7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题

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绝对收敛与条件收敛

n1
n1
上定理的作用：任意项级数
பைடு நூலகம்
正项级数
定义 : 若 u n收敛 ,则称 u n为绝对收敛 ;
n 1
n 1
若 un发散 ,而 un收敛 , 则称 un为条件收敛 .
n1
n1
n1
例4
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sinn n2
1 n2
,
而
1 收敛,
n1
ln(n1)
解： (1)n1 1 1 1 lnn (1) lnn (1) n1
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1)n1
1
发散.
n1
ln(n1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
小结
1、交错级数 (莱布尼茨定理) 2、绝对收敛与条件收敛
作业：P127：2(1)-(8)
由极限存在准则：m l i m S2mS存在S， u1且 .
2) 取交错级数的前2m+1项之和
S 2 m 1 u 1 u 2 u 3 u 4 u 2 m 1 u 2 m u 2 m 1 S 2 m u 2 m 1
由条件1): ln imun 0,故
m l i S 2 m m 1 m l ( i S 2 m m u 2 m 1 ) m l i S 2 m m m l i u 2 m m 1 S 综上所述，有 ln im SnS，S且 u1.

7.3 任意项级数敛散性的判别

lim u n lim
n
n ln n
lim
x
lim
x
1
x ln x x
0
综上所述原级数条件收敛.
x
(4)
n1
对于级数当当
x 1 x 1

x
n
lim
n
n1 x

n1
n
n
lim
n n1
n
x x
n
时时
原级数原级数
(B) 条件收敛 (D) 敛散性与有关
例5 设常数
k 0,
(A)发散
则级数 ( 1) 2 n n 1 (B) 条件收敛
n

k n
(
)
(C) 绝对收敛
(D) 敛散性与 k 有关
正项与极限形式级数 n n 适用 u n 为 a , P ( n ), n ! , n 比值判别法的积、商的级数.
n
发散,
n1
从而 ( 1 )
n1

n1
n! 5
n
发散.
( 3 )

( 1)
n1
n1
n ln n

解：对于级数因 n ln n 再考察
un 1 n ln n

1 n ln n
n1
1
1 n
且
n1

1 n
n1
发散故

1 n ln n
n
n
un l
N,
故对当即

存在正整数
un l
n
n N

第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛

n 0
n 0
unvn 之间的关系，注意到由( un vn )2 0 可推得
un 2 vn 2 2 unvn unvn
n 0
从而可推得结论．
证明
2 2 vn 2 | unvn |，由 ( un vn )2 0 得 un

因级数 un 2 和 vn 2 收敛，必有级数 ( un 2 vn 2 ) 收敛，
有关级数的敛散性判定准则：拿到一个级数，先看通项的极限是否为0 ；再看是什么类型的级数（正项，交错，任意项）： 1、正项级数的收敛就是绝对收敛； 2、交错级数可能发散，可能条件收敛也可能是绝对收敛； 3、对于任意项级数，先将通项取绝对值再分析对应的级数的敛散性，取绝对值后的级数收敛即为绝对收敛；取绝对值后的级数发散，但还要看原级数可能收敛（比如是交错级数可看其是否满足莱布尼兹判别法）。如果是用正项级数的比值审敛法分析的发散就一定发散； 4、条件收敛与绝对收敛都是收敛。
2n n ! 练习：1、证明：lim n 0 n n
2、判别级数的敛散性
an (1) (a 0)敛散性 2n n 1 1 a

2n n ! lim n 0 练习： 1、证明： n n 2n n ! 证明：设 un n , n un1 2n1 (n 1)! 2n n! lim lim / n lim n 1 n u n (n 1) n n n
再由比较收敛法知原级数也是收敛的。
定理5. *根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数, 且 lim n un , 则
n
1 例如, 设级数 n , n1 n

1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n

7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题

1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =<的P 级数，发散，综上知，级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。

⑵111(1)3n n n n∞--=-∑；【解】级数111(1)3n n n n∞--=-∑属于交错级数，由于111(1)3n n n n ∞--=-∑113n n n∞-==∑，因为111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，由正项级数的比值判别法知，级数113n n n∞-=∑收敛，综上知，级数111(1)3n n n n∞--=-∑绝对收敛。

