年高考物理二轮复习专题03牛顿运动定律与曲线运动教学案

专题03 牛顿运动定律与曲线运动
本专题解决是物体(或带电体)在力作用下曲线运动问题．高考对本专题考察以运动组合为线索，进而从力和能角度进展命题，题目情景新，过程复杂，具有一定综合性．考察主要内容有：①曲线运动条件和运动合成与分解；②平抛运动规律；③圆周运动规律；④平抛运动与圆周运动多过程组合问题；⑤应用万有引力定律解决天体运动问题；⑥带电粒子在电场中类平抛运动问题；⑦带电粒子在磁场内匀速圆周运动问题；⑧带电粒子在简单组合场内运动问题等．用到主要物理思想和方法有：运动合成与分解思想、应用临界条件处理临界问题方法、建立类平抛运动模型方法、等效代替思想方法等．本专题高频考点主要集中在万有引力定律应用、行星、卫星运行规律、天体质量估算等方面，难度适中。

本专题在高考中还常考察到变轨问题、双星问题等，复习时注意抓住两条主线：一是万有引力等于向心力，二是重力等于向心力。

曲线运动是历年高考必考内容，一般以选择题形式出现，重点考察加速度、线速度、角速度、向心加速度等概念及其应用。

本局部知识经常与其他知识点如牛顿定律、动量、能量、机械振动、电场、磁场、电磁感应等知识综合出现在计算题中，近几年考察更趋向于对考生分析问题、应用知识能力考察。

一、曲线运动
1．物体做曲线运动条件：运动物体所受合外力方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动．
2．曲线运动轨迹：当做曲线运动物体所受合外力为恒力时，其运动为匀变速曲线运动，运动轨迹为抛物线，如平抛运动、斜抛运动、带电粒子在匀强电场中曲线运动．曲线运动轨迹位于速度(轨迹上各点切线)和合力夹角之间，且运动轨迹总向合力一侧弯曲．
二、抛体运动
1．平抛运动
(1)平抛运动是匀变速曲线运动(其加速度为重力加速度)，可分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动，运动轨迹为抛物线．
(2)物体做平抛运动时，运动时间由竖直高度决定，水平位移由初速度和竖直高度共同决定．
(3)物体做平抛运动时，在任意相等时间间隔Δt内速度改变量Δv大小相等、方向一样(Δv ＝Δv y＝gΔt)．
(4)平抛运动两个重要推论
①做平抛运动物体任意时刻瞬时速度反向延长线一定通过此时水平位移中点，如图1－3－1所示．由
②做平抛运动物体在任意时刻、任意位置处瞬时速度与水平方向夹角θ及位移与水平方向夹角φ满足：tanθ＝2tanφ.
2．类平抛运动
以一定初速度将物体抛出，如果物体受合力恒定且与初速度方向垂直，那么物体所做运动为类平抛运动，如以初速度v0垂直电场方向射入匀强电场中带电粒子运动．类平抛运动性质及解题方法与平抛运动类似，也是用运动分解法．
三、圆周运动
1．描述圆周运动物理量
物理量大小方向物理意义线速度圆弧上各点切线方向
描述质点沿圆周
运动快慢角速度不研究其方向
周期、频率无方向
向心加速度时刻指向圆心描述线速度方向改变快慢
相互关系
注意：同一转动体上各点角速度相等，皮带传动轮子边缘各点线速度大小相等．
2．向心力
做圆周运动物体向心力可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供，也可以由各力合力或某力分力提供．
物体做匀速圆周运动时，物体受到合力全部提供向心力；物体做变速圆周运动时，物体合力方向不一定沿半径指向圆心，合力沿半径方向分力提供向心力，合力沿切线方向分力改变物体速度大小．
3．处理圆周运动动力学问题步骤
(1)首先要明确研究对象；
(2)对其受力分析，明确向心力来源；
(3)确定其运动轨道所在平面、圆心位置以及半径；
(4)将牛顿第二定律应用于圆周运动，得到圆周运动中动力学方程，有以下各种情况：
解题时应根据条件合理选择方程形式．
四、开普勒行星运动定律
1. 开普勒第一定律〔轨道定律〕:所有行星绕太阳运动轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆一个焦点上。

2. 开普勒第二定律〔面积定律〕:对任意一个行星来说，它与太阳连线在相等时间内扫过相等面积。

〔近日点速率最大，远日点速率最小〕
3. 开普勒第三定律〔周期定律〕：所有行星轨道半长轴三次方跟它公转周期平方比值都相等。

即〔M为中心天体质量〕K是一个与行星无关常量，仅与中心天体有关
五、万有引力定律
1. 定律内容：宇宙间一切物体都是相互吸引，两个物体间引力大小，跟它们质量乘积成正比，跟它们距离平方成反比。

