山西省山大附中2012届高三下学期第三次模拟数学(理)试题

山西大学附中高三年级（下）数学三模
数学试卷(理)
一．选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}
2x y y B ==，则=B A
A.[]2,2-
B.[]2,0
C.0.4
D.0.8
2.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2
,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为
A.0.1
B.0.2
C.0.4
D.0.8
3．由曲线x x y 22
-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为 A.
32 B.65 C.31 D.6
1 4．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为
5．已知各项均不为零的等差数列{}n a 满足2
2712220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
77b a =，则311b b ⋅=
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2 6. “41=
a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x
a
x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.甲和乙等五名志愿者被随机地分到D C B A ,,,四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为
A.
110 B.910 C. 14 D.48625 8．设1||=,若|2||CB =,则⋅的最大值为
A.13
9．若),2
(ππ
α∈，且)4
sin(
2cos 3απ
α-=，则α2sin 的值为
A.
118 B.1
18
- C.
1718 D.1718
- 10．已知关于x 的方程2
(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且
1201x x <<<，则b
a
的取值范围是
A ．]21,2[--
B ．)2
1
,2(-- C ． ]2,21[ D ．)2,21(
11．过双曲线22221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点
(,0)F c -作圆2
22
x y a +=的切线，切点
为E ，延长
FE 交抛物线2
4y cx =于点P ，若E 为线段
FP 的中点，则双曲线的离心率为
A 1 C D 12.已知函数)(x f 满足：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有)(2)2(x f x f =+；③当]1,1[-∈x 时，1||)(+-=x x f ，则函数||log )(4x x f y -=在区间]10,10[-上零点的个
数是
A.17
B.12
C.11
D.10 二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．复数
i R a i
ai
,(21∈-+为虚数单位）为纯虚数,则复数i a z +=的模为 ． 14.()()
5
1x x a ++的展开式中2
x 项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______. 15．某程序框图如下图所示，则程序运行后输出的S 值
为 ．
16.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间
[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.①();2x
x f =
②();3
x x f =
③();sin x x f =
④().1log 2+=x x f
则存在“等值区间”的函数的序号是
山西大学附中高三年级（下）数学周考 编号数学试题答题纸(理)
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二．填空题：
13___________ 14______________ 15________________16_______________
三．解答题
17. （本题满分12分）已知函数)6
cos(sin )(π
-+=x x x f ，R x ∈．
（1）求)(x f 的最大值；
1C
1B
1A
C
B
A
D （2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6
(2π
-=A f a b ，
求角C 的大小．
18. （本题满分12分）如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CC AB BC ===，D
是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC . （1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；
（2）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的所成锐角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.
19. （本题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图5所示，成绩不小于90分为及格．
（1）甲班10名同学成绩的标准差乙班10名同学成绩的标准差（填“>”，“<”）；（2）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；
（3）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．
甲乙
2 5 7
3 6 8
5 8
6 8
7
8
9
10
8 9
6 7 8
1 2 3 5
1
（第20题）
20．（本题满分12分） 设点P 为圆2:2
2
1
=+y x C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．动点M =（其中Q P ,不重合）． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；
（2）过直线2-=x 上的动点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为B A ,．若直线AB 与（1）中的曲线2C 交于D C ,两点，求|
||
|CD AB 的取值范围．
21．（本题满分12分） 设函数),()(R b a x
b
ax x f ∈+
=，若)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为1．
（Ⅰ）用a 表示b ；
（Ⅱ）设)(ln )(x f x x g -=，若1)(-≤x g 对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；
选做题（本题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）
22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．
（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）若,2
1
tan =
∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．
23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 31cos 33y x （θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0)6
cos(=+
π
θρ；
（1）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； （2）求圆C 被直线l 所截得的弦长。

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数212)(--+=x x x f ． （1）求不等式2)(>x f 的解集； （2）若R x ∈∀，t t x f 2
11
)(2-≥恒成立，求实数t 的取值范围．
山西大学附中高三年级（下）数学三模参考答案
数学试卷(理)
命题人：宋文霞 审题人：牛瑞兰 时间：5月10日
一．选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}
2x y y B ==，则B A ⋂= （B.）
A.[]2,2-
B.[]2,0
C.0.4
D.0.8
2.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2
,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率
为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为（C.） A.0.1
B.0.2
C.0.4
D.0.8
3．由曲线x x y 22
-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为（ Ｄ ） Ａ．
32 Ｂ．65 Ｃ．31 Ｄ．6
1
4．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（D ）
5．已知各项均不为零的等差数列{}n a 满足2
2
712220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
77b a =，则311b b ⋅= （A ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2 6. “41=
a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x
a
x ”的（A ． ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7. 甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少 有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（B ）
侧视
（D ）
（C ）（B ）（A ）
(A)
110
(B)
910 (C) 14 (D) 48625 【解析】14142434343424
549
10
C A C A C A P C A ++==．【答案】B 8．若(,)2
παπ∈，且3cos2sin()4
π
αα=-，则sin2α的值为（D ）
（A ）
118 （B ）118
- （C ）
17
18
（D ）1718
-
9．设1AB =,
若2CA CB =,则CA CB ⋅的最大值为（B ） （A ）13
（B ）2 （C （D ）3 10．已知关于x 的方程2
(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且
1201x x <<<，则b
a
的取值范围是
（A ）
A ．]2
1,
2[-- B ．12,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．]2,
2
1[ D ．)2,
2
1( 11．过双曲线22221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点(,0)F
c -作圆222
x y a
+=的切线，切点
为E ，延长FE 交抛物线2
4y
cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为
（D ）
A B 1 C 12.已知函数f （x ）满足：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f （x 十2）＝2f （x ）； ③当x ∈［－1,1］时，f （x ）＝－｜x ｜＋1，则函数y ＝在区间［－10,10］
上零点的个数是（C ）
（A ）17 （B ）12 （C ）11 （D ）10
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共
28分． 13．复数1i
2i
a +-（,i a R ∈为虚数单位）为纯虚数,则复数i
z a =+为 ．
14.()()
5
1x x a ++的展开式中2
x 项的系数是15有项系数的和是_______.