⑶11ln (1)n n nn∞-=-∑；【解】级数11ln (1)n n nn∞-=-∑属于交错级数，由于函数ln x y x =有21ln '0xy x -=>当x e >时恒成立，知ln xy x=当x e >时为增函数，从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1ln lim lim lim 01n n n n nn u n →∞→∞→∞===，即由莱布尼兹定理知，级数11ln (1)n n nn∞-=-∑收敛，但由于11ln (1)n n n n ∞-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11n n∞=∑为调和级数，发散，综上知级数11ln (1)n n nn∞-=-∑条件收敛。

⑷111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；【解】级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑属于交错级数，它满足关系111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++（1,2,3,n =L ）且1lim lim0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，即由莱布尼兹定理知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛，但由于1limn n nu u +→∞1ln(1)lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 11n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞，且级数111n n ∞=+∑21n n∞==∑为调和级数，发散，即由比较判别法的极限形式知，级数11ln(1)n n ∞=+∑发散，综上知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛。

绝对收敛与条件收敛

小结
1、交错级数 (莱布(1)-(8)
故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛.
例 3 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1) n1
1
发散.
n1
ln(n 1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
二、任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对收敛和条件收敛
定义：若级数 | un | 收敛，则称原级数 | un | 是绝
n1
n1
对收敛的；若级数 un 收敛，但级数 | un | 发散，
n 1
n1
则称原级数 un 是条件收敛的 . n1
定理：若 |
un
|
收敛，则
u
必
n
收敛.
n1
n1
(即绝对收敛的级数必定收敛)
x n
例6. 判别 n1 1 x n 的敛散性，其中，x1为常数.

绝对收敛与条件收敛

故级数绝对收敛.
当
时，
故级数发散. 当时，级数
，，满足莱布尼茨判别定理的条件，故级数条件收敛.
；由级数的收敛性知：
又当时，是交错级数，由莱布尼茨判别法知，题设级数收敛；
当时，级数显然发散. 综上所述，时，级数绝对收敛；
时，级数条件收敛；当时，级数发散.
17. 当时级数 nmlkj nmlkj
级数条件收敛. (5分) nmlkj nmlkj
【参考答案】 A 【试题解答】当级数条件收敛时，则，
【试题解答】由绝对收敛可知，
，可取，当时有
，即收敛．
令，则收敛，而不绝对收敛．
，所以
综上，级数绝对收敛是收敛的充分但非必要条件．
5. 下列级数绝对收敛的有 .
nmlkj
条件收敛，绝对收敛
nmlkj
绝对收敛，发散
；
. (5分)
nmlkj
条件收敛，条件收敛
nmlkj
发散，条件收敛
,
,
.
18. 级数
nmlkj 条件收敛 nmlkj 发散
. (5分)
nmlkj 绝对收敛 nmlkj 敛散性不能确定
【参考答案】 A 【对应考点】绝对收敛与条件收敛；交错级数；比较判别法
【试题解答】
显然
．
绝对收敛，而
条件收敛，故原级数条件收敛．
19. 级数
绝对收敛的条件是参数满足 . (5分)
nmlkj
时，级数条件收敛；当时，级数发散.
13. 关于级数
nmlkj 当时，级数绝对收敛 nmlkj 级数条件收敛
的敛散性，说法错误的是 . (5分)

大学数学易考知识点级数的收敛性和求和

大学数学易考知识点级数的收敛性和求和在大学数学中，级数是一个重要的概念，涉及到级数的收敛性和求和运算。

理解和掌握级数的收敛性以及求和的方法对于数学学科的学习和应用具有重要意义。

本文将介绍级数的概念，讨论级数的收敛性判定方法，并介绍几种常见的求和方法。

一、级数的概念级数是由一列数的和构成的数列，通常以∑表示。

级数的一般形式可以表示为：∑(n=1 to ∞) an = a1 + a2 + a3 + ...其中，an表示级数的通项，n表示求和的下标，∑表示求和符号。

根据不同的通项an，级数可以分为不同的类型。

二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数收敛性判定法正项级数是指级数的通项an都是非负数，即an ≥ 0。

