐标1x 和2x 就是方程
24510ax ax a +-+=的两个解
而2
y ax bx c =++与x 轴的交点的坐标为(-5，0)，(1，0)
因为y=2451ax ax a +-+在2y ax bx c =++的上方，
所以-5＜1x ＜2x ＜1，④正确 21ax bx c ++= 化简为
21ax bx c ++=或21ax bx c ++=-
21ax bx c ++=的两解为1x 和2x
由韦达定理
1x +2x =b a
-=-4 21ax bx c ++=-的两个解设为3x 和4x
由韦达定理
3x +4x =b a
-=-4 故1x +2x +3x +4x =-8，⑤正确
故本题答案为B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标公式、平移及韦达定理等，要善于运用对称轴求各个系数间的关系及函数和方程间的转换．
10．D
【解析】
【详解】
试题解析：根据△AOC 的面积=△BOC 的面积，得S 2＜S 1，
再根据题意，知S 1占半圆面积的13
，
所以S 3大于半圆面积的
13． 故选D ．
11．120°
【解析】 【分析】首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ 与△ACP 相似比为2，继而可得△APQ 与△BPQ 是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC 的面积．
【详解】如图，作△ABQ ，使得：∠QAB=∠PAC ，∠ABQ=∠ACP ，
则△ABQ ∽△ACP ，
∵AB=2AC ，
∴△ABQ 与△ACP 相似比为2，
∴，BQ=2CP=4，
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵AQ ：AP=2：1，
∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，
∴=，
∴BP 2=25=BQ 2+PQ 2，
∴∠BQP=90°，
∴∠APC=∠AQB=90°+30°=120°；
作AM ⊥BQ 于M ，
由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，
∴∠AQM=60°，，AM=3，
∴AB 2=BM 2+AM 2=（2+32
∴S △ABC =12AB•ACsin60°=AB 2，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度较大，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾
股定理的逆定理的应用．
12．2
【解析】
分析：首先证明△BAF ∽△CAB ，推出AB 2=AF•AC ，设AF=x ，则有36=x （x+9），解得x=3，推出AF=3，BF=EF=2236+=35，BC=22612+=65，由△EOF ∽△COB ，推出EF BC =OF OB =OE OC =12
，设OF=a ，OB=2a ，在Rt △ABO 中，根据AB 2+AO 2=OB 2，可得36+（3+a ）2=4a 2，求出a 即可解决问题.
详解：如图：
∵DF•DB=DE•DC ，
∴DF DE =DC DB
， ∵∠EDF=∠BDC ，
∴△CDF ∽△BDE ，
∴∠2=∠5，
∵∠FOB=∠EOC ，
∴△BOF ∽△COE ，
∴OF OE =OB OC
，
∴OF
OB
=
OE
OC
，
∴△EOF∽△COB，
∴∠3=∠4，
∵FB=FE，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，∵∠BAF=∠CAB，
∴△BAF∽△CAB，
∴AB2=A F•AC，
设AF=x，则有36=x（x+9），解得x=3，
∴AF=3，
∵△EOF∽△COB，
∴EF
BC
=
OF
OB
=
OE
OC
=
1
2
，
设OF=a，OB=2a，
在Rt△ABO中，∵AB2+AO2=OB2，
∴36+（3+a）2=4a2，
解得a=5，
∴OF=5，OC=4，
∴OE=2．
故答案为2．
点睛：本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题的压轴题.
