第5章 静态场边值问题的解法

两边同乘 sin
b
b m y n y m y 0 V sin b dy 0 Cn sin b sin b dy n 1 b m y n y
b
并从0 → b积分：
C
n 1
n 0
sin
0 m y n y ∵ sin sin dy 0 b b b / 2

，即
n
具有轴对称性，通解为
P0 1
bn ( R, ) (a n R n 1 ) Pn (cos ) R n
若 与
P1 (cos ) cos
Pn (cos ) -----为勒让德函数
1 P2 (cos ) (3 cos 2 1) 2
三 、求解场方法
（一）、直接积分法（一维场）
适用条件：一些简单对称的问题 例：5.1
（二）.
拉普拉斯方程
—— 分离变量法
•分离变量法的适用条件 •拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 •解题步骤 •应用实例
•拉普拉斯方程的适用条件 1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导
体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 0 0 为已知自由电荷产生 ， 的电势， 不满足 2 0 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 2 0 但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
•应用举例 1、一个内径和外径分别为 R2和R3 的导体 球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为 R1 的导体球 R1 R2 ，使这个导体球接地，求 空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。
Q
Q
2. 以唯一性定理为依据
在唯 一性 定 理 保证 下 ， 采 用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。 特别 是对 于 只 有几 个 自 由 点电荷时，可以将导体面上感 应电荷分布等效地看作一个或 几个点电荷来给出尝试解。
3．球坐标
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
n
若 不依赖于
Pnm (cos ) ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
r a
C 0 Ca 1 0 r a r a a
a C 0
r (r ) ln 0 a
d a er E er dr 0 r
a
在导体面上
E (a) er 0
(三） 镜 象 法
重点掌握：
1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法
2 2 2 2 2 0 x y
x
z
(0 x , 0 y b)
X ( x)Y ( y )
kx Bekx )(C sin ky D cos ky ) ( x, y) ( Ae
（3）确定常数 A，B，C，D，k
① ②
X ( x) Aekx Bekx Y ( y ) C sin ky D cos ky
（3）若
2
(x) ，与 y, z
无关。
d 0 2 dx
Ax B
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 0 2. 柱坐标 2 r r r r z 讨论 (r , ) ，令 (r , ) f (r ) g ( )
n 1
n
(r , ) r n ( An sin n Bn cos n ) r n (Cn sin n Dn cos n )
若
r C A B ln r r
1 (r )0 (r ) ， r r r
•电象法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
一般静电问题可以通过求 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是，在许多情 况下非常困难。例如，对于 介质中、导体外存在点电荷 的情况虽然可以采用叠加法 求解，但是求解比较困难。 求解的困难主要是介质分界 面或导体表面上的电荷一般 非均匀分布的，造成电场缺 乏对称性。
y 0, 0 D 0 y b, 0 sin kb 0
kb n n k b

(n 1, 2,3,)
kx B ekx )(C sin ky) n ( x, y) ( Ane n n
通解
(n 1, 2,3)
( x, y ) n ( x, y )
令 m 2n 1
n 0,1,2,
0 x 0 yb
4V ( x, y )
1 (m 1) y (2 n1) x / b 2n 1 sin b e m 0

3.半径 a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体， 求导体柱外空间的电势和电场。
（1）导体壳内
（2）导体壳外
2、两无限大平行导体板，相距为 l ，两板间电势 差为V (与 x, y, z无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 E 。 解：（1）边界为平面，故 应选直角坐标系 下板 S 0 ，设为参考点
1
Z
V
（2）定性分析：因在
z l
l
x
O
V （常数），可考虑
S
S
为已知，若为导体

S
=常数。② 边界S上，
为已知， 若是导体要给
定总电荷Q。它相当于 ③ 边界S上，
(

n
S
dS ） 给定（ Q S n S
) S 已知
二、唯一性定理
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
n 1
③
n nb x n ( x, y) Cn sin ye ( BnCn Cn ) b n x n Cn sin ye b b n 1 ny V V C n sin ④ x0 b n 1 my
x
0 An 0
3 一对接地半无限大平板，相距为 b，左端有一极 板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。 解：（1）边界为平面， 选直角坐标系；上、下两 平板接地，取为参考点； 且当 y 0, b, 0 x （2） 轴平行于平板，且 z
y
V
x 0, 0 y b, V 与 z 无关，可设 ( x, y )
y

与
x, y
无关。
(3) 列出方程并给出解：
0
2
d 2 0 2 dz
方程的解：
Az B
Al V
(0 z l )
B0
V A l
(4) 定常数： ( z 0) 0
(z l) V
V (0 z l ) (5) 电场为均匀场 电势： z l d V V E ez ez E 常数 dz l l

0
注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界
可视为外边界，给定
定总电荷 Q，或给定


S
（接地
S
0 ），或给
。Hale Waihona Puke 电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如
均匀场中，E E0 e z
E0 r cos E0 z
（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。
（2）内部边值关系：介质分界面上
（2）若 ( x, y ) d2X X 0 2 dx d 2Y Y 0 2 dy
k , k
2
2
0
X ( x) Aekx Be kx Y ( y ) C sin ky D cos ky
注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边 k 界条件， 1 , k 2 , k将与某些正整数有关，它们可取1， 2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。
第5章 静态场边值型问题的解法
一、静电场的边值型问题
假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以 有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀 线性各向同性。 设V内所求电势为 ，它们满足泊松方程 i
i i
2
(i 1, 2, , m)
n
三类边界条件：① 边界S上，
•拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1、直角坐标 2 2 2 0 x y z
2 2 2 2
（1）令 ( x, y, z ) X ( x)Y ( y ) Z ( z ) 2 2 d2X 令 k1 , k 2 X 0 2 dx 2 k12 k 2 k 2 d 2Y Y 0 2 k1 x k1 x dy X ( x) Ae Be d 2Z k2 y k2 y Z 0 Y ( y ) Ce De 2 dz Z ( z ) E sin kz F cos kz 0
b
b
sin
n m b mn n m 2
b
dy
my b dy C n mn C m b / 2 ∴ V sin 0 b 2 n 1 2 b my 2V b m C m V sin dy 0 sin y dy b 0 b b m 4V （m = 奇数） 2V m ] 0 m [ [ cos y （m = 偶数） m 0 4V 1 m y m x / b ( x, y ) m sin b e m1,3,5 b
d 2 g ( ) 2 g ( ) 0 d 2 1 d df 2 (r ) 2 f (r ) 0 r dr dr r

g () a1 sin a2 cos
f (r )有两个线性无关解 r 、

r

单值性要求 (0) (2 ) ， 只能取整数，令
1 d d 0 (r ) 0 r dr dr
2
d r C dr
C d dr r
D C ln a
当 r = a 时， (a) 0 r (r ) C ln a C ln r C ln a
(r ) C ln r D
d 0 dn
b ( R) a 具有球对称性， 通解： R
,
均无关，
•解题步骤
1. 选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参
考点主要根据电荷分布是有限还是无限；
2. 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选
坐标系中的通解； 3. 根据具体条件确定常数
（1）外边界条件： 电荷分布有限
解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可 选在导体面 r = a 处，即 ( (r a) 0) 选柱坐标系。 对称性分析： ① 导体为圆柱，柱上电荷均匀 分布， 一定与 无关。 ② 柱外无电荷，电场线从面上 发出后，不会终止到面上，只 能终止到无穷远，且在导体面 上电场只沿 er 方向，可认为 与z无关， (r ) y r o z θ x