对于正项级数，我们可以使用以下方法进行收敛性判定：(1) 比较判别法：将待确定的级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。

(2) 比值判别法：计算级数的通项an+1与an的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。

(3) 根值判别法：计算级数的通项an的n次方根与1的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。

2. 任意项级数的收敛性判定法对于任意项级数，我们需要使用更加复杂的方法进行收敛性判定：(1) 莱布尼兹判别法：用于交错级数的判定，即级数的通项an交替出现正负号。

(2) 绝对收敛和条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；反之，如果一个级数收敛但它的绝对值级数发散，则称此级数为条件收敛。

三、级数的求和方法1. 部分和求和对于级数∑(n=1 to ∞) an，我们可以通过计算部分和Sn = a1 + a2 + ... + an来求得级数的近似值。

2. 等比级数求和等比级数是指级数的通项满足an+1 = r * an，其中r为常数。

对于等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n，可以通过以下公式求和：S = a / (1 - r)其中，S为级数的和。

3. 幂级数求和幂级数是指级数的通项可以表示为an = cr^n，其中c为常数，r为变量。

无穷级数习题课

∞ 2 ∞a 收敛，（4）若 ∑an 收敛，则 ∑ n ）绝对收敛）（绝对收敛） n n= 1 n= 1 ∞ ∞ ∞ 收敛， n发散，（5）若 ∑an 收敛， ∑b 发散，则 ∑(an ±b ) （发散））发散） n n= 1 n= 1 n= 1
an 收敛且a ≠1时若正项级数 ∑an收敛且an≠1时，则级数 ∑ 收敛） 1−an （收敛） n= 1 n= 1
n=1 n=1
判别下列级数的敛散性: 例2 .判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性
讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 例3.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 π ∞ sin n+1 (2) ∑ −1 n+1 n+1 ; ( )
n= 1
π
n+1 (3) ∑ −1 ln ( ) ; n n= 1
(− )n+ 1 1 1 n + ∞ (− ) 1 1 + ] ， un+1 = lim n+1 n+1 ∑[ lim 又如 n n n→ un n→ ∞ ∞ (− )n 1 1 n= 1 + n n − n (− )n n 1 + 同 (− )n n 乘 1 n+1 = − ，但该级数发散。 lim n+1 1 但该级数发散。 n n→ ∞ (− ) 1 1+ n
n= 1 ∞
n= 1+an 1
∞
（6）若 ∑an、∑b 都发散，则 ∑(an ±b ) ） n n都发散， n= 1 n= n= （可能发散也可能收敛） 1 可能发散也可能收敛） 1
∞ 1 1n 可能收敛也可能发散）（7）若 0 ≤ an < ，则 ∑(− ) an （可能收敛也可能发散）） n n= 1 1 ∞ an = , ∑(−1 nan 收敛， ) 收敛，例如 2n n= 1

数学分析习题课级数的收敛、求和与展开[1]共31页

证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(b n a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
[(cn an)an]
n1
(cn an) a n 收敛
n 1
n 1
4
例2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) limnn1, 0, N , n 1 nn 1
s1时收敛;
a1时, 与 p 级数比较可知 s1时发散.
6
例3. 设正项级数
和都收敛, 证明级数
也收敛 . 提示: 因 n l i u m nn l i v m n0,存在 N > 0, 当n >N 时
又因
2(un2vn2)
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
7
例4. 设级数
收敛 , 且
1,
x [ 1 ,0 ) (0 ,1 ) x0
22
例8.
解:
设S(x)n2nx2n1,则
S(x)n 21 2n1 1n1 1xn x xn1 1 xn1
2 n2n 1 2x n2n 1
x x n 1 xn
2 n1 n 2x n3 n
23
四、函数的幂级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式
但
ln
n 1
n
n
1
n
lim lnk(1)lnk
n k1
lim lnn(1)
n
所以原级数仅条件收敛 .
10
(4) n 1(1)n(nnn11)!
因
u n1
un
n2(1 1 )n1n n1 n1