2. 表达式：F=GmM/r2 G为万有力恒量：G=6.67×10-11N·m2/kg。

说明：
(1)公式适用于质点间相互作用。

当两个物体间距离远远大于物体本身大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀球体可视为质点，r是两球心间距离。

地球对物体引力是物体具有重力根本原因．但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个
向心力方向是垂直指向地轴，它大小是2
ωr m f =，式中r 是物体与地轴距离，ω是地球自转
角速度．这个向心力来自哪里只能来自地球对物体引力F ，它是引力F 一个分力如右图，引力F 另一个分力才是物体重力mg ．
在不同纬度地方，物体做匀速圆周运动角速度ω一样，而圆周半径r 不同，这个半径在赤
道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处物体随地球自转所需向心力
αωcos 2
R m f = (R 为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcos α＝0，f ＝0．作为引力另一个分量，即重力那么随纬度升高而增大．在赤道上，物体重力等于引力与向心力之差．即．在两极，引力就是重力．但由于地球角速度很小，仅为10－5
rad ／s 数量级，所以mg 与F 差异并不很大．
在不考虑地球自转条件下，地球外表物体重力这是一个很有用结论．
从图1中还可以看出重力mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg 才能向地心．
同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体重力和重力加速度g 数值，还随着物体离地面高度增加而减小．
假设不考虑地球自转，地球外表处有，可以得出地球外表处重力加速度．
在距地表高度为h 高空处，万有引力引起重力加速度为g ＇，由牛顿第二定律可得：
即
g h R R h R M G g 2
2
2)()(+=+=' 如果在h ＝Ｒ处，那么g ＇＝g/4．在月球轨道处，由于r ＝60Ｒ，所以重力加速度g ＇＝ g/3600． 重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用． 六、万有引力定律应用
1. 讨论重力加速度g 随离地面高度h 变化情况： 物体重力近似为地球对物体引力，即。

所以重力加速度，可见，g 随h 增大而减小。

2. 算中心天体质量根本思路：
(1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动周期T 和轨道半径r;就可以求出中心天体质量M
(2)从中心天体本身出发:只要知道中心天体外表重力加速度g 和半径R 就可以求出中心天体质量M 。

3. 解卫星有关问题：在高考试题中，应用万有引力定律解题知识常集中于两点： 一是天体运动向心力来源于天体之间万有引力。

即
2
22
22T r 4m r m r v m ma r Mm G π=ω===向 二是地球对物体万有引力近似等于物体重力，即从而得出2
gR GM = (黄金代换，不考虑
地球自转)
4. 卫星：相对地面静止且与地球自转具有一样周期卫星。

①定高：h=36000km ②定速：v=/s ③定周期：=24h ④定轨道：赤道平面
5. 万有引力定律在天文学上应用主要是万有引力提供星体做圆周运动向心力.人造地球卫星绕行速度、角速度、周期与半径关系
①由得r越大，v越小
②由得r越大，ω越小
③由得r越大，T越大
行星和卫星运动可近似视为匀速圆周运动，而万有引力是行星、卫星作匀速圆周运动向心力。

6. 三种宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度)：由mg=mv2/R=GMm/R2得： V=
3
10
9.7
RG
R
G M
⨯
=
=
Km/s
V1=7.9km/s，是人造地球卫星环绕地球运行最大速度，也是人造地球卫星最小发射速度。

第二宇宙速度(脱离速度)：V2=2V1=11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚最小发射速度。

