05年高考天津卷-数学文

2005年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟. 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).
如果事件A 、B 相互独立，那么
P (A ·B )＝P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
P n (k )＝C k n P k (1－P )
n －k
球的体积公式
V 球＝43
πR 3
其中R 表示球的半径.
柱体(棱柱、圆柱)的体积公式
V 柱体＝Sh .
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1.集合A ＝{x |0≤x <3且x ∈N}的真子集的个数是( )
2.已知log 12
b <log 12
a <log 12
c ，则( ) >2a >2c B.2a >2b >2c C.2c >2b >2a D.2c >2a >2b
3.某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为( )
4.将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2
＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )
A.－3或7
B.－2或8 或10 或11
5.设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是( ) A.α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l B.α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ C.α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α ⊥α，n ⊥β，m ⊥α
6.设双曲线以椭圆x 225＋y 2
9
＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线
的渐近线的斜率为( )
A.±2
B.±4
3
C±12 D.±34
7.给出下列三个命题：
①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b
1＋b
.
②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n
2
.
③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2
＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2
＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切.
其中假命题．．．
的个数为( ) 8.
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
，x ∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为
( )
＝－4sin(π8x ＋π
4)
＝4sin(π8x －π
4)
＝－4sin(π8x －π
4)
＝4sin(π8x ＋π
4
)
9.若函数f (x )＝log a (2x 2
＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12
)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调
递增区间为( )
A.(－∞，－14)
B.(－1
4
，＋∞)
C.(0，＋∞)
D.(－∞，－1
2
)
10.设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在(0,3)内单调递减，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则下面正确的结论是( )
<f <f <f <f <f <f <f <f
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11.二项式(3
x －1x
)10的展开式中常数项为 (用数字作答).
12.已知|a →
|＝2，|b →
|＝4，a →
与b →
的夹角为π
3
，以a →、b →
为邻边作平行四边形，则此平行四
边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
13.如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a .则异面直线PB 与AC 所成角的
正切值等于 .
14.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *
)，则S 10＝ .
15.设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ，则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1
x
)的定义域为 .
16.在三角形的每条边上各取三个分点(如图).以这9个分点为顶点可画出若干个三角
形.若从中任意抽取一个三角，
则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为 (用数字作答). 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分)
已知sin(α－π4)＝7210，cos2α＝725，求sin α及tan(α＋π
3
).
18.(本小题满分12分)
若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1且满足
a n ＝a n －1＋a n －2
2
(n ＝3,4，…).
(Ⅰ)求c 的值.
(Ⅱ)求数列{na n }的前n 项和S n .
19.(本小题满分12分)
如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠A 1AB ＝∠A 1AC ，AB ＝AC ，A 1A ＝A 1B ＝a ，侧面B 1BCC 1
与底面ABC 所成的二面角为120°，E 、F 分别是棱B 1C 1、A 1A 的中点.
(Ⅰ)求A 1A 与底面ABC 所成的角； (Ⅱ)证明A 1E ∥平面B 1FC ；
(Ⅲ)求经过A 1、A 、B 、C 四点的球的体积. 20.(本小题满分12分)
某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示.塔高BC ＝80(米)，塔所在的山高OB ＝220(米)，OA ＝200(米)，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水
平地面的夹角为α，tan α＝1
2
.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大(不
计此人的身高)
21.(本小题满分14分) 已知m ∈R ，设
P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，不等式|m 2－5m －3|≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立；
Q ：函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋4
3
)x ＋6在(－∞，＋∞)上有极值.
求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围. 22.(本小题满分14分)
抛物线C 的方程为y ＝ax 2
(a <0)，过抛物线C 上一点P (x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1、k 2
的两条直线分别交抛物线C 于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同)，且满足k 2＋λk 1＝0 (λ≠0且λ≠－1).
(Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB 上一点M ，满足BM ＝λMA ，证明线段PM 的中点在y 轴上；
(Ⅲ)当λ＝1时，若点P 的坐标为(1，－1)，求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.