11-03 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-下13

n1
对收敛；若
un
发散,
但
n1
un
收敛,
则称n1 un 为
n1
n1
n1
条件收敛.
今后对任意项级数，必须注明绝对收敛还是条件收敛.
微积分十一 ④
任意项级数敛散性判断思考过程：
任意项级数 un n1
？ un 0
否
是
un 收敛否?
n1
是
绝对收敛
否
否
un收敛否?
n1
是
条件收敛
微积分十一 ④
14/34
n1
ln( n 1)
n1
0 1
解:⑴
lim
n
vn
lim
n
ln(n 1)
vn
1 ln(n 1)
1 ln(n 2) vn1 原级数收敛.
⑵
lim
n
vn
lim(
n
1 vn n 1
n1
n
n) lim n 1
n 2
1 0
n1 n n 1 vn1
原级数收敛.
微积分十一 ④
7/34
例4
发散
15/34
例1. 判别下列级数的敛散性
(1)
(1)n
n1
1 n2
,
( 2)
(1)n
1
n1
n
解：
n1
(1)n
1 n2
1
n1
n2
是 p=2>1 的 p-级数, 收敛.
故级数
(1)n
n1
1 n2
绝对收敛
(2)
lim
n
vn
lim
n

大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4)若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7）函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。

求下列极限：（1)xy xy y x 42lim0+-→→（2)x xyy x sin lim0→→(3）22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。

证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。

函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0,0)处是否连续？为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。

填空题 (1)设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ；（2)设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ；（3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4)设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ；（6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在(1,1）点的二阶偏导数4。

《微积分》绝对收敛与条件收敛

u n
),

u 收敛. n
n1
n1
n1
绝对收敛
收敛
上定理的作用：
任意项级数
正项级数

事实上：判定任意的常数项级数 a n 是否收敛，
n 1
可以用正项级数审敛法判定
a n
的收敛性,
n 1
若收敛，则原级数收敛,且绝对收敛.
用比较审敛法1/2/2’
若发散，则方法失效.
用比值/根值审敛法
(a 0).
六、判别下列级数是否收敛 ?如果是收敛的 ,是绝对收
敛还是条件收敛?

1、 (1)n1
n
；
n1
3 n1
1
1
1
1
2、

；
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
(1)n
3、
.
n 2 n ln n

七、若 lim n 2 u n 存在 , 证明 : 级数 u n 收敛 . n n1
b 3n
八、证明 : lim
0.
n n!a n
练习题答案
一、 1、 p 1, p 1；
2 、 1 , 1 ( 或 lim u n 1 ), 1 . n un
二、1、发散；
2、发散 .
三、1、发散；
2、收敛 .
判定任意的常数项级数是否收敛可以用正项级数审敛法判定的收敛性用比较审敛法122若收敛则原级数收敛且绝对收敛
9-2 绝对收敛与条件收敛
1、交错级数及其审敛法 2、级数的绝对收敛与条件收敛