13．Q1（0，6），Q2（0，﹣6），Q3（0，2）
【解析】
【分析】
由点P在双曲线y＝4
x
上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，
4
x
），再分以AB为边和以
AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；【详解】
解：∴反比例函数的解析式为y＝4 x
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上
∴设Q（0，y），P（x，4
x
）
①当AB为边时：
如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则
1
2
x
-+
=，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，
6）；
如图2所示；若ABQP为平行四边形，则
1
22
x
-
=，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2
（0，﹣6）；
②如图3所示；当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ则
1
22
x -
=
解得x＝﹣1，此时P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故答案为：P1（1，4），P2（﹣1，﹣4），P3（﹣1，﹣4）
【点睛】
本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与平行四边形判定的结合等相关知识，难度较大．
14．①②③④
【解析】
【分析】
①由12∠=∠，利用角平分线的性质可得2CAE ∠=∠，可得A ，B ，C ，E 四点共圆，由圆周角定理可得结论；②证明ABE ADC ∆≅∆，利用全等三角形的性质可得结论；③由ABE ADC ∆≅∆，易得AC AE =，由等腰三角形的性质易得CF EF =，得AGC ∆的面积；④由AEC ∆为等腰三角形易得EAF CAF ∠=∠，可得结论．
【详解】 解：①AD 平分BAC ∠，
1EAC ∴∠=∠，
12∠=∠，
2EAC ∴∠=∠，
A ∴，
B ，
C ，E 四点共圆，
AEB ACB ∴∠=∠，
故此选项正确；
②在ABE ∆与ADC ∆中，
ACB AEB CAD DAB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABE ADC AAS ∴∆≅∆，
BE DC ∴=，
故此选项正确；
③ABE ADC ∆≅∆，
AE AC ∴=，
AF EC ⊥，
EF CF ∴=， 122
AGE AG EF S AG CF ∆==， 故此选项正确；
④EAC ∆为等腰三角形，
113222
EAF EAC ∴∠=∠=∠=∠， 223∴∠=∠，
故此选项正确；
∴正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质等，综合运用各性质定理是解答此题的关键．
153π 【解析】
【分析】
设BC 的中点为M ，CD 交半圆M 于点N ，连接OM ，MN ．易证∆BCD 是等边三角形，进而得∠OMN=60°，即可求出OMN S 扇形；再证四边形OMND 是菱形，连接ON ，MD ，求出OMND S 菱形，利用=2()OMND OMN S S S ⨯-阴影菱形扇形，即可求解．
【详解】
设BC 的中点为M ，CD 交半圆M 于点N ，连接OM ，MN ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD ⊥AC ，
∴两个半圆都经过点O ，
∵BD=BC=CD=2， ∴∆BCD 是等边三角形， ∴∠BCD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴∠OMN=60°，
∴26013606
OMN S ππ⨯⨯==扇形， ∵OD=OM=MN=CN=DN=1，
∴四边形OMND 是菱形，
连接ON ，MD ，则MD ⊥BC ，∆ OMN 是等边三角形，
∴MD=3CM=3，ON=1，
∴OMND S =菱形12MD ×ON=3， ∴3=2()2(
)363OMND OMN S S S ππ⨯-=⨯-=-阴影菱形扇形． 故答是：3－3
π
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和扇形的面积公式，添加辅助线，构造等边三角形和扇形，利用割补法求面积，是解题的关键．
16．c ＝﹣8a
【解析】
【分析】
先求出抛物线对称轴为直线x ＝1，利用抛物线的对称性得到x ＝﹣2和x ＝4对应的函数值相等，从而判断x ＝﹣2和x ＝4时，y ＝0，然后把（﹣2，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +c 中可得到a 、
c的关系．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，
而﹣3＜x＜﹣2时，y＞0；当3＜x＜4时，y＜0．
∴x＝﹣2和x＝4时，y＝0，
即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（4，0），
把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得4a+4a+c＝0，
即c＝﹣8a．
故答案为c＝﹣8a．
【点睛】
此题主要考查抛物线的对称性，正确理解函数图象是解题的关键.
17．
163 .
【解析】【分析】
由B（﹣2，0）代入y=k
x
，用含有k的代数式表示出AB、OC，得到线段OD的长，再根
据∠COD=60°，利用三角函数求出DE、OE，由此表示出点D的坐标，再将点D的坐标代
入y=k
x
中即可求k的值.
【详解】
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点B的坐标为（﹣2，0），
∴OB=2，
∴AB =﹣
2k ，∴OC =﹣2
k ， 由旋转性质知OD =OC =﹣2k ， ∵∠COD =60°，
∴∠DOE =30°，
∴DE =12OD =﹣14k ，OE =OD ·cos30°2k ）=，
即D ，﹣14k ）， ∵反比例函数y =
k x （k ≠0）的图象经过D 点，
∴k =）（﹣14k ）2，
解得：k =0（舍）或k =﹣
3，
故答案为：﹣
3
． 【点睛】 此题考查反比例函数的性质，求函数解析式时需要将图象上点的坐标代入求值，故此题求点D 的坐标是解题的关键.
