内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期联合考试数学试题(含答案)

内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期联合考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x∈Z|x2<5}，B={x|x+1>0}，则A∩B=( )
A. (−1,5)
B. {0,1,2}
C. {1,2}
D. (−1,2)
2.若复数z满足(2+i)z=10i，则z的虚部为( )
A. 2i
B. 4
C. 2
D. 4i
3.已知A(2,1)，B(m,4)，BC=(3,1)，若A，B，C三点共线，则m=( )
A. 11
B. 9
C. 7
D. 6
4.已知曲线C：y=e x+x在点A处的切线与直线2x−y+2=0平行，则该切线方程是( )
A. 2x−y=0
B. 2x−y−2=0
C. 2x−y−1=0
D. 2x−y+1=0
5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,0<ω<5,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω=( )
A. 24
7B. 15
4
C. 3
D. 4
6.已知在▵ABC中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量AM=aAB+bAC，则2
a +8
b
的最小值为( )
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
7.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′∘C，空气的温度是θ0∘C，则tmin后该物体的温度θ∘C 满足θ=θ0+(θ′−θ0)e−t4.若θ0,θ′不变，在t1min,t2min后该物体的温度分别为θ1∘C,θ2∘C，且θ1>θ2，则下列结论正确的是( )
A. t1>t2
B. t1<t2
C. 若θ′>θ0，则t1>t2；若θ′<θ0，则t1<t2
D. 若θ′>θ0，则t1<t2；若θ′<θ0，则t1>t2
8.在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90∘，点P在△ABC内部，且∠BPC=90∘，AP=2，记∠ABP=α，则tan2α=( )
A. 3
2B. 2
3
C. 4
3
D. 3
4
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知命题p:∃x∈R,x−|x|>x2；命题q:∀α∈(π
2
,π),cos(π4−α)=sin(π4+α)，则( )
A. p是真命题
B. ¬p是真命题
C. q是真命题
D. ¬q是真命题
10.已知函数f(x)=cos(x+1x)，则( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)的最大值为cos2
C. f(x)在(1,2)上单调递减
D. f(x)在(1,20)上有6个零点
11.已知奇函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若f(x)=f(2−x)+2x−2，且f(3)=2，则( )
A. f(−5)=−6
B. f(x+4)=f(x)
C. f′(101)=101
D. ∑100
i=1
f(i)=5050
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z=sin19∘+i5cos19∘，则|z|=．
13.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE=1，则AE⋅AD=．
14.已知函数f(x)=sin(x+φ)+1，若|f(x1)−f(x2)|=1，则|x1−x2|的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,5)，|OB|=22，且向量OB在x轴非负半轴上的投影向量为a= (2,0)．
(1)求OB的坐标；
(2)求cos⟨OA,OB⟩；
(3)求▵AOB的面积及▵AOB外接圆的半径．
16.(本小题15分)
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知▵ABC的周长为15，且a−c=2，a cos B+b cos
A=−2c cos B．
(1)求B的大小；
(2)求a，b，c的值．
17.(本小题15分)
已知向量a=(2sin x,1)，b=(2sin(x+π3),1)，函数f(x)=a⋅b−2．
