江西省新余市第四中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)Word版含解析

江西省新余市第四中学2017-2018学年高二下学期第一
次月考
数学（理）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）
一、单选题
1．命题：“对任意x R ∈,2
20x x -+≥”的否定是( )
A. 存在 x ∈R, 220x x -+≥
B. 对任意x ∈R, 2
20x x -+≥
C. 存在x ∈R, 220x x -+<
D. 对任意x ∈R, 2
20x x -+<
2．若抛物线24x y =上的点(),P m n 到其焦点的距离为5，则n=( ) A.
194 B. 9
2
C. 3
D. 4 3．在下列命题中，真命题是( )
A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；
B. “若b=3,则b 2=9”的逆命题;
C. 若ac>bc,则a>b;
D. “相似三角形的对应角相等”的逆否命题
4．在平行六面体1111ABCD A BC D -中， M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，
11A D b =， 1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )
A. 1122a b c -
++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 11
22
a b c --+ 5．直线250x y --=过双曲线
22
221(0,0)x y
a b a b
-=>>的一个焦点且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的标准方程为( )
A. 221205x y -=
B. 221520
x y -= C. 2214x y -= D. 22
14y x -= 6．已知椭圆C ： 22
163
x y +=，直线l 与椭圆交于A,B ，且M （1，1）为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为( )
A. 2
B. -2
C.
12 D. 1
2
- 7．已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于A ， B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为( )
A.
B.
3
C. 12
D. 2
8
22
221x y a b
-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围
是( )
A. ()1,2
B. ()2,+∞
C. (
D.
)
+∞
9．若点P 是椭圆22
194
x y +=上的一动点， 12,F F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠最小值为( )
A. 59-
B. 19-
C. 19
D. 12
10．已知抛物线C: 2
4x y =，直线:1l y =-，PA,PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A,B ，则“点P 在直线l 上”是“PA ⊥PB ”的( )条件
A. 必要不充分
B. 充分不必要
C. 充要
D. 既不充分也不必要
11．在正方体1111ABCD A BC D -中， M 是BC 的中点，点P 是矩形11DCC D 所在平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则点P 的轨迹是( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
12．过椭圆22
194
x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，切点为A 、B ，过A 、B 的直线与x 轴和y 轴分别交于P Q 、，则POQ ∆面积的最小值为( )
A.
43 B. 1 C. 23 D. 1
2
第II 卷（非选择题）
此
卷
只
装
订
不密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
二、填空题
13．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB λ-⊥若,则λ=
14．已知抛物线24x y =的焦点F 和点()1,8A -， P 为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是
15．若不等式1
0x x
-
>成立的充分不必要条件是x a >，则a 的取值范围是 16．12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的左、右公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是
三、解答题
17．已知命题p ： {11}A x a x a =-<<+，命题q ： {}
2430B x x x =-+≥. （1）若,A B A B R ⋂=∅⋃=，求实数a 的值； （2）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.
18．双曲线过点()3,2-且与椭圆2
2
4936x y +=有相同的焦点.
(1)求双曲线标准方程；
(2)若点M 在双曲线上， 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且122MF MF =，求12MF F ∆的面积.
19．如图，已知四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面ABCD ， //AD BC ， AD CD ⊥，且
AB AC ⊥， 2AB AC PA ===， E 是BC 的中点.
（1）求异面直线AE 与PC 所成角的大小； （2）求点D 到平面PAC 的距离.
20．已知抛物线C ： 2
2(0)y px p =>，直线:20l x y --=与抛物线C 交于A,B 两点.
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求AB .
（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点M 和N ，求p 的取值范围. 21．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =
2
π
，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。

沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥
平面EBCF ．
（1）若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值；
（2）当 ()f x 取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值．
22．已知椭圆C ： 2
212
x y +=的右焦点为F ，不垂直x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点．
（1）若直线l 经过点()2,0P ，则直线FA 、FB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）如果FA FB ⊥，原点到直线l 的距离为d ，求d
的取值范围．
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数学（理）答 案
1．C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词，所以命题：“对任意x R ∈,220x x -+≥”的否定是“存在x R ∈,220x x -+<”，故选C.
