2019年山东省各地市一模试题分类汇编(理科)——函数与导数

2019年山东省各地市一模试题分类汇编
函数与导数
一、选择题
1.（菏泽一模3）函数的一个零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】零点所在单调区间满足，依次判定，即可。

【解析】，，故其中一个零点位于
区间内，故选B。

【点评】考查了函数零点所在区间的判定，关键抓住零点所在区间满足，即可，难度中等。

2.（济宁一模5）已知函数是定义在R上的奇函数，且若则
（）
A. B. 9
C. D. 0
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可知f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝﹣f（1），即可得答案．
【解析】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），
则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f（x）的周期性，是中档题.
3.（枣庄一模6）有如下命题：①函数，，，中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】①根据函数的单调性可得，，三个函数在上是减函数，
在R上递增的，故①正确；
②令函数=0化简：=x+2，作出图像，看交点个数得出结果②正确；
③若，因为为单调递减函数，所以故③正确.
【解析】由题①函数，，，中，根据函数的单调性易知，，
，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；
②令函数=0
化简：=x+2，作出图像
有两个交点，故由两个零点；②正确；
③若，因为为单调递减函数，所以
故③正确.
故选D
【点评】本题考查了函数的性质（单调性）以及函数与方程，借助数形结合思想，属于较易题.
4.（聊城一模8）设函数f（x）＝+a，若f（x）为奇函数，则不等式f（x）＞1的解集为（）
A．（0，1）B．（﹣∞，1n3）C．（0，ln3）D．（0，2）
【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f（x）＝+a，其定义域为{x|x≠0}
若f（x）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝0，
即（+a）+（+a）＝﹣1+2a＝0，解可得a＝，
则f（x）＝+
又由y＝e x﹣1在（0，+∞）为增函数其y＞0，则f（x）＝+在（0，1）上为减函数且f（x）＞0，
则f（x）在（﹣∞，0）上减函数且f（x）＜0，
又由f（ln3）＝+＝1，
则f（x）＞1⇒f（x）＞f（ln3），
则有0＜x＜ln3，即不等式的解集为（0，ln3）；
故选：C．
5.（济南一模8）若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用，把用表示，并得到，构造幂函数，
利用幂函数的单调性，得到结果.
【解析】
设，则，
则
则
设函数，
在单调递减
即，因此
故选B项.
【点评】本题考查对数与指数关系，构造函数，幂函数的特点等，属于中档题.
6.（泰安一模9）已知函数等于
A. 2
B.
C.
D. 3
【答案】A
【分析】利用已知推导出，由此能求出结果．
【解析】解：函数，
．
故选：A．
【点评】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.（潍坊一模8）函数的图象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．
【解析】当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，
当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，故选A.
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．
8.（潍坊一模9）已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）在（-1，0）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（0，1）上为增函数，又由α，β为锐角三角形的两个内角分析可得sin α＞sin（90°﹣β）＝cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．
【解析】根据题意，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x＝（）x，则f（x）在（0，1）上为减函数，
又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，
若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°﹣β，则有sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ，
则有f（ sinα）＞f（cosβ），
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及三角函数的诱导公式的运用，属于基础题．
9.（淄博一模10）已知，，设，，，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】判断出单调性之后，将的自变量转化为同底的对数的形式比较大小，结合单调性可确定的大小关系.
【解析】在上单调递减
.
可得：
本题正确选项：
【点评】本题考查利用函数单调性比较大小问题，关键在于能够将自变量变换成同底对数的形式，比较出自变量的大小关系.
10.（德州一模9）设是定义在R上周期为2的函数，且，记
，若，则函数在区间上零点的个数是
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】D
【分析】根据函数的周期性和解析式，作出函数的图象，利用函数零点与方程之间的关系转化为两个图象交点个数，利用数形结合进行求解即可．
【解析】是定义在R上周期为2的函数，
且，
作出是在区间上图象如图：
由，得，
，
作出的图象，由图象知两个函数共有8个交点，
即的零点个数为8个，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点问题是
解决本题的关键．
11.（烟台一模11）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；
把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．
【解析】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，
且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），
∴f（x）为R上的奇函数；
又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，
∴f（x）为R上的单调增函数；
又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，
得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），
∴2x2﹣1＞﹣x，
即2x2+x﹣1＞0，
解得x＜﹣1或x＞，
所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．
12.（临沂一模11）函数上不单调的一个充分不必要条件是
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】先求出函数的导函数，再根据函数f （x ）在（1，3）上不单调，得g （1）·g （3）＜0且△≥0，从而可求a 的取值范围。

