高考数学一轮复习课件——第2节 一元二次不等式及其解法

所以α∈[0, π ]∪[ 5π ,π].
6
6
答案:(2)[0, π ]∪[ 5π ,π]
6
6
︱高中总复习︱一轮·理数
反思归纳 x∈R,f(x)>a恒成立⇔[f(x)]min>a. x∈R,f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a. x∈R,f(x)<a恒成立⇔[f(x)]max<a. x∈R,f(x)≤a恒成立⇔[f(x)]max≤a.
︱高中总复习︱一轮·理数
【跟踪训练3】 (1)(2018·吕梁月考)若函数f(x)=(a2+4a- 5)x2-4(a-1)x+3 的图象恒在x轴上方,则a的取值范围是( ) (A)[1,19] (B)(1,19) (C)[1,19) (D)(1,19]
解析:(1)函数图象恒在 x 轴上方,即不等式(a2+4a-5)x2- 4(a-1)x+3>0 对于一切 x∈R
2 () (A){x|x<-1或x>-lg 2} (B){x|-1<x<-lg 2} (C){x|x>-lg 2} (D){x|x<-lg 2}
︱高中总复习︱一轮·理数
解析:因为 f(x)<0 的解集为 x<-1 或 x> 1 , 2
所以 f(x)>0 的解集为-1<x< 1 , 2
由 f(10x)>0,得-1<10x< 1 , 2
a
a
综上所述 a=0 时,不等式解集为{x|x>1};
0<a<1 时,不等式解集为{x|1<x< 1 }; a
a>1 时,不等式解集为{x| 1 <x<1}; a
a<0 时,不等式解集为{x|x< 1 或 x>1}; a
当 a=1 时,不等式解集为 .
︱高中总复习︱一轮·理数
考点三 一元二次不等式恒成立问题★★★ 考查角度1:在实数集R上恒成立 【例3】 (1)(2018·衡水周测)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则 实数a的取值范围为( ) (A)[-1,4] (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)(-∞,-1]∪[4,+∞) (D)[-2,5]
综上可知,a 的取值范围是 1≤a<19.故选 C.
︱高中总复习︱一轮·理数
(2)已知函数
f(x)=
x2 x, x 1,
log
1 3
x,
x＞1,
若对任意的
x∈R,不等式
f(x)≤m2-
3 4
m
恒成立,
则实数 m 的取值范围是( )
(A)(-∞,- 1 ] 4
(B)(-∞,- 1 ]∪[1,+∞) 4
.
解析:(2)由题意知Δ=64sin2α-32cos 2α≤0, 所以 2sin2α-cos 2α≤0, 即 1-cos 2α-cos 2α≤0,
所以 cos 2α≥ 1 ,所以 2kπ- π ≤2α≤2kπ+ π ,k∈Z.
2
3
3
所以 kπ- π ≤α≤kπ+ π ,k∈Z.又α∈[0,π],
6
6
︱高中总复习︱一轮·理数
【跟踪训练2】 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.
解:原不等式化为(ax-1)(x-1)<0.
①当a=0时,其解为x>1;
②当 0<a<1 时,其解为 1<x< 1 ;
③当
a>1
时,其解为
1
a <x<1;
a
④当a=1时,无解;
︱高中总复习︱一轮·理数
⑤当 a<0 时,不等式化为(x- 1 )(x-1)>0,其解为 x< 1 或 x>1.
(D)- 1 2
解析:因为一元二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1<x<2}, 所以方程 ax2+bx+1=0 的解为-1,2,
所以-1+2=- b ,(-1)×2= 1 ,
a
a
所以 a=- 1 ,b= 1 ,所以 ab=- 1 .
22
4
︱高中总复习︱一轮·理数
3.(2018·鞍山模拟)使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( C )
(A)x≥0
(B)x<0 或 x>2
(C)x∈{-1,3,5}
(D)x≤- 1 或 x≥3 2
解析:不等式 2x2-5x-3≥0 的解集是{x|x≥3,或 x≤- 1 }.由题意,选项中 x 的范 2
围应该是上述解集的真子集,只有 C 满足.
︱高中总复习︱一轮·理数
4.(2018·郴州模拟)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1},则a的值
(1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为 0,左边化为 f x 的形式.
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如:
gx
f x >0 ⇔ f(x)g(x)>0; gx
f x <0 ⇔ f(x)g(x)<0; gx
f g

x x
≥0⇔

f g
由-4x2-4x+3<0,得 4x2+4x-3>0,解得 x> 1 或 x<- 3 ,故选 A.
2
2
答案:(1)A
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(2)(2018·眉山模拟)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集
为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于
.
解析:(2)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2}, 由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.
x x
g
x
0;

0,
f g

x x
≤0⇔
f gx Fra bibliotekxg
x
0.