2005年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
[解析]A ＝{0,1,2}.
∴真子集的个数为C 03＋C 13＋C 2
3＝7
[解析]∵0＜1
2＜1
∴f (x )＝log 1
2x 为减函数 ∴b ＞a ＞c
又∵y ＝2x
为增函数 ∴b ＞a ＞c ∴2b ＞2a ＞2c
[解析]独立重复事件的概率
C 2
3··＝54125
[解析]先平移一个单位得到直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0即2x －y ＋λ＋2＝0.圆的标准
方程为(x ＋1)2＋(y －2)2
＝5
∴圆心(－1,2)到2x －y ＋λ＋2＝0的距离为r ＝5
即 r ＝|2x (－1)－2＋λ＋2|
5
＝ 5 ∴|λ－2|＝5 λ＝－3或7.
[解析]考查《立体几何》中线面垂直的判定和充要条件的概念.
[解析]考查椭圆、双曲线的方程及性质.
依题意：求出双曲线的方程为x 220－y 25＝1，渐近线的方程为y ＝±1
2
x .
[解析]考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系.
命题①，命题②用“分析法”便可证明其正确性，命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题.
[解析]x ＝0时，y ＜0 ∴C 、D 不对. x ＝－2时，y ＝0 ∴B 不对，选A.
[解析]令u ＝2x 2
＋x .可知0＜u ＜1 由f (x )＞0 可知0＜a ＜1
∴应该求u ＝2x 2
＋x 的递减区间且u ＞0.
∴－∞＜x ＜－1
2
.
10.[解析]f ＝f (6＋＝f f ＝f (3＋＝f (3－＝f
∵在(0,3)内递减 ∴f ＜f ＜f [解析]显然常数项为
C 4
10(33x )6·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x 4＝C 410＝210.
[解析]形解，如图：显然a →－b →与a →
垂直.|
|a →－b →
＜|
|
a →＋
b →
∴|
|
a →－
b →
＝2 3.
[解析]考查异面直线所成的角及三垂线定理等有关内容. 过B 点作BD ∥AC 且BD ＝AC ，连接AD ，则∠PBD 为异面直线PB 与AC 所成的角.易求tan ∠PBD ＝ 2.
[解析]考查等差数列求和及归纳的数学思想.
由已知得a 3－a 1＝0，a 4－a 2＝2，a 5－a 3＝0，a 6－a 4＝2……，所以数列{a n }的奇数项等
差，公差为0；偶数项等差，公差为2，所以S 10＝5＋5×2＋1
2
×5×4×2＝35
15.(－2，－1)∪(1,2) [解析]f (x 2)＝ln 1＋x
21－x 2
＝ln 2＋x
2－x
f (1x )＝ln 1＋1x 1－
1x
＝ln x ＋1
x －1
定义域为⎩⎪⎨⎪⎧
2＋x 2－x ＞0
x ＋1
x －1＞0
(－2，－1)∪(1,2)
[解析]一共可以作C 3
9－3＝81个三角形
在不同边上的三角形可作C 13·C 13·C 1
3＝27个 ∴2781＝13
. 17.本小题考查两角和差的三角公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力. 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 7210＝sin(α－π4)＝22(sin α－cos α)，即 sin α－cos α＝7
5. ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得
725＝cos2α＝cos 2α－sin 2
α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－75
(cos α＋sin α)，故cos α＋sin α＝－1
5
. ②
由①式和②式得 sin α＝35，cos α＝－45.因此，tan α＝－3
4
.由两角和的正切公式
tan(α＋π3)＝tan α＋3
1－3tan α＝3－
341＋
334
＝43－34＋33
＝48－25311.
18.(Ⅰ)解：由题设，当n ≥3时，a n ＝c 2
a n －2，a n －1＝ca n －2，a n ＝a n －1＋a n －22＝1＋c 2
a n －2.由
题设条件可得a n －2≠0，因此c 2＝1＋c 2
，即2c 2
－c －1＝0.
解得 c ＝1或c ＝－1
2
.
