8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)

∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
（1）求证：平面ABFE 平面CDEF； N
2 求六面体ABCDEF的体积.
证: (1)取EF的中点N，连接MN，DN，MD. 根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，又M，N分别为AB，EF的中点，
∴MN⊥EF，MN＝2. 由题意得 DN＝ DE2＋EN2＝ 5，又 MD＝3， ∴MN2＋DN2＝22＋( 5)2＝9＝MD2， ∴MN⊥DN， 又∵EF∩DN＝N，
判定
判定
判定
线线垂直
线面垂直
面面垂直
性质
定义
性质
课堂总结
1．面面垂直的性质定理 2．面面垂直的综合应用
作 业：
课本P161 练习 课本P162 习题8.6
1,2,3,4 5,9,10
本课结束
宫春雨制作
面面垂直的性质定理的应用
【问题】如果两个平面垂直，还有什么性质呢？
探究
如图所示，设 ，P ,过P作平面的垂线m(m ),则直线m与具有什么位置关系？
如图所示，设 ，P ,过P作平面的垂线m(m ),求证：直线m 。
【证明】：事实上，过一点只能作一条直线与已知直线垂直。
Pm
因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。
c
如图所示，设 c,过P点在内作直线b c,由线面垂直的性质可知，b ,
又 m , m b P,m与b重合，从而，m在平面内，即：m .
面面垂直的综合应用
面面垂直的综合应用
例4.如图所示，已知平面 平面，直线a ，a ,求证：a / /
证明：在平面内作垂直于平面 与平面 交线的直线b，
（1）求证：平面ABFE 平面CDEF； N
2 求六面体ABCDEF的体积.
解（2）连接CE，则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C－ABFE＋V三棱锥A－CDE.
由(1)知MN⊥平面CDEF，又MN∥BF∥AE，∴BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，
∴BF⊥CF，又CF⊥EF，BF∩EF＝F，∴CF⊥平面ABFE，
∴MN⊥平面CDEF. 又MN⊂平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF.
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
ab b OB O
b、OB
a
a B
bO
面面垂直性质定理的应用
面面垂直的性质定理的应用
例1：判断正误
(1)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(
)
(2)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.(
)
(3)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.(
温故知新
二面角的有关概念
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2. 相 关 概 念 ： (1)这条直线叫做二面角的 棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面 .
3.画法：
面 棱
面
4.记法： 二面角α－l－β 或二面角α－AB－β 或二面角P－l－Q 或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：
证明：(2)∵E，F 分别为 PC，PB 的中点，∴EF 为△PCB 的中位线，∴EF∥BC，
又∵EF⊄平面 ACB，BC⊂平面 ACB，∴EF∥平面 ABC， 又∵EF⊂平面 AEF，且平面 AEF∩平面 ABC＝l，∴EF∥l，故 l∥BC，
由(1)知，BC⊥AC，∴l⊥AC.
面面垂直的关系 直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
面面垂直的性质定理的应用
例3：已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
P
求证：BC⊥平面PAB.
证明：过点A作AD⊥PB，垂足为D.
∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平
D
P∴BACD=⊥PB平，面PBC.
A
∵BC平面PBC，∴BC⊥AD.
C
又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
面面垂直的性质定理
【问题】如果两个平面垂直，有什么性质呢？ 即是：在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些重要结论？
第一研究两个平面互相垂直，其中一个平面内的直线与Байду номын сангаас一个平面具有什么位置关系.
研究：黑板所在的平面与地面所在的 平面垂直。
是否在黑板所在的平面内任意一条直线
都与地面所在的平面垂直呢？？？
证：如题图(1),在梯形ABCD中,AD＝CD＝2,∠ADC＝90°， 过C作CE⊥AB，E为垂足，∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，
如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC， 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.
与面面平行不一样了， 如果两个面平行，在其 中一个面内任意一条直 线都与另一个平面平行 黑板面与地面垂直，黑板 面内的直线满足什么条件 才能与地面垂直呢？
面面垂直的性质定理
文字语言： 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线
与另一个平面垂直.
符号语言：
α⊥β
图形语言：
证明：由棱柱的性质知，四边形 BCC1B1 为平行四边形，
∵BC＝CC1，∴四边形 BCC1B1 为菱形，∴B1C⊥BC1，
又∵平面 A1BC1⊥平面 BCC1B1，且平面 A1BC1∩平面 BCC1B1＝BC1，
∵B1C⊂平面 AB1C，∴平面 AB1C⊥平面 A1BC1.
巩固练习
2：C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点， 记平面AEF与平面ABC的交线为l. (1)求证：平面PBC⊥平面PAC. (2)求证：直线l⊥AC.
证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC⊥CB，
又∵平面 PAC⊥平面 ABC，且平面 PAC∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC，∴BC⊥平面 PAC，
又∵BC⊂平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 PAC.
巩固练习
2：C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点， 记平面AEF与平面ABC的交线为l. (1)求证：平面PBC⊥平面PAC. (2)求证：直线l⊥AC.
(2)边在两个面内； (3)边垂直于棱.
面面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个
平面互相垂直. α
β
a
A
b
记作：α⊥β
面面垂直的判定定理
【定理】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
β a
α
A
a a 面
简记：线面垂直
面面垂直
面面垂直性质定理
α b
∩
β＝a
β
b
⊥
α
b a
a ⊥ b
简记：面面垂直
线面垂直
面面垂直的性质定理
【定理证明】如图所示， ， ＝b，a ，a b，求证：a
【证明】设a b O，
在平面内，过O作直线OB，使得OB b,
a与直线OB所成的角即为二面角 - b -
一个平面角， ， a OB.
a OB.
)
(4) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（
）.
面面垂直的性质定理的应用
例2：若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( D )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
例3：若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是( C ). (1) 平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线. (2) 平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线. (3) 平面α内的任一条直线必垂直于平面β. (4) 过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β.