(1)将f(x)化简成f(x)=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的形式；
(2)将f(x)的图象向左平移1
6
个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；
(3)在(2)的条件下，若g(α)=1
2
，求sin(π6−2α)的值．
18.(本小题17分)
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c
a +a
c
=1+2cos B．
(1)证明：b2=ac．
(2)已知C为钝角，记q=c
b
．
(ⅰ)求q2的取值范围；
(ⅱ)若BD为AC边上的中线，求BD2
a2
的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)与g(x)的定义域的交集为D.若f(x)g(x)≥0对x∈D恒成立，则称f(x)与g(x)为同号函数，例如x(x+14x−1)=x2−x+14=(x−12)2≥0，则函数f(x)=x与g(x)=x+14x−1为同号函数．若存在区间[m,m+2]，使得f(x)g(x)≥0对x∈[m,m+2]恒成立，则称f(x)与g(x)为区间同号函数．
(1)设函数f1(x)=(x2−4x+3)e x(0<x<4),f2(x)=x−2ln x−1,f3(x)=(x−2)2−1(0<x<4)，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数？请说明你的理由．
(2)设函数f(x)=e x−x−2,g(x)=e x−ln(x+2)−2．
(ⅰ)证明：f(x)与g(x)为同号函数．
(ⅱ)若g(x)≥a
x+2+x2+4x+1
3
恒成立，证明：a<−6．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.D
5.D
6.C
7.D
8.C
9.BC
10.AC
11.AD
12.1
13.3
14.π
3
15.【小问1详解】
因为向量OB在x轴非负半轴上的投影向量为a=(2,0)，
所以可设B(2,y)(y>0)，
因为|OB|=22=4+y2，所以y=2，即B(2,2)，则OB=(2,2)；【小问2详解】
因为OA⋅OB=1×2+5×2=12，|OA|=1+25=26，
所以cos⟨OA,OB⟩OA OB
|OA||OB|
12
26×22
=313
13
；
【小问3详解】
因为cos⟨OA,OB⟩=313
13
>0，所以0<⟨OA,OB⟩<π2，
所以sin⟨OA,OB⟩=213
13
，
故▵AOB的面积为1
2
×26×22×sin⟨OA,OB⟩=4，因为AB=OB−OA=(1,−3)，
所以|AB|=1+9=10，
则▵AOB =
130
4
．
16.【小问1详解】
由正弦定理可得cos B sin A +cos A sin B =−2cos B sin C ，即sin(A +B )=sin C =−2cos B sin C ．
因为C ∈(0,π)，所以sin C ≠0，则cos B =−1
2．因为B ∈(0,π)，所以B =2π
3．【小问2详解】
由
得
由余弦定理得cos 2π
3=
a 2+c 2−
b 2
2ac
，即c 2−58c +165=0，
所以(c−3)(c−55)=0，解得c =3或55(舍去)，故a =c +2=5，b =13−2c =7．
17.【小问1详解】
f (x )=a ⋅b−2=4sin x sin (x +π3)
+1−2=4sin x (1
2
sin x +
32cos x )
−1
=2sin 2x +2 3sin x cos x−1=2×1−cos 2x 2
+
3sin 2x−1
= 3sin 2x−cos 2x =2sin (2x−π6
)．
【小问2详解】
因为f (x )的最小正周期T =2π
2=π，
所以f (x +π6
)=2sin [2(x +π6
)−π6
]=2sin (2x +π
6
)，
则g (x )=2sin (x +π
6
)．
令−π2+2kπ≤x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z )，得−2π3+2kπ≤x ≤π
3+2kπ(k ∈Z )，
故g (x )的单调递增区间为[
−2π
3
+2kπ,π3
+2kπ]
(k ∈Z )．
【小问3详解】
根据题意可得g (α)=2sin (α+π
6
)=1
2，
令t =α+π6，则α=t−π6，sin t =1
4．
由π
6−2α=π
6−2(t−π
6
)=π
2−2t ，
故sin (π
6
−2α)=sin (π2
−2t )=cos 2t =1−2sin 2t =1−2×
(14)
2
=7
8．
18.【小问1详解】
由c
