(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．16
2．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且
2AB AC ==，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
3．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12
．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）
A ．14-
B ．12-
C ．0
D ．12 4．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．夹角是锐角 D ．夹角是钝角
5．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =
，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199 B ．4122- C ．111- D ．1711
6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝
13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2
7．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( )
A ．1()2a b +
B ．1()2a b -
C ．12a b +
D ．12
a b +
8．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）． A ．5 B ．5 C ．42 D ．31
9．已知向量13,
22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ） A ．3 B ．32 C ．4 D ．42 10．直线0ax by c 与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为
圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-
B ．[]2,4-
C ．[]1,4
D ．[1,4]- 11．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=
-∈，则||AP 的最大值是( ) A ．33 B ．37 C ．39 D ．41 12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()
0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）
A ．22
B ．122+
C ．222+
D ．42 二、填空题
13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则AB AC
的值为___________.
14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.
15．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．
16．已知3a =，2b =，()()
2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____． 17．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.
18．ABC 中，2AB BA BC =⋅，0OA OC AB ++=，且1OA AB ==，则CA CB ⋅=______.
19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899
=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）
20．已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为2554
，则实数λ=__________. 三、解答题
21．已知平面非零向量a ，b 的夹角是
23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；
（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 22．设()2,0a →=，(3b →=. （1）若a b b λ→→→
⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值； （2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为
6π，求x ，y 的值. 23．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-.
（1）若()
a b a λ+⊥，求实数λ的值；
（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角. 24．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点．
（1）若AB AC ⊥求实数m 的值；
（2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．
25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =.
（1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；
（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值.
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．
（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值；
（2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.
【详解】
()
3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，
所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．C
解析：C
【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=
，代入计算可求出最小值.
【详解】
解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则BC =M 为BC 的中点，所以
AM =设OA x =，(0x ≤≤
()2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅
)()
2222OA OM x
x x =-⋅=-= 2
21x ⎛=-- ⎝⎭
所以当2x =，即22OA =时，原式取得最小值为1-. 故选：C.
【点睛】
方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；
（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可. 3．C 解析：C 【分析】 记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=
，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】 记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=
， ∵()()2a b a b λ+⊥-，
∴()()()221322221(2)022
a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=，
故选：C ． 【点睛】
结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a b θ⋅=
；
（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=． 4．D
解析：D
【分析】
首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.
因为()2,3a =，()4,2b =，
2
22()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，
所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目. 5．D
解析：D
【分析】
设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.
【详解】
设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-， 即11222
m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122n OE AE AO AC mAB -=-=
-， 因为212·
||?02m OD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02
n OE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502n m -⨯-=，联立方程组124502129502
m n n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩， 解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以17211n m -=. 故选D
【点睛】
本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．C
【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得12
AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232
BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛
⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21936334
=-⨯+⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7．D
解析：D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点，
又,AB a BC b ==，
所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+
=+， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 8．B
解析：B
【分析】
由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.
【详解】
由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.
【点睛】 求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.
9．B
解析：B
【分析】
首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .
【详解】 设(0,0)A ,(),C x y
BC AC AB =-
()1,,22x y ⎛⎫ ⎝- =⎪⎪⎭
1,22x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 3AB BC ⋅=
11,32222x y ⎛⎫⎛∴⋅--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
即38x y += （1）
5AC =又
2225x y ∴+= （2）
(C x B =
=
将（1）（2）代入上式解得： 258132BC =-+=
故选B
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.
10．A
解析：A
【分析】
取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出
1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-， ()()PM PN OM OP ON OP
⋅=-⋅-()224cos OM ON OP
OP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从
而得解.
【详解】 解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，
∵222c a b =+，
∴点O 到直线MN 的距离221OA a b =
=+， 在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠=
=， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭
， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，
∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-
2
()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+
24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠ 24cos AOP =-∠，
当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-；
当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=.
∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-.
故选：A.
【点睛】
本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.