2．D
【解析】抛物线24x y =的准线方程为y 1=- 根据抛物线定义可知：5=n+1,即n=4 故选：D 3．D
【解析】试题分析：：①“x=2时，x 2－3x+2=0”的否命题为“x≠2时，x 2－3x+2≠0”，如x=1时，x 2－3x+2=0，故①错误；
②“若b=3，则b 2=9”的逆命题为：“若b 2=9，则b=3”，显然错误，故②错误； ③若ac ＞bc ，则a ＞b ，错误，理由是：若c ＜0，则a ＜b ，故③错误； ④“相似三角形的对应角相等”正确，其逆否命题亦正确，故④正确． 综上所述，真命题的选项是④． 考点：命题的真假判断与应用 4．A
【解析】如图，由向量的三角形法则可得111
2
B M B B BD =+
，即()
1112B M A A BA BC =+
+= 11
22
c a b -+，故选A ．
5．A
【解析】直线:250l x y --=令0y = 得5x = 所以()5,0F 又直线l 与其一条渐近线平行，
所以12b a =又22222
20,5c a b a b =+∴== 所以该双曲线的方程为
221205
x y -= 故选A 6．D
【解析】设()()1122,,,,,A x y B x y A B 两点在椭圆22
163
x y +=上， 222211221,16363
x y x y ∴+=+=，两式相减可得()()2222121211
043x x y y -+-=，化简得
()()
1212
121236AB x x y y k x x y y +-=
=-
-+，又点()1,1P 是AB 的中点， 12122,2x x y y ∴+=+=，因此可得直线l 的斜率321
622
k ⨯=-
=-⨯，故选D. 【方法点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、斜率公式以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解
7．A
【解析】设过抛物线2
4y x =焦点F 的直线:1l x ty =+交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，
因为点A 在第一象限且3AF FB =，所以1230y y =->，联立24{
1
y x x ty ==+，得2440y ty --=，
则12222
1224{ 34y y y t y y y +=-==-=-
，解得23
{ y t =-
=
，即直线l
A. 点睛：在处理过抛物线2
2y px =的焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线问题时，往往设直线的方程为:2
p
l x ty =+
，可避免讨论. 8．
D
【解析】
22
221x y a b -=恒有两个公共点，根据双曲线的几何性质
可得，双曲线的渐近线斜率b a >
c e a ∴==>=∴双曲线离心率的取值范
围是
)
+∞，故选D.
9．B
【解析】椭圆22
194
x y +=
的3,2,a b c ====
12126,PF PF F F +== 222
1212
1212
cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∴∠=⋅
(2
2
12
12
12
6216
122PF PF PF PF PF PF --⋅=
=
-⋅⋅，
12PF PF +
=
1269PF PF ≥∴⋅≤， 121681
11299
PF PF ∴-≥-=-⋅，当且仅当123PF PF ==，
取得最小值1
9
-，故选B.
10．C
【解析】（1）若PA PB ⊥,设(),P m n ，切线斜率显然存在且不为0，设方程为
()y n k x m -=-代入24x y =中得到： 224440,00x kx km n k mk n -+-=∴∆=⇒-+=，所
以，由韦达定理可得1PA PB k k n ==-，故P 在直线l 上；（2）若P 在直线l 上，设(),1P m -，切线方程为()1y k x m +=-代入2
4x y =，可得2
2
4440,010x kx km k mk -++=∴∆=⇒--=，
所以1PA PB k k =-，故PA PB ⊥，“点P 在直线l 上”是“PA PB ⊥”的充要条件，故选C.
11．A
【解析】试题分析：因
平面
，则
，同理
平面
，则
，
，则
，
，则
，下面研究点
在面
的
轨迹（立体
几何平面化），在平面直角坐标系内设
，设，因为
，所
以，化简得：，则点的轨迹是圆.
考点：1.线面垂直；2.直接法求轨迹； 12．C
【解析】设()00,M x y ，根据圆的切线知识可得过,A B 的直线l 的方程为002x x y y += ，由此得020P x ⎛⎫
⎪⎝⎭，， 020,Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故POQ ∆的面积为12×02
x ·02y ＝002x y .因为点M 在椭圆上，所
以22
001294x y +=≥ 03x ·02y ，由此得003x y ≤，所以
002x y ≥23，当且仅当03x ＝02
y
时等号成立，故POQ ∆面积最小值为
2
3
，故选C. 【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线
中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
13．3± 【解析】
()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ()()1,3,1,1,3,1AB CB λλ∴=+=--，又
,0AB CB AB CB ⊥∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±，故答案为3±.
