02平行四边形的性质和判定

二、平行四边形的性质和判定
题型一、角平分线与平行线的结合
例1如图， ABCD中，CE平分BCD，判断△BCE的形状．
【变式1】如图，在□ABCD中，已知AD＝8cm ，AB＝6cm ，DE
平分∠ADC交BC边于点E ，则BE等于cm。

【变式2】已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．
【变式3】如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．
G A
E
B C D
F
B
C A
2
1
E
D
3
【变式4】在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． ⑴ 在图1中证明CE CF =；
⑵ 若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出BDG ∠的度数； ⑶ 若120ABC ∠=︒，FG CE ∥，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求BDG
∠的度数．
题型二、灵活选用平行四边形的判定方法
例2在□ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ， 连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．
【变式1】已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形．求证：四边形ABOE 、四边形DCOE 都是平行四边形．
图1
图2
图3
A
B
C
F
E
D
A
D
B
E C
G
A
D
E
C
G
F
B
【变式2】如图：□ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．
【变式3】如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
题型三、平行四边形的边长和面积的计算
例3 已知□ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且
DE=，DF=，求平行四边形ABCD的面积．
【变式1】如右图所示，在 ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求 ABCD的周长．
【变式2】如图所示，E是 ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：S△ABF =S△EFC．
【变式3】如图所示， ABCD的周长是AB的长是DE⊥AB于E，DF ⊥CB交CB•的延长线于点F，DE的长是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的长．
【变式4】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD
AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．
(1) 求AC的长；
(2) 求△AOD的面积．
题型四、平行四边形与坐标
例4如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C 的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．
（1）求D点的坐标；
（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单
位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？
（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？
【变式1】（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所
示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C
的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示，请写出必要的推理过程）；
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD
处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；
题型五、平行四边形有关的动点问题
例5已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=30cm ，点P 自点A 向D 以1cm/s 的速度运动，到D 点即停止．点Q 自点C 向B 以2cm/s 的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形．问当P ，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
x
图4
0)
x
图1
0)
x
图2
x
图3
【变式1】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q 运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长．
题型六、平行四边形综合性问题
例6分别以平行四边形ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【变式1】如图1，P 为Rt △ABC 所在平面内任意一点（不在直线AC 上），∠ACB=90°，M 为AB 边中点．操作：以PA 、PC 为邻边作平行四边形PADC ，连续PM 并延长到点E ，使ME=PM ，连接DE ． 探究：
（1）请猜想与线段DE 有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P 按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明； （注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt △ABC ”改为“任意△ABC ”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE 有关的结论（直接写答案）．
巩固练习
1.四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O,给出下列四个条件：①AD ∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
2.如图所示，用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰三角形 D.梯形
3．如图，□ABCD 中，∠A 的平分线AE 交 CD 于E ，AB=5，BC=3，则EC 的长（ ） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、
3
第2题图
第3题图
A
B
C
D E
4．在□ABCD 中，AB=3㎝，BC=5㎝，则OA 的取值范围是（ ） A.2㎝＜OA ＜5㎝ B. 2㎝＜OA ＜8㎝ C. 1㎝＜OA ＜4㎝ D. 3㎝＜OA ＜8㎝
5.如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则
△ABE 的周长为（ ）
(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
5题
6.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o
，且AE+AF
=则平行四边形ABCD 的周长是 ．
7．在△ABC 中，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，过点P 分别作PE ∥AC 交AB
于点E ，PF ∥AB 交BC 于点D ，交AC 于点F ．若点P 在BC 边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB ．
请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P 分别在△ABC 内（如图2），△ABC 外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD ，PE ，PF 与AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．
8．如图□ABCD 中，∠ABC=60°，点E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BF ，垂足为点F ，DF=2
（1）求证：D 是EC 中点； （2）求FC 的长．
A B
C
O
E 6题
O
B
C
A
D。