第三宇宙速度(逃逸速度)：V3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚最小发射速度。

【方法技巧】
1．必须精通几种方法
(1)两个分运动轨迹及运动性质判断方法
(2)小船渡河问题、绳和杆末端速度分解问题分析方法
(3)平抛运动、类平抛运动分析方法
(4)火车转弯问题、竖直面内圆周运动问题分析方法
2．必须明确易错易混点
(1)两个直线运动合运动不一定是直线运动
(2)合运动是物体实际运动
(3)小船渡河时，最短位移不一定等于小河宽度
(4)做平抛运动物体，其位移方向与速度方向不同
(5)做圆周运动物体，其向心力由合外力指向圆心方向分力提供，向心力并不是物体“额外〞受到力
(6)做离心运动物体并没有受到“离心力〞作用
高频考点一运动合成与分解
例1．2021年CCTV－1综合频道在黄金时间播出了电视剧陆军一号，其中直升机抢救伤员情境深深感动了观众．假设直升机放下绳索吊起伤员后(如图甲所示)，竖直方向速度图象和水
平方向位移图象分别如图乙、丙所示，那么( )
A ．绳索中拉力可能倾斜向上
B ．伤员一直处于失重状态
C ．在地面上观察到伤员运动轨迹是一条倾斜向上直线
D ．绳索中拉力先大于重力，后小于重力
【变式探究】如下图，河水流动速度为v 且处处一样，河宽为a .在船下水点A 下游距离为
b 处是瀑布．为了使小船渡河平安(不掉到瀑布里去)( )
A ．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t ＝b v ，速度最大，最大速度为v max ＝av b
B ．小船轨迹沿y 轴方向渡河位移最小、速度最大，最大速度为v max ＝a 2＋b 2v
b
C ．小船沿轨迹AB 运动位移最大、时间最长，速度最小，最小速度v min ＝av b
D ．小船沿轨迹AB 运动位移最大、速度最小，那么小船最小速度为v min ＝
av
a 2＋
b 2
高频考点二 平抛运动规律应用
例2、(多项选择)如下图，x 轴在水平地面上，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上不同位置沿x 轴正方向水平抛出三个小球a 、b 和c 运动轨迹．小球a 从(0,2L )抛出，落在(2L,0)处；小球b 、c 从(L,0)抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处．不计空气阻力，以下说法正确是( )
A ．a 和b 初速度一样
B ．b 和c 运动时间一样
C ．b 初速度是c 两倍
D ．a 运动时间是b 两倍 解析 根据h ＝12
gt 2
，可得t ＝
2h
g
，可知b 、c 运动时间一样，a 运动时间等于b 、c 运
动时间2倍，应选项B 正确，D 错误；a 运动时间比b 运动时间长，a 和b 水平方向位移大小一样，根据x ＝v 0t 可知，a 初速度小于b 初速度，应选项A 错误；b 、c 运动时间一样，b 水平位移是c 水平位移两倍，那么b 初速度是c 初速度两倍，应选项C 正确．
答案 BC
【特别提醒】处理平抛(类平抛)运动五条考前须知
1．处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进展分解，先按分运动规律列式，再用运动合成求合运动．
2．对于在斜面上平抛又落到斜面上问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角正切值． 3．假设平抛物体垂直打在斜面上，那么物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角正切值．
4．做平抛运动物体，其位移方向与速度方向一定不同． 5．推论：做平抛(或类平抛)运动物体
(1)任意时刻速度反向延长线一定通过此时水平位移中点；
(2)设在任意时刻瞬时速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为φ，那么有tan θ＝2tan φ.
【变式探究】 (多项选择)如下图，在某次自由式滑雪比赛中，一运发动从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上．假设斜面雪坡倾角为θ，运发动飞出时速度大小为v 0，不计空气阻力，运发动飞出后在空中姿势保持不变，重力加速度为g ，那么( )
A ．如果v 0大小不同，那么运发动落到雪坡上时速度方向也就不同
B ．不管v 0多大，该运发动落到雪坡上时速度方向都是一样
C ．运发动落到雪坡上时速度大小为v 0
cos θ
D ．运发动在空中飞行时间是
2v 0tan θ
g
答案 BD
高频考点三 圆周运动问题
例3、(多项选择)摩擦传动是传动装置中一个重要模型，如下图，甲、乙两个水平放置轮
盘靠摩擦传动，其中O 、O ′分别为两轮盘轴心，r 甲∶r 乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成滑块A 、B ，两滑块与轮盘间动摩擦因数相等，两滑块到轴心O 、O ′距离分别为R A 、R B ，且R A ＝2R B .假设轮盘乙由静止开场缓慢地转动，且转速逐渐增大，那么以下表达正确是( )
A ．滑块相对轮盘开场滑动前，A 、
B 角速度大小之比为ωA ∶ωB ＝1∶3 B ．滑块相对轮盘开场滑动前，A 、B 向心加速度大小之比为a A ∶a B ＝1∶3
C ．转速增大后最终滑块A 先发生相对滑动
D ．转速增大后最终滑块B 先发生相对滑动
答案 AD