15．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 值为 ．10；
16.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得
(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：
①();2x
x f =②();3
x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f
则存在“等值区间”的函数的序号是（B.） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.已知函数)6
cos(sin )(π
-+=x x x f ，R ∈x ．
（1）求)(x f 的最大值；
（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6
(2π
-=A f a b ，
求角C 的大小．
解：（1）)6
cos(sin )(π
-
+=x x x f x x x sin 2
1
cos 23sin ++
= ……2分 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） …4分
所以)(x f 的最大值为3． …………………………………6分 （2）因为)6
(2π
-
=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．……7分
又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2
sin 3cos sin =， ……9分
而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，3
3
tan =A ， …11分 所以6
π
=
A ，3
2π
=
=A B ，2
π
π=
--=B A C ． …………………………12分
18.如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,
AC CC AB BC ===，D 是
1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC .
（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；
1C
1B
1A
C
B
A
D
（2）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.
18．证明：（Ⅰ）∵⊥AD 平面BC A 1，∴BC AD ⊥.
∵111C B A ABC -是直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ，∴BC AA ⊥1. ∵A AA AD =⋂1，AD ⊆平面11A ABB ,1AA ⊆平面11A ABB ,
∴⊥BC 平面11A ABB . ……………6分 （Ⅱ）
⊥BC 平面11A ABB .∴AB BC ⊥.又BC BB AB BB ⊥⊥11,，于是可建立如图所
示的空间直角坐标系xyz B -.∵ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边2=AC ， ∴2==BC AB .
从而，)(
)()
0000000,,,,,A
B C
设存在满足条件的点E 坐标为()()0002,,a a << 由（Ⅰ）知平面11A ABB 的法向量BC
=()
00, …6分 令平面ACE 的法向量(),,n x y z =
00n AC n AE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，0
20
x az ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令2z
=
得(,
,n a a =.
平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于60 ∴1
2
cos ,n BC =
=
，的1a = 所以当E 为棱1BB 中点时平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于60. ……………12分 19.某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图5所示，成绩不小于90分为及格． （Ⅰ）甲班10名同学成绩的标准差 乙班
10名同学成绩的标
准差（填“>”，“<”）；
（Ⅱ）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同
学不及格的概率；
（Ⅲ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人
数记为X ，
甲 乙 257 368 58 68 7 8 9 10 89
678
1235 1
（第21题）
求X 的分布列和期望．
解：（Ⅰ）>． ······························ 2分 （Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．
事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，
则72
100
30110020
)
()()|(=-==
A P
B A P A B P ． ················ 6分 （Ⅲ）X 取值为0,1,2,3
152
)0(2102511016=⋅==C C C C X P ；45
19)1(2102511014210151511016=
⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ； 4516)2(2101515110142102511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ；45
4
)3(2102511014=⋅==C C C C X P ． ·· 10分
所以5
45)(==X E ． 12分
20．（本题满分15分） 设点P 为圆2212C x y +=：上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．动点M
PQ =（其中P
，Q 不重合）
． （Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的方程；
（Ⅱ）过直线2x =-上的动点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为,A B ．若直线AB 与（Ⅰ）中的曲线2C 交于,C D 两点，求
AB CD
的取
值范围．
20．解：（Ⅰ）设点(,)M x y ,MQ PQ =，得(,)P x ，由于点P 在2212C x y +=：上，则2222x y +=，
即M 的轨迹方程为2
212
x y +=. …………………4′
（Ⅱ）设点(2,)T t -，1122(,),(,)A x y B x y ''''，则AT ，BT 的方程为：112x x y y ''+=，222x x y y ''+=， 又点(2,)T t - 在AT 、BT 上，则有：
1122x ty ''-+=①，2222x ty ''-+=②，由①、②知AB 的方程为：22x ty -+=. ……3′
设点1122(,),(,)C x y D x y ，则圆心O 到AB
的距离d =
，
||AB =；又由22
221
2