18．＞
【解析】
【分析】
利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．最后根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】
∵直线y=kx(k ≠0)经过点(12,﹣5)
∴﹣5＝12k ，
∴k ＝﹣512
由y ＝﹣512x 平移m （m ＞0）个单位后得到的直线所对应的函数关系式为y ＝﹣512
x+m （m ＞0）， 设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如下图所示）
当x ＝0时，y ＝m ；当y ＝0时，x ＝125
m ， ∴A(
125
m,0)，B(0,m) 即OA ＝125m ，OB ＝m ； 在Rt △OAB 中，
AB ＝22OA OB +＝2214425
m m +＝135m ， 过点O 作OD ⊥AB 于D ，
∵S △ABO ＝
12OD•AB ＝12
OA•OB ， ∴12OD•135m ＝12×125m×m ， ∵m ＞0，解得OD ＝1213
m 由直线与圆的位置关系可知
1213m ＜6，解得0＜m ＜132， ∴72﹣5m ＞0，
∴反比例函数y ＝725m x
-的图象在一三象限， ∵﹣a 2﹣2＜﹣a 2﹣1＜0，
∴p ＞q
故答案为：＞
【点睛】
本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m 的式子表示出原点到平移后的
直线的距离是解题的关键，同时考查了反比例函数的性质，本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了．
19．2210+．
【解析】
【分析】
作BK ∥CF ，使得BK =DE =2，作K 关于直线CF 的对称点G 交CF 于点M ，连接BG 交CF 于D '，则''2D E DE ==，此时△BD 'E '的周长最小，作BH CF ⊥交CF 于点F ， 可知四边形''BKD E 为平行四边形及四边形BKMH 为矩形，在Rt BCH 中，解直角三角形可知BH 长，易得GK 长，在Rt △BGK 中，可得BG 长，表示出△BD 'E '的周长等量代换可得其值.
【详解】
解：如图，作BK ∥CF ，使得BK =DE =2，作K 关于直线CF 的对称点G 交CF 于点M ，连接BG 交CF 于D '，则''2D E DE ==，此时△BD 'E '的周长最小，作BH CF ⊥交CF 于点F.
由作图知''''
//D ,D BK E BK E =，∴四边形''BKD E 为平行四边形， ''BE KD ∴=
由对称可知''
,2,KG CF GK KM KD GD ⊥== BH CF ⊥
//BH KG ∴
//CF BK ，即//BK HM
∴四边形BKMH 为矩形
,90KM BH BKM ︒∴=∠=
在Rt BCH 中， 3sin 55
BH BH C BC ∠=== 3BH ∴=
3KM ∴=
26GK KM ∴==
在Rt △BGK 中， BK =2，GK =6，
∴BG ==，
∴△BDE 周长的最小值为BE '+D 'E '+BD '=KD '+D 'E '+BD '=D 'E '+BD '+GD '=D 'E '+BG ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了最短距离问题，涉及了轴对称、矩形及平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理，难度系数较大，利用两点之间线段最短及轴对称添加辅助线是解题的关键.
20．4
【解析】
【分析】
过点A 作AD x ⊥轴，D 为垂足，根据勾股定理求出OA ，证得∠AOB=30°，由AB ⊥1l ，得到∠OAB=90°，根据30DAB AOB ∠=∠=，利用三角函数求出DB=1，得到OB=4，再证明∠OCB=∠BOC ，即可得到BC=OB=4.
【详解】
过点A 作AD x ⊥轴，D 为垂足，
∵A ,
∴OD=3，AD=3,
∴OA=2223OD AD +=,
∴∠AOB=30°，
∵AB ⊥1l ，
∴∠OAB=90°，
在Rt DAB 中，30DAB AOB ∠=∠=，
301,DB AD tan ∴=⋅︒=
4,OB OD DB ∴=+=
30BOC ∠=︒，1,AB l ⊥
30OCB =∴∠︒，
∴∠OCB=∠BOC ，
4.BC OB ∴==
故答案为：4.
【点睛】
此题考查直角坐标系中图形与坐标，勾股定理求线段长度，三角函数的运用，等角对等边的性质的运用.