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论.当c ＝1时，数列{a n }是一个常数列，即 a n ＝1(n ∈N *).这时，数列{na n }的前n 项和
S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
.
当c ＝－12时，数列{a n }是一个公比为－12的等比数列，即a n ＝(－12
)n －1(n ∈N *
).这时，数
列{na n }的前n 项和
S n ＝1＋2(－12)＋3(－12)2＋…＋n (－1
2
)n －1. ①
①式两边同乘－12，得－12S n ＝－12＋2(－12)2＋…＋(n －1)(－12)n －1＋n (－12
)n
. ②
①式减去②式，得 (1＋12)S n ＝1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1－n (－12)n
＝
1－(－12)
n
1＋1
2
－n (－12)n .所以 S n ＝19[4－(－1)n 3n ＋22n －1]
(n ∈N *
).
19.(Ⅰ)解：过A 1作A 1H ⊥平面ABC ，垂足为H .连接AH ，并延长交BC 于G ，连接EG ，于是∠A 1AH 为A 1A 与底面ABC 所成的角.∵∠A 1AB ＝∠A 1AC ，∴AG 为∠BAC 的平分线.又∵AB ＝
AC ，∴AG ⊥BC ，且G 为BC 的中点.
因此，由三垂线定理，A 1A ⊥BC .
∵A 1A ∥B 1B ，且EG ∥B 1B ，∴EG ⊥BC .于是∠AGE 为二面角A ­BC ­E 的平面角，即∠AGE ＝120°.由于四边形A 1AGE 为平行四边形，得∠A 1AG ＝60°.所以，A 1A 与底面ABC 所成的角
为60°.
(Ⅱ)证明：设EG 与B 1C 的交点为P ，则点P 为EG 的中点.连接PF .
在平行四边形AGEA 1中，因F 为A 1A 的中点，故A 1E ∥FP .而FP ⊂平面B 1FC ，A 1E ⊄平面
B 1F
C ，所以A 1E ∥平面
B 1F
C .
(Ⅲ)解：连接A 1C .在△A 1AC 和△A 1AB 中，由于AC ＝AB ，∠A 1AC ＝∠A 1AB ，A 1A ＝A 1A ，则△A 1AC ≌△A 1AB ，故A 1C ＝A 1B .
由已知得A 1A ＝A 1B ＝A 1C ＝a .
又∵A 1H ⊥平面ABC ，∴H 为△ABC 的外心.
设所求球的球心为O ，则O ∈A 1H ，且球心O 与A 1A 中点的连线OF ⊥A 1A .在Rt △A 1FO 中，
A 1O ＝A 1F cos ∠AA 1H ＝12a cos30°＝3a 3.故所求球的半径R ＝33a .球的体积V ＝43πR 3＝43π(33a )
3
＝4327
πa 3
.
20.解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A (200,0)、B (0,220)、C (0,300).直线l
的方程为y ＝(x －200)tan α，即 y ＝x －200
2
.设点P 的坐标为(x ，y )，则P (x ，
x －200
2
)(x >200). 由经过两点的直线的斜率公式
k PC ＝x －200
2－300x ＝x －800
2x ，
k PB ＝x －200
2－220x ＝x －640
2x
.
由直线PC 到直线PB 的角的公式得
tan ∠BPC ＝k PB －k PC 1＋k PB ·k PC ＝1602x 1＋x －8002x ·
x －6402x
＝64x
x 2－288x ＋160×640
＝
64
x ＋160×640x
－288
(x >200).
要使tan ∠BPC 达到最大，只须x ＋160×640
x
－288达到最小.由均值不等式
x ＋
160×640x －288≥2160×640－288，当且仅当x ＝160×640
x
时上式取得等号.故当x
＝320时tan ∠BPC 最大.这时，点P 的纵坐标y 为y ＝320－200
2
＝60.
由此实际问题知，0<∠BPC <π
2
，所以tan ∠BPC 最大时，∠BPC 最大.故当此人距水平地
面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.