【解析】 所以
令 因为函数上不单调 即
在
上由实数根
a=0时，显然不成立， a≠0时，只需 ，解得
或
即a ∈
它的充分不必要条件即为一个子集 所以选A
【点评】本题考查了导数的应用，函数的单调性与充分必要条件的综合，属于中档题。

13.（青岛一模12）已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-->-=0,230
,ln 2)(2x x x x x x x x f ，若方程1)(+=kx x f 有四个不相
等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
（A ）)1,31
( （B ）)2,31( （C ）)54,21( （D ）)1,2
1( 【答案】D
14.（枣庄一模12）已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，
当时，
，则下列判断正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】先根据题意，构造函数，判断出函数g （x ）的单调性，再利用
求得函数g （x ）的对称轴，然后判断，得出答案即可. 【解析】构造函数
，因为当
时，
，
所以
可得在时，
是单调递增的； 因为，化简得
即 可得图像关于x=1对称，
则 ，
因为
化简可得，
故选C
【点评】本题主要考查了构造函数，然后考查了导函数的应用和函数的对称性来进行求解，解题的关键是在于能否构造出新函数，属于难题. 几种导数的常见构造： 对于 ，构造
若遇到，构造 对于，构造
对于，构造
对于或
，构造
对于，构造
对于
，构造
15.（日照一模12）已知函数()()()12x
f x m x x e e =----(e 为自然对数底数)，若关于
x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为
A ．32
e e +
B ．22e e +
C ．32
e e -
D ．22
e e -
【答案】A
【解析】()()()12e e 0x
f x m x x =---->，
∴()()12e e x
m x x ->-+，
设()()()1,2e e x
y m x g x x =-=-+，
∴()()1e x
g x x '=-，
当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，
当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴()()10g x g ≥=，
当+x →∞时，()+g x →∞，当x →-∞，()g x e →， 函数()1y m x =-图像恒过点()1,0，
分别画出()y g x =与()1y m x =-的图象，如图所示， 若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则()1y m x =-的图象在()y g x =图象的上 方只有一个正整数值2，
∴()3
23e e m g ≤=+且()2e m g >=，∴3e e
e 2
m +<≤，
故实数m 的最大值为3e e
2
+.
16.（聊城一模12）已知函数f （x ）＝，若关于x 的方程f （x ）＝x +a 无实根，
则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，0）∪（，1） B ．（﹣1，0）
C ．（0，）
D ．（0，1）
【答案】B
【解析】解：因为函数f （x ）＝，
关于x的方程f（x）＝x+a无实根等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点，
设直线y＝x+a与f（x）＝（x＞0）切与点P（x0，y0），
由f′（x）＝，
由已知有：，解得x0＝1，
则P（1，0），
则切线方程为：y＝x﹣1，
由图知：函数y＝f（x）的图象与直
线y＝x+a无交点时实数a的取值范
围为实数a的取值范围为﹣1＜a＜0，
故选：B．
17.（济宁一模12）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )
A. (3，4)
B. (4，5)
C. (5，6)
D. (6．7) 【答案】C
【分析】把方程xlnx+（3﹣a）x+a＝0有唯一实数解转化为有唯一解，令f（x）
（x＞1），利用导数研究其最小值所在区间得答案．
【解析】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，
令f（x）（x＞1），则f′（x）．
令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，
∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，
∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．
则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
∴f（x）min＝f（x0）．
∵﹣4＝0，∴，
则∈（5，6）．
∴a所在的区间是（5，6）．
故选：C
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，熟练运用零点存在定理得x0﹣lnx0﹣4＝0并反代入f（x0）是本题关键，属中档题．18.（泰安一模12）已知函数有四个不同的零点，，，，且
，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作出的图象，利用有4个不同的根，结合根与系数之间的关系，用t表示，，，，求出的表达式，构造函数，研究函数的单调性和取值范围即可．
【解析】由得，
作出的图象如图，
要使有四个不同的零点，则，
同时，，是方程的两个根，
，，是方程的两个根，
则，，，，
则
，
，
则，
设
，
，
由得
，得
， 平方得得，得
，即
，此时
为增函数，
由得，此时为减函数，
故当
时，取得极大值，
，
，则
， 即
的取值范围是
故选：A ．
【点评】本题考查了函数与方程的应用，还考查了韦达定理得应用，利用数形结合，转化为关于t 的函数关系，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度．
二、填空题
19.（日照一模13）若函数()()()3f x x a x =-+为偶函数，则()2f =___________． 【答案】5-
【解析】法一：因为()()f x f x =-，所以2
2
(3)3(3)3x a x a x a x a +--=---，可得3a =，所以2
()9f x x =-，2
(2)295f =-=-.
法二：由2()(3)3f x x a x a =+--为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以30a -=，3a =，所以2
(2)295f =-=-.
20.（济南一模15）已知函数，若的最小值为，则实数的
取值范围是_________
【答案】
【分析】，可得在时，最小值为，
时，要使得最小值为，则对称轴在1的右边，
且，求解出即满足最小值为.
【解析】当，，当且仅当时，等号成立.
当时，为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足
并且，即，解得.
【点评】本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.
21.（济宁一模15）如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．
【答案】
【分析】结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解析】正方形的面积为e2，
由lnxdx＝（xlnx﹣x）1，
由函数图像的对称性知黑色区域面积为2lnxdx=2
即S阴影＝2，
故此点取自黑色部分的概率为，
故答案为：
【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．
22.（枣庄一模16）若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
【答案】
【分析】根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为求的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.
【解析】因为正实数满足，则函数的零点
令
所以零点的最大值就相当于求的最大值
令，
所以函数是单调递减的，
当t取最小值时，f(t)取最大值
又因为，a+b=1
所以
令，
令，解得，此时递增
，解得，此时递减，
所以此时
故答案为
【点评】本题主要考查了导函数的应用问题，解题的关键是换元构造新的函数，求其导函数，判断原函数的单调性求其最值，易错点是换元后一定要注意换元后的取值范围，属于难题.
23.（烟台一模16）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．
【答案】
【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，
由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解
【解析】
解：由f（x）＝，
可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，
f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，
y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示，
设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），
由f′（x）＝，
则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），
又此直线过原点（0，0），
则求得x0＝e，
即切线方程为：y＝，
由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，
实数m的取值范围是m，
故答案为：（﹣∞，）．
【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．
24.（德州一模16）已知函数，，设两曲线，
有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______．【答案】
【分析】由题意可得，，联立后把b用含有a的代数式表示，再由导数求最值得答案．
【解析】设，
，．
由题意知，，，
即，
，
解得或舍，
代入得：，，
，
当时，，当时，．
实数b的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
25.（菏泽一模16）已知函数，，若对
，，使成立，则实数的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】结合题意，关键得出要使得对，，使
成立，则要求的值域为f(x)的值域的子集，分别求出值域，建立不等式，即可。