21．（1）证明见解析；（2）菱形的面积为
332 【解析】
（1）略…………… 4分 （233…………… 4分 22．（1）AD=2OM ， AD ⊥OM ；理由见解析；（2）见解析；（3）PF 2+FQ 2=EP 2+GQ 2．理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）证出△AOD≌△BOC（SAS），得出AD=BC，∠OAD=∠OBC，由直角三角形的性质得出OM=
1
2
BC=BM=
1
2
AD，由等腰三角形的性质得出∠OBC=∠MOB，证出∠OND=90°，即可得出AD⊥OM；
（2）过E作EH∥FG交DA延长线于H，则∠AEH=∠G，证出△EAH≌△GAQ（ASA），得出EH=QG，AH=AQ，证出∠HEF=∠HEP=90°，由线段垂直平分线的性质得出PQ=PH．在Rt△EPH中，由勾股定理得出EP2+EH2=PH2，即可得出结论；
（3）过E作EH∥FG交DA延长线于点H，连PH、PQ，证△EAH≌△GAQ，得出EH=QG；再证PQ=PH．在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，得出EP2+GQ2=PH2．在Rt△PFQ中，
PF2+FQ2=PQ2，即可得出PF2+FQ2=EP2+GQ2．
【详解】
（1）解：线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是AD⊥OM；理由如下：
设AD与OM交于点N，如图1所示：
在△AOD和△BOC中，
OA OB
AOB COD
OD OC
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC，
∵点M为线段BC的中点，∠BOC=90°，
∴OM=
1
2
BC=BM，
∴OM=
1
2
AD，∠OBC=∠MOB，
∴AD=2OM，∠OAD=∠MOB，
∵∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠MOB+∠ODA=90°，
∴∠OND=90°，
∴AD⊥OM；
（2）证明：过E作EH∥FG交DA延长线于H，如图2所示：则∠AEH=∠G，
∵EG的中点与点A重合，
∴AE=AG，
在△EAH和△GAQ中，
AEH G
AE AG
EAH GAQ
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△EAH≌△GAQ（ASA），
∴EH=QG，AH=AQ，
∵∠G+∠GEF=90°，
∴∠AEH+∠GEF=90°，
即∠HEF=∠HEP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴AP⊥AQ，
∴PQ=PH．
在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，
∴EP2+GQ2=PQ2．
（3）解：PF2+FQ2=EP2+GQ2．理由如下：
过E作EH∥FG交DA延长线于点H，连PH、PQ，如图3所示：
同（2）得△EAH≌△GAQ（ASA），
∴EH=QG，AH=AQ，
∵∠G+∠GEF=90°，
∴∠AEH+∠GEF=90°，
即∠HEF=∠HEP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴AP⊥AQ，
∴PQ=PH，
在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，
∴EP2+GQ2=PH2．
在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，
∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．
【点睛】
此题考查四边形综合题目，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）
8
y
x
=，
1
5
2
y x
=-+；（2）详见解析.
【解析】【分析】
（1）将点A 的坐标代入m y x
=得到8y x =，再求出点B 的坐标，利用点A 、B 的坐标求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C 、D 的坐标，过点A 作y 轴的垂线与y 轴交于点E ，过B 作x 轴的垂线与x 轴交于点F ，利用勾股定理求出AD 、BC 的长度即可.
【详解】
解：（1）将(2,4)A 代人m y x
=
，得8m =， ∴反比例函数的表达式为8y x = 又∵(,1)B a 在反比例函数的图象上， ∴81a
=，解得，8a =， ∴(8,1)B
将(2,4)A ，(8,1)B 代入y kx b =+中，得8124k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：125
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴一次函数的表达式为152
y x =-+. （2）由（1）可知，一次函数的表达式为152y x =-
+ 当0x =时，5y =；
当0y =时，10x =；
∴(10,0)C ，(0,5)D
如下图，过点A 作y 轴的垂线与y 轴交于点E ，过B 作x 轴的垂线与x 轴交于点F ， ∴(0,4)E ，(8,0)F ，
∴2AE =，1DE =，1BF =，2CF =
∴在Rt ADE ∆
中，由勾股定理得：AD ==在Rt BCF ∆
中，由勾股定理得：BC =
∴AD BC =
【点睛】
此题考查一次函数和反比例函数的性质，用待定系数法求函数解析式，勾股定理求线段长度，解题中注意解题方法的总结.
24．(1)2 23y x x =-++，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)； (2)四边形CDAN 是平行四边形，证明见解析；(3)存在，213± 【解析】
【分析】 (1)根据顶点式设抛物线解析式为y a =(1x -)2+4，将N(2，3)代入求a ，确定抛物线解析式，根据抛物线解析式求点A 、B 、C 的坐标；
(2)根据M 、C 两点坐标求直线y kx t =+解析式，得出D 点坐标，求线段AD ，由C 、N 两点坐标可知CN ∥x 轴，再求CN ，证明CN 与AD 平行且相等，判断断四边形CDAN 是平行四边形；
(3)存在．如图设T(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，分别过T 、Q 作TF ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，联立直线TQ 解析式与抛物线解析式，可得1x ，1y ，2x ，2y 之间的关系，当以线段TQ 为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，利用互余关系可证△TOF ∽△QOG ，利用相似比得出线段关系，结合1x ，1y ，2x ，2y 之间的关系求m 的值．
【详解】
(1)抛物线的顶点坐标为M(1，4)，设抛物线解析式为(1y a x =-)2+4，
将N(2，3)代入，得a (2-1)2+4=3，解得1a =-，
∴抛物线解析式为(1y x =--)2+4，即2
23y x x =-++，
令0x =，得3y =，则点C 的坐标为(0，3)，。