11．B
解析：B
【分析】
以A 为原点，以AB 所在的直线为x
轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．
【详解】
解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，
510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2
A =
，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，
5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，
(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C
，，
设点P 为(,)x y ，05x ，03y
，
3255
AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55
y =，20)(55λ-
，(32λ=-
，)-，
∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，
3)y x ∴=-，①
直线BC 的方程为5x =，②，
联立①②
，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
此时||AP 最大， 22||5(23)37AP ∴=+=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题． 12．C
解析：C
【分析】
不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()
0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解．
【详解】 ∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，
则()()
(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，
∴点(,)C m n 在以(1,1)M 2M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，
又OC 的最大值是圆M 的直径2
∴d 最大值为222．
故选：C ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．
二、填空题
13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为： 3
【分析】
将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.
【详解】
因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭
22111263
AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以
2211026AC AB -=，即||3AB AC =， 所以=3AB AC
314．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【
解析：33+ 【分析】 设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到
232CB CA CD ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，再由2OA OB AB -≤=，得到2||2OA OB OD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
的范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+求解. 【详解】 设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：
因为||2,||2||a b a b -==，
所以||2,||2||AB OA OB ==，
取AB 中点为D ，
因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，
所以22
22||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=，
解得228CB CA +=， 所以2
2212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭
所以点C 是以D 3的圆上运动，
又因为2OA OB AB -≤=，
所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号， 所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪， ()2110432OB ==-≤，
所以||||||||33c OC OD DC OD =≤+≤+≤.
【点睛】 关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是CB CD ⎛= ||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭
2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解. 15．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两 解析：3或0
【分析】
由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模． 【详解】 由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，
当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=；
当,,a b c →→→
两两夹角为120︒时，由于1a b c ===，
则
2222222a b c a b c a b a c b c →→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，
则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→
++=.
综上a b c →→→++的值为3或0.
故答案为：3或0.
【点睛】
本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.
16．【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得的值利用平面向量数量积的定义可求得与的夹角的余弦值由此可求得与的夹角【详解】设与的夹角为则所以故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量 解析：3
π
【分析】
利用平面向量数量积的运算律可求得a b ⋅的值，利用平面向量数量积的定义可求得a 与b 的夹角的余弦值，由此可求得a 与b 的夹角.
【详解】 3a =，2b =，()()2223618a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=-，
2222618362183a b a b ∴⋅=-+=-⨯+=，
设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅=
=⋅，0θπ≤≤，所以，3πθ=. 故答案为：
3π. 【点睛】
本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 17．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题
解析：52
【分析】
根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.
【详解】
因为0a b c d +++=，
所以++=-a b c d ，
所以()()22
++=-a b c d ，
所以()()()()2222
222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，
所以132
⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=
a b a c b c b . 故答案为：
52 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．3【分析】由得出由得是中点在直角三角形中求出角再根据数量积的定义计算【详解】由得所以又所以是中点如图中所以所以故答案为：3【点睛】本题考查向量的数量积解题关键由已知数量积为0得出直角三角形由向量的线 解析：3
【分析】
由2AB BA BC =⋅得出AB AC ⊥，由0OA OC AB ++=得O 是BC 中点，在直角三角形中求出角C ，再根据数量积的定义计算．
【详解】
由2AB BA BC =⋅得22
()0AB BA BC AB AB BC AB AB BC AB AC -⋅=+⋅=⋅+=⋅=，所以AB AC ⊥，又0OA OC AB OB OC ++=+=，所以O 是BC 中点，如图Rt ABC 中，1AB =，1OA OB OC ===，所以30C =︒，22213AC =-=，
所以23cos303CA CB ⋅=⨯︒=．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查向量的数量积，解题关键由已知数量积为0得出直角三角形，由向量的线性运算得出O 是BC 中点．
19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解
解析：①②④
【分析】
射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到
(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而
(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论
【详解】
解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，
则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，
且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且
(1)1rt r t r +-=≥．
又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥．
对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==
，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件．
对于②中31,(1)43rt r t =
-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件，
对于③31,(15)4rt r t =
-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =
-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题． 20．5或【分析】利用重心的性质把AG 用AMAN 表示再由MGN 三点共线得关于的方程再由三角形面积比得关于的另一方程联立即可求得实数入的值【详解】如图设因为G 为的重心所以因为三点共线所以即①②由①②解得或故 解析：5或
54
【分析】
利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于,u λ的方程，再由三角形面积比得关于,u λ的另一方程，联立即可求得实数入的值.