x ty x y -+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=，于是 12248t y y t +=+，12248y y t -=+
，于是12|||CD y y -=
于是||||AB CD =
， …………………3′ 设2
4t s +=，则4s ≥
，于是||||AB CD ，设11
,(0]4m m s =∈，
，于是||
||AB CD 3()1632f m m m =+-，2'()696f m m =-，令'()0f m =，得4
1=m . 得)(m f 在]4
1,0(上单调递增，故]2,1()(∈m f . 即
||
||
AB CD
的范围为 …………………5′ 21．（本题满分12分） 设函数()(,)b f x ax a b R x
=+∈，若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1． （Ⅰ）用a 表示b ；
（Ⅱ）设()ln ()g x x f x =-，若()1g x ≤-对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； 解：（Ⅰ）2()b f x a x '=-
，依题意有：
2
(1)11b
f a a b b a x '=-=-=⇒=-； …………2′ （Ⅱ）1
()ln ()ln ()1a g x x f x x ax x
-=-=-+
≤-恒成立. ()1g x ≤-恒成立即max ()1g x ≤-.
方法一：()1g x ≤-恒成立，则(1)11101g a a a +=--++≤⇒≥.
当1a ≥时，22
1
[(1)](1)
(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a
---+--+--'===⇒==-+ 1
10,x a
=-+
≤2(0)0x g '≥，则(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，则max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；
即()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为
1a ≥； ……………6′
方法二：2222
111(1)(1)
()a ax x a ax a x g x a x x x x --++--+--'=-+==
， ①当0a =时，2
1
()x g x x -'=
，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，
()g x 单调递增，则max ()(1)1g x g ==，不符题意；
②当0a ≠时，22
1
[(1)](1)
(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a
---+--+--'===⇒==-+， （1）若0a <，1
10a
-+
<，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，则max ()(1)1211g x g a a ==-<-⇒>，矛盾，不符题意；
（2）若0a >， 若102a <≤，1
11a
-+>，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意； 若
112
a <<，1011a <-+<，1
(0,1)x a ∈-+，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意；
（1
1(1)ln(1)10g a
a
-+=-+->矛盾；）
若1a ≥，1
10a
-+
≤，(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，则max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；
综上，得()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥； ……………6 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，
D ，连接CD EC ,．
（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若,2
1
tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．
证
明
：
（
1
）
如
图
，
连
接
AB OC CB CA OB OA OC ⊥∴==,,,
OC 是圆的半径， AB ∴是圆的切线．-------------------------------3分
（2）ED 是直径，︒
︒
=∠+∠∴=∠∴90,90EDC E ECD
又EBC CBD E BCD ODC OCD OCD BCD ∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠+∠︒
又,,,90，
BCD ∆∴∽BEC ∆，BE BD BC BC
BD
BE BC ⋅=⇒=∴
2，-----------5分 2
1
tan ==
∠EC CD CED ， BCD ∆∽BEC ∆，2
1
==EC CD BC BD -----------------------7分
设,2,x BC x BD ==则2)6()2(2
2
=∴+=∴⋅=BD x x x BE BD BC --------9分
532=+=+==∴OD BD OB OA ．------------------------10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 31cos 33y x （θ为参数），以Ox
为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0)6
cos(=+π
θρ；
（1）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； （2）求圆C 被直线l 截得的弦长。

解：（1）消去参数θ得圆的普通方程为：
9)1()3(22=-+-y x
直线l 的直角坐标方程为03=-y x (2)24=m
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数212)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集； （Ⅱ）若R x ∈∀，t t x f 2
11
)(2-≥恒成立，求实数的取值范围． 24．（本小题满分10分）
解：（1）⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
≥+<≤---<--=2,3221,1321,3)(x x x x x x x f ---------2分
当5,5,23,21
-<∴-<>---<x x x x
当21,1,213,22
1
<<∴>>-<≤-x x x x
当2,1,23,2≥∴->>+≥x x x x
综上所述 {}
51|-<>x x x 或 ．----------------------5分 （2）易得25)(min -=x f ，若R x ∈∀，t t x f 211
)(2-≥恒成立， 则只需52
1
0511221125)(22min
≤≤⇒≤+-⇒-≥-=t t t t t x f ，
1
≤t．------------------------------10分
≤
综上所述5
2。