0,
︱高中总复习︱一轮·理数
对点自测
1.不等式 1 x ≥0的解集为(
2 x
B
)
(A)[-2,1]
(B)(-2,1]
(C)(-∞,-2)∪(1,+∞)
(D)(-∞,-2]∪(1,+∞)
解析:(1)由题意知x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.故选A.
答案:(1)A
︱高中总复习︱一轮·理数
(2)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,则α的
取值范围为
∩B 等于
.
解析:A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2}, 由x-1>0得x>1,即B={x|x>1}, 所以A∩B={x|1<x≤2}. 答案:(1,2]
︱高中总复习︱一轮·理数
【教师备用 巩固训练】 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 或 x> 1 },则 f(10x)>0 的解集为
即 0<10x< 1 ,解得 x<-lg 2.故选 D. 2
︱高中总复习︱一轮·理数
考点二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当 a>0 时,原不等式化为(x- 2 )(x+1)≥0,解得 x≥ 2 或 x≤-1.
︱高中总复习︱一轮·理数
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
函数与不等式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
︱高中总复习︱一轮·理数
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
解析:原不等式化为
1


x2

x

0,
即


x
1
x

2

0,
2 x 0,
x 2 0,
解得-2<x≤1.
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2.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<2},则ab的值为( B )
(A)1
(B)- 1 4
(C)4
为
.
解析:因为(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1},所以1-a<0,即a>1.
于是原不等式可化为
(a-1)x2+4x-6<0,a-1>0,

其解集为{x|-3<x<1}.
a＞1,

则方程(a-1)x2+4x-6=0的两根为-3和1.由3
解得a=3.
3
1 1
2
2
(B)(- 3 , 1 ) 22
(D)(- 1 , 3 ) 22
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解析:(1)由 f(x)>0,得 ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3),
所以
a<0.且
1baaab3,2,
解得
a=-1
或
a=
1 3
(舍去),
所以 a=-1,b=-3,所以 f(x)=-x2+2x+3,所以 f(-2x)=-4x2-4x+3,
答案:(2)-3
︱高中总复习︱一轮·理数
反思归纳 解一元二次不等式的步骤:(1)将二次项系数化为正数;(2)解相应的一元二次 方程;(3)根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图;(4)写出不等式的 解集.
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【跟踪训练 1】 设集合 A={x|x2+x-6≤0},集合 B 为函数 y= 1 的定义域,则 A x 1

4, a 1
6, a 1
答案:3
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5.(2018·广安诊断)不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数m的取值
范围是
.
解析:因为不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-16≤0,即4≤ m≤4.
答案:[-4,4]
︱高中总复习︱一轮·理数
有两相异 实根 x1,x2
(x1<x2)
{x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x <x2}
有两相等 实根 x1= x2=- b
2a {x|x≠x1}

无实根
R
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2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为
︱高中总复习︱一轮·理数
3.分式不等式解法
︱高中总复习︱一轮·理数
第2节 一元二次不等式及其解法
︱高中总复习︱一轮·理数
[考纲展示]
1.会从实际问题的情境中抽象出一 元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等 式与相应的二次函数、一元二次方 程的联系.
3.会解一元二次不等式,对给定的 一元二次不等式,会设计求解的程 序框图.
知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析
则 m2- 3 m≥ 1 恒成立,即 m≤- 1 或 m≥1.故选 B.
(C)[1,+∞)
(D)[- 1 ,1] 4
︱高中总复习︱一轮·理数
解析:(2)对于函数
f(x)=
x2 x, x 1,
log
1 3
x,
x＞1,
当
x≤1
时,f(x)=-(x-
1 2
)2+
1 4
≤
1 4
;
当
x>1
时,f(x)=
log1
3
x<0.则函数
f(x)的最大值为
1 4
.
则要使不等式 f(x)≤m2- 3 m 恒成立, 4
恒成立.
①当 a2+4a-5=0 时,有 a=-5 或 a=1.若 a=-5,不等式化为 24x+3>0,不满足题意;若 a=1,
不等式化为 3>0,满足题意.
②当
a2+4a-5≠0
时,应有
a2 16
4a 5＞0,
a 12 12
a2

4a 5
解得 ＜0,
1<a<19.
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 一元二次不等式的解法 【例1】 (1)(2018·安顺模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0 的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是( )
(A)(-∞,- 3 )∪( 1 ,+∞)
2
2
(C)(-∞,- 1 )∪( 3 ,+∞)
a
a
③当 a<0 时,原不等式化为(x- 2 )(x+1)≤0.
a
当 2 >-1,即 a<-2 时,解得-1≤x≤ 2 ;
a
a
︱高中总复习︱一轮·理数
当 2 =-1,即 a=-2 时,解得 x=-1 满足题意;当 2 <-1,即 a>-2 时,解得 2 ≤x≤-1.
a
a
a
综上所述,当 a=0 时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当 a>0 时,不等式的解集为{x|x≥ 2 ,或 x≤-1}; a
当-2<a<0 时,不等式的解集为{x| 2 ≤x≤-1}; a
当 a=-2 时,不等式的解集为{x|x=-1};
当 a<-2 时,不等式的解集为{x|-1≤x≤ 2 }. a
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反思归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零,还是大于零,若小于 零将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关 系,从而确定解集形式.