14．9
【解析】试题分析：根据题意，过P 作抛物线的准线的垂线垂足为P '，根据抛物线的定义
PF PP =',所以PA PF PA PP +=+'的最小值即为抛物线上一个动点P 到一个定点()1,8A -的距离与到定直线1y =-的距离之和的最小值，显然，最小值即为点A 到直线1y =-的
距离为()819--=．
考点：1．抛物线的定义；2．距离的最小值． 15．[
)1,+∞ 【解析】由()()111
00x x x x x
-+->⇒>，根据分手不等式的解法解得1x >或10x -<<，若不等式1
0x x
-
>成立的充分不必要条件是x a >，则1a ≥，故答案为[)1,+∞. 16．
23
【解析】因为12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的左、右公共焦点，所以可得，
1211224,
2,2F F AF F A F A F A ==-=∴=， 12122
6=2,24,F A F A a F F c C ∴+===∴的离心率是242263c e a =
==，故答案为2
3
. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义、椭圆的定义与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题根据方法①求出离心率e ．
17．(1)2;(2) 实数a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.
【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合B 化简后，由
,A B A B R ⋂=∅⋃=，借助于数轴列方程组可解a 的值；
（2）把p 是q 的充分条件转化为集合A 和集合B 之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a 的取值范围.
试题解析：（1）B={x|x 2
﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a ﹣1＜x ＜a+1}，
由A∩B=∅，A∪B=R，得11
{13
a a -=+= ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R 的实数a 的值为2；
（2）因p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，且A≠∅，所以结合数轴可知， a+1≤1或a ﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p 是q 的充分条件的实数a
的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
18．(1) 双曲线的标准方程为22
132
x y -=. 【解析】试题分析：（1）先求出椭圆的焦点坐标，再设双曲线方程为22
221x y a b
-=，用待定
系数法求出,a b ，从而求出双曲线的方程；（2）点
M 在双曲线上，又122MF MF =，所以点M 在双曲线的右支上，则有12MF MF -=1MF ， 2MF ，再根据余弦定理求出
12cos F MF ∠，最后利用三角形的面积公式即得12MF F ∆的面积．
试题解析：
（1）椭圆方程可化为22
149x y +=，焦点在x 轴上，且c = 故设双曲线方程为22
221x y a b
-=，
则有22
22941,
{ 5,
a b a b -=+=解得23a =， 22b =， 所以双曲线标准方程为22
132
x y -=． （2）因为点M
在双曲线上，又122MF MF =，所以点M 在双曲线的右支上，
则有12MF MF -=
故解得1MF
= 2MF =，又12F F = 因此在12MF F ∆中， 222
12121212
||||5
cos 6
2MF MF F F F
MF MF MF +-∠==
⋅，
所以12
sin MF F ∠=
． 1212121111
sin 226
F MF S MF MF F MF ∆=
⨯⋅⨯∠=⨯= 考点：1、余弦定理；2、双曲线的标准方程；3、三角形的面积． 19．(1) 异面直线AE 与PC 所成角为60;(2)1.
【解析】试题分析：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，取BC 的中点E ，则,,AE AD AP 两两垂直，以A 点为原点以,,AE AD AP 为轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出异面直线AE 与
PC 的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可；（2）先求得()1,1,0CD =--，又∵AB ⊥
平面PAC ， ()2,0,0AB =是平面PAC 的一个法向量，所以点D 到平面PAC 的距离
1AB CD d AB
⋅=
=.
试题解析：（1）如图所示，以A 点为原点建立空间直角坐标系O xyz -，
则()2,0,0B ， ()0,2,0C ， ()0,0,2P ，故()1,1,0E ， ()1,1,0AE =， ()0,2,2PC =-
1
cos ,2
AE PC AE PC AE PC
⋅=
=
⋅，即,60AE PC =， 故异面直线AE 与PC 所成角为60；
（2）在平面ABCD 中，∵2AB AC ==， AB AC ⊥，∴45ABC ACB ∠=∠=， ∵//AD BC ，∴45DAC ACB ∠=∠=，由Rt ACD ∆
得AD CD ==
∴()1,1,0D -，又∵()0,2,0C ，∴()1,1,0CD =--，又∵AB ⊥平面PAC ， ∴()2,0,0AB =是平面PAC 的一个法向量，所以点D 到平面PAC 的距离1AB CD d AB
⋅=
=
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，以及利用向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20．(1)16;(2) p 的取值范围是40,
3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. 【解析】试题分析：（1）由直线:20l x y --=过抛物线C 的焦点可得，
202
p
-=，得到4p =；故抛物线方程为2
8y x =，联立方程2
28{
12402
y x x x y x =⇒-+==-，根据焦半径公式可
得AB 的值；（2）根据直线垂直可得直线MN 的斜率，可设直线MN 的方程为y x b =-+，代入
22y px =中消去y 可得到： 2220y py pb +-=，由韦达定理可得MN 的中点坐标坐标，将中点
坐标代入MN 的方程可得22b p =-，利用判别式大于零可求得p 的取值范围.
