2020-2021学年河南省郑州市八校高一下学期期中联考数学试题

2020-2021学年河南省郑州市八校高一下学期期中联考数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）．在试题卷上作答无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．sin70cos20cos70sin20︒︒+︒︒=（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．sin50︒ 2．化简AC BD CD AB -+-得（ ） A ．AB B ．DA C ．BC D ．0 3．已知
sin cos 1
sin 2cos 2
θθθθ+=-，则tan θ的值为（ ）
A ．14-
B ．4-
C ．1
4
D ．4 4．函数sin sin ||y x x =-的值域是（ ）
A ．[1,1]-
B ．[0,2]
C ．[2,2]-
D ．[2,0]-
5．将cos2y x =图象向左平移
6
π
个单位，所得的函数为（ ） A ．cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．cos 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
6．已知向量(5,3),(2,)a x b x =-=且a b ⊥则由x 的值构成的集合是（ ） A ．{2,3} B ．{1,6}- C ．{2} D ．{6} 7．已知函数2
()sin f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数
C ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称
8．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在单位圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若ABC 外接圆圆心为O ，半径为4，且220OA AB AC ++=，则CA CB ⋅的值为（ ） A ．2 B ．7 C 7 D ．14
10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是《算经十书》中最重要的一种，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积1
2
=
（弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB 等于6m ，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为
2
7m 2
，则cos AOB ∠=（ ） A ．
125 B ．325 C ．15 D ．7
25
11．已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象的一条对称轴是直线6
x π
=
，则函数
()sin 2cos2g x a x x =--的图象（ ）对称
A ．关于直线12
x π
=
对称 B ．关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．关于直线2
x π
=
对称 D ．关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
12．已知()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间,64ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．20,3⎛
⎤
⎥⎝⎦ B ．2260,7,33⎛
⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．2650
7,,1933⎡⎤
⎡⎤
⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D ．250
0,,1933⎛⎤
⎡⎤
⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数()sin 2f x x =，若()f x t +为偶函数，则最小的正数t 的值为________． 14．已知向量(3,1)a =-，(2,1)b =，则a 在b 方向上的投影为________．
15．若一个扇形的周长是为定值，则当该扇形面积最大时，其中心角的弧度数是______．
16．函数2
3()sin 0,42f x x x x π⎛⎫
⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最大值是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分） 已知2
2
π
π
α-
<<
，2
2
π
π
β-
<<
，且tan α、tan β是方程2
670x x ++=的两个根，求αβ+的值．
18．（本小题满分12分）
已知向量(3,2),(1,0)a b =-=-， （1）求|2|a b +；
（2）当[(3)]//(2)xa x b a b +-+时，求x 的值． 19．（本小题满分12分）
已知直线12l l //，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ．B 是直线2l 上一动点，作
AC AB ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，求ABC 面积的最小值．
20．（本小题满分12分）
设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，已知它的图象的一条对称轴是直线8
x π
=．
（1）求ϕ；
（2）求函数()f x 的单调递减．．区间． 21．（本小题满分12分）
已知向量(2cos ,1),(cos ,sin 2)m x n x x ==，()f x m n =⋅ （1）求()f x 的最小正周期和其图象的对称中心；
（2）若3212f α⎛⎫=+
⎪
⎝⎭
，其中,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求cos α的值． 22．（本小题满分12
分）
为应对“新八国联军”在南海的挑衅，海军某部在一海滨区域进行实战演练，该海滨区域的海浪高度y （米）随着时刻(024)t t 而周期性变化，为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表： t 0
3
6
9
12
15
18
21
24
y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
（1）从函数y ax b =+和函数sin()y A x b ωϕ=++0,0,||2A πωϕ⎛
⎫
>>< ⎪⎝
⎭
中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；
（2）如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段（一般认为早上七点到晚上七点之间为白天）．
2020-2021学年下期高一年级期中联考试题
数学参考答案及评分细则
一、选择题：1．C 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题：13．4
π
145 15．2 16．1 三：解答题：
17．解：由题意知tan tan 6,tan tan 7αβαβ+=-=
∴tan 0α<，tan 0β< 4分
又2
2
π
π
α-
<<
，22
π
β-
<<，
∴02
π
α-
<<，02
π
β-
<<．
∴0παβ-<+< 6分 ∵tan tan 6
()11tan tan 17
an αβαβαβ+-+=
==--， 8分
∴34
π
αβ+=-
10分 18．解：（1）2(3,2)(2,0)(1,2)a b +=-+-=-
|2|14a b +=+= 6分
（2）(3)(3,2)(3,0)(43,2)xa x b x x x x x +-=-+-=-- 当(3)//2xa x b a b +-+时，
2(43)(2)0x x ----=，
解得：1x = 12分
19．解：过A 作直线分别交12,l l 于点E ，D ，设ABD α∠=，02πα⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
则CAE α∠=，故21,sin cos h h
AB AC αα
=
=， 4分 所以1212sin 2ABC
h h
S
AB AC α
=
⋅⋅= 8分 所以，当22
π
α=
，即4
π
α=
时，ABC 面积的最小值为12h h 12分
20．解：（1）因为函数()f x 的一条对称轴是直线8
x π
=
，所以28
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
，k ∈Z ．
因为0πϕ-<<，所以34
π
ϕ=-
5分 （2）由（1）知3()sin 24f x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
， 332222
42
k x k π
ππππ+≤-
≤+，k ∈Z ， 即
5988
k x k ππ
ππ+≤≤+，k ∈Z 10分 所以函数()f x 的递减区间为
59,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z ． 12分 21．解（1）依题意得：
2()2cos sin 21cos2sin 2124f x m n x x x x x π⎛
⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝
⎭ 2分
则2|2|
T π
π=
=，最小正周期为π 3分 对称中心横坐标满足：24
x k π
π+
=，k Z ∈可得28
k x ππ
=
-，k Z ∈ 5分 故对称中心为,128k ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，k Z ∈ 6分
（2）由125a f ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
可得3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 7分
∴sin cos αα+=
18
12sin cos 25
αα+=，∴sin cos 0αα< ∵,22ππα⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭，∴cos 0,sin 0αα>< ∴,02πα⎛⎫∈-
⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴4cos 45πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭， 9分
∴72
cos cos 4410ππαα⎡⎤
⎛⎫=+
-= ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
12分 22．解：（1）作出y 关于t 的变化图象如下图所示，由图，可知选择sin()y A x b ωφ=++函数模型较为合适 2分
由图可知 1.40.6225A -==，12T =， 1.40.612b +==，则2126ππω=
=，2sin 156y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
4分
由0t =时，1y =，
得
026
k π
φπ⨯+=，k Z ∈，
所以2k φπ=，k Z ∈，
又||2
π
φ<
，所以0φ=，
所以2sin 1(024)56y t t π
=
+． 6分 （2）由24
sin 1(024)565
y t t π=
+， 得1sin
6
2t π
-
，则722666
k t k πππ
π
π-++，k Z ∈， 得112712k t k -++，k Z ∈，
从而07t 或1119t 或2324t ． 10分
所以在白天11时~19时进行训练较为恰当． 12分。