【详解】
如图，
设AN AC μ→→=，
因为G 为ABC 的重心， 所以11111(1)3333AG AB AC AM AN λμ
=+=++， 因为,,M G N 三点共线， 所以1
11(1)133λμ++=，即112u
λ+=①， 5425ABC AMN S S ∆∆=， 1sin 542125
sin 2
AB AC A AM AN A ⋅⋅∴=⋅⋅， 1154(1)25
u λ∴+⋅=②， 由①②解得，559u λ=⎧⎪⎨=⎪⎩或 5456u λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故答案为：5或
54 【点睛】
关键点点睛：根据重心及三点共线可求出λ和u 的关系，再根据三角形的面积比得出λ和u 的另一关系，联立方程求解是关键，属于中档题.
三、解答题
21．（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 【分析】 （1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；
（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案.
【详解】
（1）向量a ，b 的夹角是23
π，由27a b +=得()()()22222224144cos 73
a b a b a b b b π+=++⋅=++=， 解得32b =，1b =-舍去，所以32
b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23
π
得221cos 322t
a b π===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去，
因为(2,3)(3,a b t -=-
-=，
设单位向量(,)e x y =，所以22
1x y +
=，又e 与a b -共线， 所以3y =，求得212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或21
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量. 22．（1）1
2λ=
；（2）1x =，1y =或1x
=-，2y =. 【分析】
（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；
（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.
【详解】
（1）∵()2,0a →=，(b →=，
∴()2,a b λλ→→-=-，
∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭
，即240λ-=，
∴12
λ=. （2）∵()2,0a →=
，(b →=，
∴()2m x a y b x y →→→=+=+，
又m →=，
∴()222312x y y ++=，
又cos 62m b m b π→→
→→⋅===， 即23x y +=，
由()22231223
x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩
， ∴1x =，1y =或1x =-，2y =.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 23．（1）1；（2）
34π. 【分析】
（1）先求得a λb +，然后利用()0a b a λ+⋅=列方程，解方程求得λ的值. （2）求得,c d 的坐标，利用夹角公式计算出c 与d 的夹角的余弦值，由此求得c 与d 的夹角.
【详解】
（1）由()1,2a =-，()3,1b =-得()13,2a b λλλ+=-+-，
因为()a b a λ+⊥，所以()
0a b a λ+⋅=，
所以()()13220λλ--++-=， 即550λ-+=，
解得1λ=；
（2）由()1,2a =-，()3,1b =-得 ()25,5c a b =-=-，()25,0d a b =+=，
所以25c d ⋅=-，52c =，5d =，
设向量c 与d 的夹角为θ，则cos
2θ=
=- 又因为[]0,θπ∈，所以34πθ=
， 即向量c 与d 的夹角为
34
π. 【点睛】 本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，考查向量线性运算的坐标表示，属于中档题.
24．（1）1；（2）
【分析】
（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.
（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABC S AB AC =⨯⨯求解. 【详解】
（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，
所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--，
又因为AB AC ⊥，
所以4(1)40m --+=，
解得 2m =.
（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==
所以11422
ABC S AB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
25．（1）(3,6)b =或(3,6)b =--；（2）10-
. 【分析】
（1）设(,)b x y =，由//a b ，和35b =，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解； （2）由()()
2a c a c +⊥-，求得3a c ⋅=-，结合夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）设(,)b x y =，因为//a b ，所以2y x =， ①
又因为35b =，所以2245x y +=， ②
由①②联立，解得(3,6)b =或(3,6)b =--.
（2）由已知()()2a c a c +⊥-，可得()()22220a c a c a c a c +⋅-=--⋅=， 又由5a =，2c =，解得3a c ⋅=-，所以35cos a c a c θ⋅=
=- 【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题.
26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．
【分析】
（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；
（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.
【详解】
（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，
又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，
所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，
即5120k -+=，解得2k =-；
（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，
所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，
所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，
所以实数k 的取值范围是2k ≠-.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。