【变式探究】(多项选择)如图甲所示，半径为R 、内壁光滑圆形细管竖直放置，一可看作质点小球在圆管内做圆周运动，当其运动到最高点A 时，小球受到弹力F 与其在A 点速度平方(即
v 2)关系如图乙所示．设细管内径可忽略不计，那么以下说法中正确是( )
A ．当地重力加速度大小为R b
B ．该小球质量为a b
R
C ．当v 2
＝2b 时，小球在圆管最低点受到弹力大小为7a D ．当0≤v 2＜b 时，小球在A 点对圆管弹力方向竖直向上
解析 由图乙可知，当v 2
＝b 时，小球与圆管内壁之间恰好没有力作用，此时由重力提供小球做圆周运动向心力，即mg ＝m b R ，故g ＝b R
，选项A 错误；当v 2
＝0时，有mg ＝a ，又因为g ＝b R ，所以小球质量m ＝a b
R ，选项B 正确；当v 2
＝2b 时，设小球运动到最低点时速度大小为v ′，那么由机械能守恒定律可得：mg ·2R ＝12mv ′2－12
m ·2b ，设小球在最低点时受到弹力大小为F ′，
那么由向心力公式可得：F ′－mg ＝m v ′2R
，联立解得：F ′＝7a ，选项C 正确；当0≤v 2
＜b 时，
小球在最高点时需要向心力小于小球重力，所以圆管对小球弹力方向竖直向上，由牛顿第三定律可知，小球对圆管弹力方向竖直向下，选项D 错误．
答案 BC
高频考点四 天体质量和密度估算
例4．“嫦娥五号〞探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个局部组成．探测器预计在2021年由“长征五号〞运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中数据所示，请根据题意，判断地球和月球密度之比为( )
月球半径
R 0 月球外表处重力加速度 g 0 地球和月球半径之比
R
R 0＝4 地球外表和月球外表重力加速度之比
g
g 0
＝6 A.23 B.32 C ．4 D ．6
【变式探究】(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动椭圆轨道半长轴a 三次方
与它公转周期T 二次方成正比，即a 3
T
2＝k ，k 是一个对所有行星都一样常量．将行星绕太阳运动
按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 表达式．引力常量为G ，太阳质量为M 太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体引力系统(如地月系统)都成立．经测定地月距离为3.84×108
m ，月球绕地球运动周期为2.36×106
s ，试计算地球质量M
地．
(G ＝6.67×10
－11
N·m 2/kg 2
，结果保存一位有效数字)
解析：(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a 即为轨道半径r .根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 行M 太r 2＝m 行⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r ，于是有r 3T 2＝G 4π2M 太，即k ＝G 4π2M 太．
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动轨道半径为R ，周期为T ，由(1)问可得R 3T 2＝G
4π
2M 地，
解得M 地＝6×1024
kg.
答案：(1)G
4π2M 太 (2)6×1024
kg
高频考点五 卫星运行参数分析
例5、(多项选择)卫星A 、B 运行方向一样，其中B 为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近
(O 、B 、A 在同一直线上)，地球半径为R ，卫星A 离地心O 距离是卫星B 离地心距离4倍，地球外表重力加速度为g ，那么( )
A ．卫星A 、
B 运行周期比值为T A T B ＝4
1
B ．卫星A 、B 运行线速度大小比值为v A v B ＝1
2
C ．卫星A 、B 运行加速度比值为a A a B ＝1
4
D ．卫星A 、B 至少经过时间t ＝
16π
7
R
g
，两者再次相距最近
答案 BD
【变式探究】地球质量约为火星质量10倍，地球半径约为火星半径2倍，那么航天器在火星外表附近绕火星做匀速圆周运动速率约为( )
A ．3.5 km/s
B ．5.0 km/s
C ．17.7 km/s
D ．35.2 km/s
解析 根据题设条件可知：M 地＝10 M 火，R 地＝2R 火，由万有引力提供向心力GMm R 2＝m v 2
R
，可
得v ＝
GM R ，即v 火
v 地＝M 火R 地
M 地R 火＝1
5
，因为地球第一宇宙速度为v 地＝7.9 km/s ，所以航天器在火星外表附近绕火星做匀速圆周运动速率v 火≈3.5 km/s，选项A 正确．
答案 A
高频考点六 卫星变轨问题
例6、(多项选择)如下图是我国发射“嫦娥三号〞卫星被月球俘获示意图，“嫦娥三号〞卫星先绕月球沿椭圆轨道Ⅲ运动，在P 点经两次制动后最终沿月球外表圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，圆轨道半径为r ，椭圆Ⅲ半长轴为4r ，卫星沿圆轨道Ⅰ运行周期为T ，那么以下说法中正确是( )
A ．“嫦娥三号〞卫星在轨道Ⅱ上运行机械能大于在轨道Ⅲ上运行机械能
B ．“嫦娥三号〞卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M 点速度大小大于在P 点速度大小