试题解析：（1）依题意可知抛物线C 的焦点为（,02
p ），所以202p
-=，得到4p =；故
抛物线方程为2
8y x =.
联立方程228{
12402
y x x x y x =⇒-+==-，所以12416.A B AB x x p =++=+=
（2）依题意可知直线l 垂直平分线段MN ， 于是直线MN 的斜率为-1，设其方程为y x b =-+，
代入22y px =中消去y 可得到： ()2
220............................*y py pb +-=
设()()1122,,,M x y N x y ，从而122y y p +=-； 故线段MN 的中点G （2,p p --）， 又因为G 在直线MN ： y x b =-+上，
所以22b p =-，
因为方程()*有两个相异实根，所以2480p pb ∆=+>，即20p b +>， 于是()4
22203
p p p +->⇒<
， 故所求p 的取值范围是40,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 21．(1) ()f x
有最大值为
83;(2) . 【解析】试题分析：（1）由AEFD ⊥平面EBCF ， ////EF BC AD ，可得AE EF ⊥，进而由面面垂直的性质定理得到AE ⊥平面EBCF ，进而建立空间坐标系E xyz -，可得
()D BCF A BFC f x V V --==的解析式，根据二次函数的性质，易求出()f x 有最大值；（2）根据（1）
的结论平面BCF 的一个法向量为()20,0,1n =，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面BDF 的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D BF C --的余弦值.
试题解析：（1）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE⊥EF,
∴AE⊥面平面EBCF ,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z ．则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），
E （0，0，0）∵AD∥面BFC ，
所以()f x =V A-BFC ＝
13BFC S AE ∆⋅ ()11
4432
x x ⋅⋅⋅-⋅ ()2
2882333x =--+≤，即2x =时()f x 有最大值为83
．
（2）设平面DBF 的法向量为()1,,n x y z =，∵AE=2, B（2，0，0）， D （0，2，2），F （0，3，0）,∴()2,3,0,BF =- BD =（－2，2，2）,
则110{
0n BD n BF ⋅=⋅=，即()()()(),,2,2,20
{ ,,2,3,00
x y z x y z ⋅-=⋅-=， 2220{
230x y z x y -++=-+= 取x ＝3，则y ＝2，z ＝
1，∴()13,2,1n =
面BCF 的一个法向量为()20,0,1n = 则cos<12,n n >=
1212
1414
n n n n
⋅=
⋅. 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－14
22．(1)见解析；（2）d 的取值范围为40,3⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【解析】试题分析：（1）设直线():2l y k x =-，代入2
212
x y +=中得： ()2
2
22128820k x
k x k +-+-=，由斜率公式表示出直线,AF BF 的斜率，结合韦达定理计算斜率
之和，即可作出判断；（2）设直线:l y kx b =+，代入
2
212
x
y +=中得： ()2
2
2124220k x
kbx b +++-=，根据韦达定理，表示出直线,AF BF 的斜率，令斜率之积为1-，
得出,k b 的关系，根据判别式得出b 的范围，代入点到直线距离公式得出d 与b 的关系，利用基本不等式得出d 的范围.
试题解析：（1）设直线():2l y k x =-，代入2
212
x y +=中得： ()2
2
22128820k x
k x k +-+-=.
设()()221122121222
882
,,,,,1212k k A x y B x y x x x x k k -+==++则，
又F(1，0)， ()()121212121212234111
FA FB kx x k x x k y y
k k x x x x x x -++∴+=
+=
---++ 又()22
121222
82823423401212k k kx x k x x k k
k k k k --++=-+=++ 0FA FB k k ∴+=，即直线FA 、FB 的斜率之和是定值0.
（2）设直线:l y kx b =+，代入2
212x y +=中得： ()222124220k x kbx b +++-=. ()
228210,k b ∴∆=+->
设()()23344343422
422
,,,,,1212kb b A x y B x y x x x x k k
--+==++则， 若FA FB ⊥,则33443434••11111
FA FB y kx b y
kx b k k x x x x ++∴=
==----- 即()
()()22
34341110k x x kb x x b ++-+++=，
将2343422
422
,1212kb b x x x x k k --+==++代入并化简得： 2
2
133410,4b b kb k b
-+-==即，
代入判别式得422
10b b ++>恒成立，
d ∴=
=
=
故d 的取值范围为40,
3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.。