【解析】结合题意可得，
要使得对，，使成立，
则要求的值域在内，
对求导得，
当，得到，结合该函数的定义域为，
可知在单调递增，在单调递减，故在取到最大值,在取到最小值,所以需要满足且，得到,解得。

【点评】考查了导函数计算原函数最值问题，考查了函数值域问题，难度偏难。

三、解析题
26.（济南一模21）已知函数，其导函数的最大值为. （1）求实数的值；
（2）若，证明：.
【分析】（1）先对求导，然后根据导数形式对进行分类讨论，通过导函数最大值为0，求得的值.
（2）要证，则需证，再利用的单调性，证，利用条件把换掉，构造函数
证明，对求导，研究其单调性和极值，得到结论.
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，其导函数
记则.
当时，恒成立，所以在上单调递增，且.
所以，有，故时不成立；
当时，若，则；若，则.
所以在单调递增，在单调递减。

所以.
令，则.
当时，；当时，.所以在的单减，在单增. 所以，故.
（2）当时，，则.
由（1）知恒成立，
所以在上单调递减，
且，
不妨设，则，
欲证，只需证，因为在上单调递减，
则只需证，又因为，
则只需证，即.
令（其中），且.
所以欲证，只需证，
由，
整理得：，
，
所以在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上单调递减，
所以有，，故.
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值问题，涉及分类讨论的数学思想，构造函数解决极值点偏移问题，题目较综合，属于难题.
27.（菏泽一模21）已知函数，.
（1）求证：函数与在处的切线关于轴对称；
（2）若
（ⅰ）试讨论函数的单调性；
（ⅱ）求证：.
【分析】（1）计算这两个函数在x=1处的切线斜率之和，即可。