a +a
c =1+2cos B ，可得a 2+c 2=ac +2ac cos B ，由余弦定理可知b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，所以b 2=ac ．【小问2详解】
(ⅰ)由b 2=ac ，可得c
b =b
a =q ，q >1．
根据三角形三边关系，知即
则
解得 1+
52<q <1+
5
2
，
所以q 2的取值范围为(
1+
52,3+
5
2
)
．
(ⅱ)因为BD 为AC 边上的中线，所以BD =1
2(BA +BC )，则BD 2
=1
4(BA 2+2BA ⋅BC +BC 2
)=1
4(c 2+a 2+2ac cos B )=14
(c 2+a 2+a 2+c 2−b 2)=2a 2
+2c 2−ac
4
，所以BD 2
a 2=
2a 2+2c 2−ac 4a 2
=1
4(2+2q 4−q 2)．
令t =q 2，则
BD 2a 2
=1
4(2t 2−t +2)，因为y =2t 2−t +2在(
1+
52,3+
5
2
)
上单调递增，
所以y =2t 2−t +2∈(9+
52,15+5
52)
，故BD 2
a 2的取值范围为(
9+
58,15+5
58
)
．
19.【小问1详解】
这三个函数中任意两个都互为区间同号函数，理由如下：
因为f 1(x )=(x 2−4x +3)e x ，f 3(x )=(x−2)2−1=x 2−4x +3，0<x <4，
所以f1(x)f3(x)=(x2−4x+3)2e x≥0，则f1(x)与f3(x)为区间同号函数．
而f2(x)=x−2ln x−1，x>0，
则f2′(x)=1−2
x =x−2
x
，
令f2′(x)>0，即x>2；令f2′(x)<0，即0<x<2，
所以函数f2(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
又f2(1)=0，f2(3)=2(1−ln3)<0，
所以f2(x)≤0对x∈[1,3]恒成立，
又f1(x)≤0，f3(x)≤0对x∈[1,3]都恒成立，
所以存在m=1，使得f1(x)f2(x)≥0，f2(x)f3(x)≥0对x∈[1,3]都恒成立，所以这三个函数中任意两个都互为区间同号函数．
【小问2详解】
证明：(ⅰ)因为函数f(x)与g(x)的定义域的交集为(−2,+∞)，
当f(x)≥0时，e x≥x+2，则x≥ln(x+2)，
所以e x≥ln(x+2)+2，即g(x)≥0；
当f(x)<0时，e x<x+2，则x<ln(x+2)，
所以e x<ln(x+2)+2，即g(x)<0，
所以f(x)g(x)≥0恒成立，则f(x)与g(x)为同号函数．
(ⅱ)因为x+2>0，
所以由g(x)≥
a
x+2
+x2+4x+1
3
，
整理得到(x+2)e x−(x+2)ln(x+2)−2(x+2)−(x+2)(x2+4x+1)
3
≥a，
令ℎ(x)=(x+2)e x−(x+2)ln(x+2)−2(x+2)−(x+2)(x2+4x+1)
3
，
则ℎ′(x)=(x+3)e x−ln(x+2)−x2−4x−6，
当e x≥x+2时，x≥ln(x+2)，可得ℎ′(x)≥(x+3)(x+2)−x−x2−4x−6=0，当e x<x+2时，x<ln(x+2)，可得ℎ′(x)<(x+3)(x+2)−x−x2−4x−6=0．对于函数f(x)=e x−x−2，f′(x)=e x−1，
令f′(x)>0，即x>0；令f′(x)<0，即x<0，
所以函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
又f (−2)=1e 2>0，f (−1)=1
e −1<0，
f (1)=e−3<0，f (2)=e 2−4>0，所以函数f (x )在(−2,−1)和(1,2)上各有一个零点，不妨设x 1∈(−2,−1)，x 2∈(1,2)，
当x ∈(−2,x 1)时，ℎ′(x )>0，函数ℎ(x )单调递增，当x ∈(x 1,x 2)时，ℎ′(x )<0，函数ℎ(x )单调递减，当x ∈(x 2,+∞)时，ℎ′(x )>0，函数ℎ(x )单调递增，且x→−2时，ℎ(x )→0，
而f (x 2)=e x 2−x 2−2=0，即e x 2=x 2+2时，x 2=ln(x 2+2)，则ℎ(x 2)=(x 2+2)e x 2−(x 2+2)ln(x 2+2)−2(x 2+2)−
(x 2+2)(x 22+4x 2+1)
3
=−(x 2+2)(x 22+4x 2+1)3
<0，
设u (x )=−
(x +2)(x 2+4x +1)
3
(1<x
<2)，
则u′(x )=−(x 2+4x +3)<0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递减，所以a ≤ℎ(x 2)<u (1)=−6，即a <−6．。