条件收敛与绝对收敛

第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数∑∞=1n n a ,我们已经给出了其收敛的一些判别方法,本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛;定义对于级数∑∞=1n n a ,如果级数∑∞=1||n n a 是收敛的,我们称级数∑∞=1n n a 绝对收敛;如果∑∞=1||n n a 发散,但∑∞=1n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞=1n n a 条件收敛;条件收敛的级数是存在的,如∑∞=+-11.)1(n n n收敛级数可以看成是有限和的推广,但无限和包含有极限过程;并不是有限和的所有性质都为无限和所保持;大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质,条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大;下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质;定理绝对收敛级数必为收敛级数,反之则不然.证明：设级数∑∞=1n n a 收敛,即∑∞=1||n n a 收敛,由Cauchy 收敛准则,对0>∀ε, 存在N,当n >N 时,对一切自然数p , 成立着ε<++++++||||||21p n n n a a a于是:≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a再由Cauchy 收敛准则知∑∞=1n n a 收敛;由级数∑∞=+-11)1(n n n 可看出反之不成立;注：如果正项级数∑∞=1||n n a 发散,不能推出级数∑∞=1n n a 发散;但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出∑∞=1||n n a 发散,则级数∑∞=1n n a 必发散,这是因为利用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞=1||n n a 为发散时,是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0,因此对级数∑∞=1n n a 而言,它的一般项也不趋于零,所以级数∑∞=1n n a 发散;例讨论级数∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 的敛散性,如收敛指明是条件收敛或绝对收敛;解,当0≤p 时,由于∞→n lim ,0112≠++p nn n 所以级数发散. 当2>p 时, 因为∞→n lim 1/1112=++p pn n n n 而∑∞=11n pn收敛,所以原级数绝对收敛;当20≤<p 时,因u n –u n +1=ppn n n nn n )1()2(3)1(2+++-++=222222)1()2)(1()34()1)(44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-+++>222222)1()2)(1()34()44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-++=0)1()2)(1(222>+++p p p n n n n n故{u n }单调减少, 且∞→n lim0112=++p nn n 由Leibniz 判别法知∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 收敛,显然∑∞=++1112n p nn n 发散,所以当20≤<p 时级数条件收敛; 前面已经指出,一个收敛级数不论是绝对收敛或条件收敛,将其项任意加括号后,得到的新级数仍收敛,这个性质称为收敛级数满足结合律;下面我们讨论收敛级数的交换律;设∑∞=1n n a 是一个级数,将级数项任意交换顺序,得到的新级数记为∑∞=1/n n a ,我们有下列定理:定理设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,则重排的级数∑∞=1/n n a 也是绝对收敛的,且其和不变;证明：先设∑∞=1n n a 是正项收敛的级数,此时有∑=mn na1/≤∑∞=1n n a =M , 对m =1,2,…, 均成立即正项级数∑∞=1/n na 的部分和数列有界,从而∑∞=1/n n a 收敛,且∑∞=1/n n a ≤∑∞=1n na而正项级数∑∞=1n n a 也可看成是∑∞=1/n n a 的重排, 从而也有∑∞=1/n na≤∑∞=1n na所以∑∞=1/n n a =.1∑∞=n n a对一般项级数∑∞=1n n a ,设∑∞=1||n n a 收敛记 u n =2||n n a a +, v n =2||nn a a -, n =1,2,…, 显然有 0||n n a u ≤≤, 0||n n a v ≤≤, ,,2,1 =n由比较判别法知正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均收敛;因而重排后的级数∑∞=1/n n u 与∑∞=1n n v 也收敛,且有∑∞=1/n nu =∑∞=1n n u∑∞=1/n nv =∑∞=1n n v从而,级数∑∞=1/||n na =∑∞=+1//)(n nnv u 也收敛,即∑∞=1/n n a 绝对收敛,且有∑∞=1/||n na=∑∞=-1//)(n nnv u =∑∞=-1/n nu ∑∞=1/n n v=∑∞=1n n u –∑∞=1n n v =∑∞=-1)(n n n v u=∑∞=1n n a下面我们讨论条件收敛级数的重排: 定理Riemann 设∑∞=1n n a 是条件收敛级数, 则1 对任意给定的一个ξR ∈,必存在∑∞=1n n a 的一个重排∑/na使得∑∞=1/n n a =ξ;2 存在∑∞=1n n a 的重排级数∑∞=1/n n a 使∑∞=1/n n a =∞+或∞-证明：记 u n =2||n n a a +, v n =2||n n a a -n =1,2,…显然∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都是正项级数,且有∞→n lim u n =∞→n lim v n =0易证得∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均发散请读者自行证明现考察序列a 1, a 2,…, a n , …,用p m 表示数列中第m 个非负项,用Q m 表示其中的第m 个负项的绝对值;显然{p m }是{u n }的子列,{Q m }是{v n }的子列,{p m }为{u n }中删去了一些等于零的项后剩下的数列,因此 ∞→n lim p m =∞→n lim Q m =0=∑∞=1n n p +∞=∑∞=1n n Q我们依次考察p 1,p 2,…中的各项,设1m p 为其中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ再依次考察Q 1,Q 2…中的各项,设1n Q 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ再依次考察 11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–… –1n Q +11+m p +21+m p +…+2m p >ξ照此下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a 如下p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q+11+m p +21+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q +12+m p +…再分别用R k 与L k 表示级数∑∞=1/n n a 的末项为k m p 的部分和与末项为k n Q 的部分和,则有|R k –ξ|≤k m p , k =2,3,… 否则与k m p 的选取有矛盾; 同理有|L k –ξ|≤k n Q , k =1,2,3,…因为 ∞→k lim k m p =∞→k lim k n Q =0∴ ∞→k lim R k =∞→k lim L k =ξ因为级数∑∞=1/n n a 的任一部分和/n s 必介于某一对L k 与R k 之间,所以也应有∞→n lim /n s =ξ即 ∑∞=1/n n a =ξ2首先,任意选取一个严格单调上升并趋于+∞的实数,列{ξk }例如, 可选ξk =k ,k =1,2,…. 