C ．“嫦娥三号〞卫星在三个轨道上运行时，在P 点加速度总是一样
D ．“嫦娥三号〞卫星在轨道Ⅲ上运行时，从M 点运动到P 点经历时间为4T
答案 CD
【变式探究】(多项选择)欧航局彗星探测器“罗塞塔〞别离“菲莱〞着陆器，于北京时间13日零时5分许确认成功登陆彗星“67P/丘留莫夫－格拉西缅科〞(以下简称67P)．这是人造探测器首次登陆一颗彗星．假设“菲莱〞着陆器着陆前与探测器“罗塞塔〞均绕彗星67P(可视为半径为R 球形)中心O 做半径为r 、逆时针方向匀速圆周运动，如下图．不计着陆器与探测器间相互作用力，彗星67P 外表重力加速度为g ，那么( )
A ．着陆器与探测器向心加速度大小均为gr 2
R
2
B ．探测器从图示位置运动到着陆器所在位置所需时间为θr R r g
C ．探测器要想追上着陆器，必须向后喷气
D ．探测器要想追上着陆器，该过程中万有引力对探测器先做正功后做负功
答案 BD
1.如图1­所示，倾角为α斜面A 被固定在水平面上，细线一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端小滑轮与物块B 相连，B 静止在斜面上．滑轮左侧细线水平，右侧细线与斜面平行．A 、
B 质量均为m .撤去固定A 装置后，A 、B 均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g .求：
图1­
(1)A 固定不动时，A 对B 支持力大小N ； (2)A 滑动位移为x 时，B 位移大小s ； (3)A 滑动位移为x 时速度大小v A .
【答案】 (1)mg cos α (2)2〔1－cos α〕·x (3)2gx sin α
3－2cos α
【解析】(1)支持力大小N ＝mg cos α
(2)根据几何关系s x ＝x ·(1－cos α)，s y ＝x ·sin α 且s ＝s 2
x ＋s 2
y
解得s ＝2〔1－cos α〕·x (3)B 下降高度s y ＝x ·sin α 根据机械能守恒定律mgs y ＝12mv 2A ＋12mv 2
B
根据速度定义得v A ＝Δx Δt ，v B ＝Δs
Δt
那么v B ＝2〔1－cos α〕·v A 解得v A ＝
2gx sin α3－2cos α
.
2.2021·全国卷Ⅰ] 如图1­，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°固定直轨道
AC 底端A 处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为56
R 光滑圆弧轨
道相切于C 点，AC ＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内．质量为m 小物块P 自C 点由静止开场下滑，最低到达E 点(未画出)，随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R ，P 与直轨道间动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g .(取sin 37°＝35，cos 37°＝4
5
)
(1)求P 第一次运动到B 点时速度大小． (2)求P 运动到E 点时弹簧弹性势能．
(3)改变物块P 质量，将P 推至E 点，从静止开场释放．P 自圆弧轨道最高点D 处水平飞出后，恰好通过G 点．G 点在C 点左下方，与C 点水平相距7
2R 、竖直相距R ，求P 运动到D 点时速
度大小和改变后P 质量．
图1­
【答案】 (1)2gR (2)125mgR (3)355gR 1
3
m
(2)设BE ＝x ，P 到达E 点时速度为零，设此时弹簧弹性势能为E p .P 由B 点运动到E 点过程中，由动能定理有
mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－1
2
mv 2B ④ E 、F 之间距离l 1为 l 1＝4R －2R ＋x ⑤
P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点过程中，由动能定理有 E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0 ⑥
联立③④⑤⑥式并由题给条件得
x ＝R ⑦ E p ＝125
mgR ⑧
设P 在C 点速度大小为v C ，在P 由C 运动到D 过程中机械能守恒，有 12m 1v 2C ＝12m 1v 2D ＋m 1g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56R ＋56R cos θ ⑭ P 由E 点运动到C 点过程中，同理，由动能定理有 E p －m 1g (x ＋5R )sin θ－μm 1g (x ＋5R )cos θ＝1
2
m 1v 2C ⑮
联立⑦⑧⑬⑭⑮式得
m 1＝13
m ⑯.
3.2021·天津卷] 如图1­所示，空间中存在着水平向右匀强电场，电场强度大小E ＝5 3 N/C ，同时存在着水平方向匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B ＝0.5 T ．有一带正电小球，质量m ＝1×10－6
kg ，电荷量q ＝2×10－6
C ，正以速度v 在图示竖直面内做匀速直线运动，当经过P 点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起电磁感应现象)，g 取10 m/s 2
.求：
图1­
