2021_2022学年高中数学课时分层作业15直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质(含解析)新人

课时分层作业(十五) 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性
质
(建议用时：45分钟)
[根底达标练]
一、选择题
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，那么这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．相交或平行
B [由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．] 2．m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出以下命题：
①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n
⇒n ∥α；②⎩⎪⎨
⎪⎧
m ⊥β
n ⊥β
⇒m ∥n ；
③⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ⊥α
m ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪
⎧
m ⊂αn ⊂β
α∥β
⇒m ∥n .
其中正确命题的序号是( )
A ．②③ B．③④ C ．①② D．①②③④
A [①中n ，α可能平行或n 在平面α内；②③正确；④两直线m ，n 平行或异面，应选A.]
3．如下图，设平面α∩平面β＝PQ ，EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，垂足分别为G ，H .为使PQ ⊥GH ，那么需增加的一个条件是( )
A ．EF ⊥平面α
B ．EF ⊥平面β
C ．PQ ⊥GE
D ．PQ ⊥FH
B [因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .假设EF ⊥平面β，那么由PQ ⊂平面
β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，应选B.]
4．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，
m ∥β，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是( )
A ．A
B ∥m
B ．A
C ⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
D[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β. 应选D.]
5．平面α、β、γ，那么以下命题中正确的选项是( )
A．α⊥β，β⊥γ，那么α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，那么α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，那么a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，那么b⊥α
B[A中α，γ可以相交； C中如图：a与b不一定垂直； D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.]
二、填空题
6．AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如下图，且AF＝DE，AD＝6，那么EF＝________.
6 [因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.]
7．直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，那么直线a，b的位置关系是________．
a∥b[因为直线a⊥m，a⊥n，直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，所以a⊥α，同理可证直线b⊥α.所以a∥b.]
8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，那么AD与平面BCD所成的角是________．
45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，那么∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD ＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]
三、解答题
9．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求证：AE⊥PB.
[证明] 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.
又ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.
因为AE⊂面PAB，所以BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE，
因为PC∩BC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.
10．如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．
[解] 连接BC. ∵α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB，
∴BD⊥平面α.
∵BC⊂α，∴ BD⊥BC，
在Rt△BAC中，
BC＝AC2＋AB2＝32＋42＝5，
在Rt△DBC中，CD＝BC2＋BD2＝52＋122＝13，
∴CD长为13 cm.
[能力提升练]
1．如下图，三棱锥P­ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，
A，B是定点，那么动点C运动形成的图形是( )
A．一条线段B．一条直线
C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点
D[∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，应选D.]
2．如下图，两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．假设CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，那么线段MN的长等于________．
6 [取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，
所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.]。