其次,用p k 表示序列{n a }中的第k 个非负项,用Q k 表示序列{n a }的第k 个负项,设p m 是p 1,p 2,…中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ1设1n Q 是Q 1,Q 2 ,…中第一个满足以下条件的项 p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ1再依次考察11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p >ξ2再依次考察11+n Q ,21+n Q …中各项,设2n Q 是其中第一个满足以下条件的项,p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q >ξ2依次做下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a , 这个重排级数满足条件.1/+∞=∑∞=n n a同样可以得到一个重排,使得.1/-∞=∑∞=n n a下面我们考察两个级数的乘积; 设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 是两个级数,将∑∞=1n na ∑∞=1n n b 定义为下列所有项的和44342414433323134232221241312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a由于级数运算一般不满足交换律与结合律;所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题;事实上,上述无穷多项有很多的排序方式,下面我们介绍两种最常用的排序方式对角线排序法和正方形排序法; 定义a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令c 1= a 1b 1, c 2= a 1b 2+ a 2b 1, c 3= a 1b 3+ a 2b 2+ a 3b 1, …… c n ==∑+=+1n j i j i b a a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1…………我们称∑∞=1n n c =∑∞=1(n a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的Cauchy 乘积;a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令 d 1= a 1b 1, d 2= a 1b 2+ a 2b 2+ a 2b 1……………d n = a 1b n + a 2b n +…+ a n b n + a n b n -1+…+ a n b 1 ……………则级数∑∞=1n n d 称为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 按正方形排列所得的乘积.定理如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均收敛,则按正方形排序所得的乘积级数∑∞=1n n d 总是收敛的,且∑∞=1k k d =∑∑∞=∞=11)()(k k k k b a证明：因为s n =∑=nk k d 1=∑=nk 1(a 1b k + a 2b k +…+ a k b k +a 2b k-1+…+a k b 1=∑=nk ka 1∑=nk k b 1=bn a n s s其中{a ns }与{b ns }分别为∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的部分和,当记∞→n lim a n s =a s ,∞→n lim bn s =b s 时,有∞→n lim n d =a s b s所以级数∑∞=1n n d 收敛,且∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .但是两个收敛级数的Cauchy 乘积却不一定是收敛的;例如∑∞=1n n a =∑∞=+-1211)1(n n n与∑∞=1n n b =∑∞=+-1211)1(n n n这两个级数显然都是收敛,但它们的Cauchy 乘积的一般项为c n =－1n+1∑+=+11n j i ij显然 ≤ij 2j i +=21+n从而∑+=+11n j i ij≥∑+=++112n j i n >n n ⋅+12所以∞→n lim ,0≠n c 故∑∞=1n n c 发散.定理如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都绝对收敛,则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 和正方形排列所得的乘积∑∞=1n n d 都是绝对收敛的,且∑∞=1n n c =∑∞=1n n a ∑∞=1n n b证明: 设s n =∑=nk k c 1||=∑=nk 1|a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1|≤∑=nk k a 1||∑=nk k b 1||≤∑∞=1||k k a ∑∞=1||k k b由正项级数∑∞=1||k k c 的部分和数列有界知∑∞=1||k k c 收敛,又因为绝对收敛级数有交换律和结合律; 同理可证,∑∞=1n n d 绝对收敛所以∑∞=1n n c =∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .我们可以将上定理的条件适当放宽定理Mertens 设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,级数∑∞=1n n b 收敛,记∑∞=1n n a =A, ∑∞=1n n b =B则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 也收敛, 且∑∞=1n n c =AB证明: 记A n =∑=n k k a 1, B n =∑=nk k b 1c n =a 1b n +a 2b n-1+…+a n b 1前n 项部分和s n =∑=nk 1(a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1= a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1当令n β=B －B n 时, n =1,2,… s n = a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1= a 1B –n β+a 2B –1-n β+…+a n B –1β = A n B –a 1n β +a 21-n β+…+a n 1β = A n B –R n下面我们估计R n = a 1n β+a 21-n β+…+a n 1β 因为序列{k β}趋于0,可设 |k β|≤M , ∈∀k N 取k 充分大使 |k β|<D2ε这里D>.||1∑∞=n n a 再取m 充分大,使∑∞+=1||m k k a <M 2ε,于是当N 充分大时,对上面取定的m 有|R n |≤|a 1||n β|+…+|a m ||1+-m n β|+|a m +1||m n -β|+…+|a n ||1β| <D D2ε⋅+M M2ε⋅=ε所以 n n R ∞→lim =0从而 AB B A s n n n n ==→∞→∞lim lim . 证毕. 定理Abel 定理设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛,且∑∞=1n n a =A,∑∞=1n n b =B,∑∞=1n n c 是它们的Cauchy 乘积,如果∑∞=1n n c 收敛,其和为c ,则必有c B证明：在数列极限理论中,我们已经证明如 n n A ∞→lim =A, n n B ∞→lim =B,n n c ∞→lim =c , 则AB nB A B A B A n n n n =+++-∞→1121lim当记∑==nk n n c s 1时,有c s n n =∞→lim 所以 c =∞→n limn1∑=nk ns1=∞→n lim n1 A 1B n +A 2B n-1+…+A n B 1 =AB.习题1、设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均绝对收敛,则它们的任意排序方法除了对角线方法与正方形方法得到的乘积级数∑n h也绝对收敛,且∑∞=1nnh=∑∞=1nna∑∞=1nnb2、设|x|<1,|y|<1, 求证: ∑∞=1(n x n-1+ x n-2y++y n-1=)1)(1(1yx--3、求证: ∑∞=0!nnnx∑∞=0!nnny=∑∞=+!)(nnnyx4、求证: ∑∞=0! 1n n∑∞=-!)1(nnn=15、求证: ∑∞=0nnq∑∞=0nnq=).1|(|)1(1)1(2<-=+∑∞=qqqnnn。