(1)小球做匀速直线运动速度v 大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P 点所在这条电场线经历时间t .
【答案】 (1)20 m/s 方向与电场E 方向之间夹角为60°斜向上 (2)3.5 s
【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图1­所示，其所受三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB ＝q 2E 2＋m 2g 2 ①
图1­
x ＝vt ⑥
设小球在重力与电场力合力方向上分位移为y ，有
y ＝12
at 2 ⑦
a 与mg 夹角和v 与E 夹角一样，均为θ，又
tan θ＝y x
⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
t ＝2 3 s ＝3.5 s ⑨
4.2021·江苏卷] 有A 、B 两小球，B 质量为A 两倍．现将它们以一样速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图中①为A 运动轨迹，那么B 运动轨迹是( )
图1­
A ．① B．②
C ．③ D．④
【答案】A 【解析】抛体运动加速度始终为g ，与抛体质量无关．当将它们以一样速率沿同一方向抛出时，运动轨迹应该一样．应选项A 正确．
5.2021·浙江卷] 在真空环境内探测微粒在重力场中能量简化装置如图1­9所示．P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量一样、初速度不同微粒．高度为h 探测屏AB 竖直放置，离
P 点水平距离为L ，上端A 与P 点高度差也为h .
图1­9
(1)假设微粒打在探测屏AB 中点，求微粒在空中飞行时间； (2)求能被屏探测到微粒初速度范围；
(3)假设打在探测屏A 、B 两点微粒动能相等，求L 与h 关系． 【答案】 (1)
3h
g
(2)L
g
4h ≤v ≤L g
2h
(3)L ＝22h
(3)由能量关系
12mv 22＋mgh ＝12mv 21＋2mgh ⑦ 代入④、⑤式得L ＝22h ⑧.
6.2021·全国卷Ⅲ] 如下图，一固定容器内壁是半径为R 半球面；在半球面水平直径一端
有一质量为m 质点P .它在容器内壁由静止下滑到最低点过程中，克制摩擦力做功为W .重力加速度大小为g .设质点P 在最低点时，向心加速度大小为a ，容器对它支持力大小为N ，那么( )
图1­
A ．a ＝2〔mgR －W 〕mR
B ．a ＝2mgR －W
mR
C ．N ＝3mgR －2W R
D ．N ＝2〔mgR －W 〕R
【答案】AC 【解析】质点P 下滑到底端过程，由动能定理得mgR －W ＝12mv 2－0，可得v
2＝2〔mgR －W 〕m ，所以a ＝v 2
R ＝2〔mgR －W 〕mR
，A 正确，B 错误；在最低点，由牛顿第二定律得N
－mg ＝m v 2R ，故N ＝mg ＋m v 2R ＝mg ＋m R ·2〔mgR －W 〕m ＝3mgR －2W R
，C 正确，D 错误．
7.2021·全国卷Ⅲ] 如图1­所示，在竖直平面内有由14圆弧AB 和1
2圆弧BC 组成光滑固定轨
道，两者在最低点B 平滑连接．AB 弧半径为R ，BC 弧半径为R 2.一小球在A 点正上方与A 相距R
4处由静止开场自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B 、A 两点动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点．
图1­
【答案】 (1)5 (2)能
由机械能守恒有mg R 4＝12
mv 2
C ⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C 点．
8.2021·天津卷] 我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具欣赏性工程之一．如图1­所示，质量m＝60 kg运发动从长直助滑道ABA处由静止开场以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v B＝24 m/s，A与B竖直高度差H＝48 m．为了改变运发动运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C高度差h＝5 m，运发动在B、C间运动时阻力做功W＝－1530 J，g取10 m/s2.
图1­
(1)求运发动在AB段下滑时受到阻力F f大小；
(2)假设运发动能够承受最大压力为其所受重力6倍，那么C点所在圆弧半径R至少应为多大？
【答案】 (1)144 N (2)12.5 m
由运发动能够承受最大压力为其所受重力6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5 m.
9.2021·浙江卷] 如图1­6所示为赛车场一个水平“梨形〞赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m大圆弧和r＝40 m小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎最大径向静摩擦力是赛车重力2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s2，π＝3.14)，那么赛车( )
图1­6
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上速率为45 m/s。