（2）（i）计算函数，计算导函数，构造函数，判断该函数与0的关系，结合导函数与原函数的单调性，判断，即可。

（ii）建立不等式,然后相加,证明题目所求不等式,即可.
【解析】（1）证明：，，
则函数与在处的切线的斜率之和为
又因为
所以函数与在处的切线关于轴对称
（2）（ⅰ）函数的定义域是
令
则
所以在上单调递减，
又，所以当时，；
当时，，
所以在上，在上，
所以在上单调递增，在单调递减.
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，函数的定义域是，在处取得极大值，也是最大值，
所以对，，则，则
因为，则不等式两边同除以，可得（当且仅当时等号成立）令，则（且）
所以，，，，，
以上个式子相加得：
得
得
得
所以（，且），命题得证.
【点评】考查了不等式的证明,考查了利用导函数研究原函数的单调性,考查了利用导数计算切线斜率,难度偏难.
28.（济宁一模21）已知函数．
(I)讨论的单调性；
(II)若时，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．
【解析】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，，
①当时，，f(x)在上为增函数.
②当a>0时，由得；
由得,
所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.
综上所述，①当时，函数f(x)在上为增函数
②当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.
(Ⅱ)①当a=0时，因为，所以恒成立，所以a=0符合题意.
②当a<0时，，因为，所以不恒成立，舍去.
③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.
下面先证明：.
设，因为，
所以p(a)在上为增函数.
所以，因此有.
所以f(x)在上为增函数.
所以.
设，则，.
由得；由得.
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以.
所以q(a)在上为增函数，
所以.所以.
所以恒成立.
故a>0符合题意.
综上可知，a的取值范围是.
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
29.（泰安一模21）已知，函数，直线．
讨论的图象与直线的交点个数；
若函数的图象与直线相交于，两点，证明：
．
【分析】根据函数与方程的关系，设，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．
构造函数，求函数的导数，结合与l的交点坐标，进行证明即可．
【解析】由題意，令，
则，
令，解得．
所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
则当时，函数取得极小值，同时也是最小值
.
当，即时，的图象与直线l无交点，
当，即时的图象与直线l只有一个交点．
当，即时的图象与直线l有两个交点．
综上所述，当时，的图象与直线l无交点;时,的图象与直线l只有一个交点;时的图象与直线l有两个交点．
证明：令，
，
，
，即在上单调递增，
，
时，恒成立，
又，
，
，
即，
又
，
，，
在上单调递增，
即．
，
，
．
，
即，则，
，
即，
即成立．
【点评】本题考查了函数与方程的关系，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键综合性较强，考查转化能力及计算能力，难度较大．30.（潍坊一模21）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）设函数，若存在，使，证明：
.
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（2）求出a，问题转化为证明lnx1+lnx2＜2（1），即ln•2，不妨设x1＞x2，t1，即证lnt•2，根据函数的单调性证明即可．
【解析】（1）的定义域为，
，
令，
所以，
当时，；
当时，.
所以在上单调递减，
在上单调递增.
所以.
所以函数的极小值为，无极大值.
（2），
当时，由于，所以，，即，当时，由于，所以，，即，当时，，
综上，，故在单调递增，
故只须证明，
即证，
由，可知，
故，
即证，
，
，
也就是，
，
，
.
不妨设，，
即证，
，
即证，
设，
，
故在单调递增.
因而，
即，
因此结论成立.
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于难题．
31.（枣庄一模21）已知
（I）求函数的极值；
（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围．
【分析】（I）先根据题意，求出，再求出，然后对a进行讨论，求得的单调性，然后取得极值.
（II）仅有一个实数解,即有唯一零点，然后求得
，再对a进行讨论，讨论单调性，求得的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取值.
【解析】（I）,
当，，在上是增函数，
所以，函数没有极值.
（2）若，
所以在是减函数，在是增函数
所以在取极小值，极小值为
（II）仅有一个实数解,即有唯一零点.
当，，此时在R上递增，
因为，
所以在递减；在递增，
，当x=0取等号，
所以满足题意；
当时，
所以在递减，上递增；
令
此时当上，递增；当上，递减；
当且紧当取等号，
所以（1）当，，且
因为（利用：当时，），所以
由零点存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）于是，当递增；当递减；当
递增；
于是
且当
由零点存在性定理：必然存在一个使得
此时，存在两个零点，可见不满足题意；
（2）当时，，且
此时，且（这里利用）
由零点存在性定理：必然存在唯一，使得=0
此时在递增；在递减；
在递增
可见，
且当
由零点存在性定理：必然存在唯一一个，使得
此时，存在两个零点，可见不满足题意；
（3）当时，则
此时在R上递增，且，
所以此时有唯一一个零点
所以满足题意
综上，a的取值范围为
【点评】本题考查了函数对含参数的函数单调性的讨论，导函数的应用以及零点存在性定理的应用，属于极难题型.
32.（淄博一模21）已知函数.
（1）若是的极大值点，求的值；
（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.
【分析】(1)首先对函数进行求导，然后通过极大值点所对应的导函数值为0即可求出的值，最后通过检验即可得出结果；
(2)首先可以设方程并写出方程的导函数，然后将在上只有一个零点转化为在上只有一个零点，再利用方程的导函数求出方程
的最小值，最后对方程的最小值与0之间的关系进行分类讨论即可得出结果。