第三节任意项级数,绝对收敛与条件收敛

（2）
lim
n
un

0,
称莱布尼茨型级数

则交错级数 (1)n1 un 收敛, 且其和 S u1 .
n1
1
证 S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) ,
由条件(1)可知, u2k1 u2k , 所以{S2m } 单调不减；
lim
n
1 xn 1 xn1

1 x
1，
故原级数绝对收敛；
最后,若 x 1 ,则
un

1 2
,发散.
所以级数的收敛范围为 x 1 .
13
小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
判 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
别 3. 按基本性质;
正项级数
说明:
(1) 定理不可逆, 如 (1)n1 1 收敛, 但 1 发散;
n1
n
n1 n

(2) 若 | un | 发散, 不能推出 un 发散, 如上例；
n1
n1

但如果是用比值判别法或根值判别法判定 | un | 发散,
n1
则立刻可以断定 un 发散，这是因为它们的依据是
若 1 ,则原级数发散；
若 1 ,原级数为 (1)n ,
n1 n p 因此当 p 1 时绝对收敛；当 0 p 1 时条件收敛.
10
例6
判断级数

n1
(1)n n ln n
是否收敛？如果收敛，
是条件收敛还是绝对收敛？
解 lim ln n lim ln x lim 1 0,

经济数学-任意项级数的绝对收敛与条件收敛

பைடு நூலகம்
思考题1解答
由级数收敛，可以推得收敛 , |u | u n n
n 1 n 1
反之不成立. 例如：
n1 ( 1) 收敛, n n 1
1 发散. n1 n