21.解：(1)由题设x 1和x 2是方程x 2
－ax －2＝0的两个实根，得
x 1＋x 2＝a 且x 1x 2＝－2，所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a ∈[－1,1]时，
a 2＋8的最大值为9，即|x 1－x 2|≤3.
由题意，不等式|m 2
－5m －3|≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立的m 的解集等于不等式|m 2
－5m －3|≥3的解集.
由此不等式得m 2－5m －3≤－3 ①或m 2
－5m －3≥3. ②
不等式①的解为0≤m ≤5.不等式②的解为m ≤－1或m ≥6.因此，当m ≤－1或0≤m ≤5或m ≥6时，P 是正确的.
(2)对函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋43)x ＋6求导f ′(x )＝3x 2
＋2mx ＋m ＋43
.令f ′(x )＝0，
即3x 2
＋2mx ＋m ＋43
＝0.
此一元二次方程的判别式△＝4m 2－12(m ＋43
)＝4m 2
－12m －16.
若△＝0，则f ′(
因此，f (x 0)若△>0
因此，12当且仅当△>0
时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极值.由△＝4m 2
－12m －16>0得m <－1或m >4，因此，当m <－1或m >4时，Q 是正确的.综上，使P 正确且Q 正确时，实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，＋∞).
22.(Ⅰ)解：由抛物线C 的方程y ＝ax 2
(a ＜0)得，焦点坐标为(0，14a
)，准线方程为y ＝
－14a
. (Ⅱ)证明：设直线PA 的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，直线PB 的方程为 y －y 0＝k 2(x －x 0).
点P (x 0，y 0)和点A (x 1，y 1)的坐标是方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
y －y 0＝k 1(x －x 0) ①y ＝ax 2 ②
的解.将②式代入①式得ax 2
－k 1x ＋k 1x 0－y 0＝0，于是x 1＋x 0＝k 1
a
，
故x 1＝k 1a
－x 0 ③
又点P (x 0，y 0)和点B (x 2，y 2)的坐标是方程组 ⎩
⎪⎨⎪⎧
y －y 0＝k 2(x －x 0) ④
y ＝ax 2
⑤
的解.将⑤式代入④式得ax 2
－k 2x ＋k 2x 0－y 0＝0，于是x 2＋x 0＝k 2
a
， 故x 2＝k 2a
－x 0
由已知得，k 2＝－λk 1，则x 2＝－λa
k 1－x 0. ⑥ 设点M 的坐标为(x M ，y M )，由BM ＝λMA ，则
x M ＝x 2＋λx 1
1＋λ
将③式和⑥式代入上式得
x M ＝－x 0－λx 0
1＋λ
＝－x 0，
即x M ＋x 0＝0.所以，线段PM 的中点在y 轴上.
(Ⅲ)解：因为点P (1，－1)在抛物线y ＝ax 2
上，所以a ＝－1，
抛物线方程为y ＝－x 2
.
由③式知x 1＝－k 1－1，代入y ＝－x 2得y 1＝－(k 1＋1)2
.
将λ＝1代入⑥式得x 2＝k 1－1，代入y ＝－x 2得y 2＝－(k 1－1)2
. 因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为
A (－k 1－1，－k 21－2k 1－1)，
B (k 1－1，－k 2
1＋2k 1－1). 于是
AP ＝(k 1＋2，k 21＋2k 1)， AB ＝(2k 1,4k 1)，
AP ·AB ＝2k 1(k 1＋2)＋4k 1(k 21＋2k 1)
＝2k 1(k 1＋2)(2k 1＋1).
因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有AP ·AB ＜0，即
k 1(k 1＋2)(2k 1＋1)<0. 求得k 1的取值范围为k 1<－2或－1
2<k 1<0.
2点A 的纵坐标y 1＝－(k 1＋1)2
，故当k 1<－2时，y 1＝－1；
当－12<k 1<0时，－1<y 1<－1
4
.所以，∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围为：(－
∞，－1)∪(－1，－1
4
).。