思考题2
判断级数

是否收敛？ n n2 n （ 1 ）若收敛是条件收敛还是绝对收敛？
又 lim u n 0
n
故级数收敛.
(1)n n 例 2 判别级数的收敛性. n 1 n2
解

x ( 1 x ) ( ) 0( x 2 ) 2 x 1 2x ( x 1 )
x u u , 故函数单调递减 , n n 1 x 1 n . 又 lim u lim 0 原级数收敛. n n n n 1
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；
n1 u n 2.判定 u 的方法
un1 1 ) u u 0 ； 2） 1； n 1 n un 3）相应函数的单调性.
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值任意项级数正项级数
x ( x ) 则此级数对一切绝对收敛
u (2 n )! n 1 (2 )lim lim | x|2 n u n (2 n2 )! n 1 lim | x|20 n (2 n2 )(2 n1 )
x ( x ) 则此级数对一切绝对收敛
般常数项级数的绝对收敛性时, 我们可以借助正项级数的判别法来讨论.
例 3判别级数

11-03任意项级数的绝对收敛与条件收敛-下13

n un n (2n 2)!
lim
1
n (2n绝对收敛
(3) lim un1 lim n x | x |
n un
n n 1
则当| x | 1时，级数收敛；当| x | 1时，级数发散，
而 x 1时，级数是否收敛取决于为何值.
称为定义n在1 区间 I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
ln x ln2 x lnn x
对于每一个 x0 I ，函数项级数 un ( x0 ) 就是
一个常数项级数
n1
微积分十一 ④
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2.收敛点与收敛域
如果 x0 I，常数项级数 un ( x0 ) 收敛,
0, 级数 (1)n1
n1
1 np
收敛.
证明：
1)
lim
n
vn
lim
n
1 np
0
1
2)vn n p
1 (n 1) p
vn1
由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.
微积分十一 ④
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例5.证明
(1)n1
ln n
收敛
n1
n
条件(1),(2)均不好检验
对导证交函错数vn级的数单lnn使调n ,令用性莱判f (布断x)尼级茨数lnx判前x 别后由法项x时大lim，小 l可和nxx以求借极xli助限m可。1x 0
n0
在收敛域：(1,1) 其和函数为：S( x)
1
1 x
注意：级数的收敛域未必等于和函数的定义域
微积分十一 ④
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2.1、定义
⑴ (x-x0) 的幂级数: 形如 an( x x0 )n的级数。

任意项级数的绝对收敛与条件收敛下

则此级数对一切 x ( x ) 绝对收敛
un1 n ( 3) l im l im x | x | n u n n 1 n
则当| x | 1时，级数收敛；当| x | 1时，级数发散，而 x 1时，级数是否收敛取决于为何值.
微积分十一 ④
微积分十一 ④
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1. 若以前9项的和S9近似表示收敛级数 ( 1) 1 n 1 的和S , 则由此产生的误差R9 __________ __ . 10

n 1
1 n
(1)
n 1

n 1
1 1 1 1 1 1 1 n 2 3 4 9 10
S9
也是交错级数，其和：
S Rn
1 10
微积分十一 ④
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1 1 1 2. 判断级数1 的敛散性, 收 3 3! 5 5! 7 7! 敛时, 若取前三项作为和的近似值, 试估计其误差 .
1 1 1 1 n 1 1 ( 1) 3 3! 5 5! 7 7! ( 2n 1) ( 2n 1)! n 1 1 limv n lim v 0 n n n ( 2n 1) ( 2n 1)! 1 1 vn v n 1 ( 2n 1) ( 2n 1)! ( 2n 1) ( 2n 1)! 原交错级数收敛. 1 1 0.0001 若S 3 S , 则误差 R3 S S 3 7 7! 35280
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

今后对任意项级数，必须注明绝对收敛还是条件收敛.
微积分十一 ④
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任意项级数敛散性判断思考过程：任意项级数 un