【解析】(1)，
因为是的极大值点，所以，解得，
当时，，，
令，解得，
当时，，在上单调递减，又，
所以当时，；当时，，
故是的极大值点；
(2)令，，
在上只有一个零点即在上只有一个零点,
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以
.
（Ⅰ）当，即时，时，在上只有一个零点，即在
上只有一个零点.
（Ⅱ）当，即时，取，
，
①若，即时，在和上各有一个零点，即在上有2个零点，不符合题意；
②当即时，只有在上有一个零点，即在上只有一个零点，
综上得，当时，在上只有一个零点。

【点评】本题考查了函数与函数的导数的相关性质，主要考查了函数的极值、最值以及函数的零点的相关性质，考查了函数方程思想以及化归与转化思想，体现了基础性与综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算以及数学建模素养。

33.（临沂一模21）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】(1)求出函数的导函数,讨论a的取值范围,求出单调区间即可。

(2)利用变换主元法，将变为。

根据单调性求得的最大值，进而将不等式构造成一个函数形式，通过导数、单调性及最值即可求得b的取值范围。

【解析】(1)因为函数
所以
因为
（ⅰ）当时，
令，得
令，得
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为。

（ⅱ）当时，
因为，所以
令，得
令，得或
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为，。

(2)将函数整理成关于a的函数，可得
当时，
即为单调递增函数且
所以
存在，使得上恒成立等价于在
上恒成立，即
令
（ⅰ）当b=0时，，此时在时不能恒成立，不合题意
（ⅱ）当b>0时，，，不合题意
（iii ）当b<0时， ， 则 ，此时
令 ，
此时
为单调递减函数
1) 当b≤-2时，
所以对于
则在
上单调递减，所以
即不等式
恒成立
2) 当-2＜b ＜0时，，
，且为
上的单调递减函数 所以有唯一零点 使得且
时
所以当时
所以
在
上单调递增
则
时
，即
不成立
综上所述，b 的取值范围为
【点评】本题考查了导数中含参问题的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值等，是高考的重点和难点，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。

34.（日照一模21）己知函数()()2
1ln ,1,2
u x x x v x mx x m R ==+-∈． (1)令2m =，求函数()()
()1
u x h x v x x =
-+的单调区间；
(2)令()()()f x u x v x =-，若函数()f x 恰有两个极值点12,x x ，且满足2
1
1x e x <≤(e 为 自然对数的底数)求12x x ⋅的最大值． 解:（1）由题意知，
ln ()x h x x =
，则21ln ()x
h x x -'=． 由21ln ()0x
h x x -'=>，解得0e x <<，故()h x 在(0,e)上单调递增；
由2
1ln ()0x
h x x -'=<，解得e x >，故()h x 在(e,+)∞上单调递减；
所以，函数()h x 的单调递增区间为(0,e)，
函数()h x 的单调递减区间为(e,+)∞. …………………………4分 （2）由题意知，
2
1()ln 1
2
f x x x mx x =--+ ()ln 0f x x mx,x ¢=->． 令()0f x ¢
=， 得ln 0x mx -=
由函数()f x 恰有两个极值点12x ,x ， 令2
1
x t x =
，则(1e]t ,∈， 则由211122
,ln ,ln ,
x t x x mx x mx ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
………………………6分
解得12ln ln ,1ln ln .
1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
………………………8分
故1212(1)ln ln()ln ln 1
t t
x x x x t +=+=
-g ，(1e]t ,∈．
令(1)ln ()1
t t
t t ϕ+=
-，则2
1
2ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-． …………………………………10分
令1
()2ln g t t t t
=--，则222222121(1)()10t t t g t t t t t -+-'=-+=
=>． 所以()g t 在区间(1e],上单调递增，即()(1)0g t g >=． 所以()0t ϕ'>，即()t ϕ在区间(1e],上单调递增，即e+1
e e 1
φt φ≤-（）()=
所以12e 1
ln()e 1
x x +⋅≤-，即e 1
e 112e x x +-⋅≤.
所以12x x ⋅的最大值为e 1e 1
e
+-． …………………………………12分
35.（青岛一模21）已知函数2
1)1(ln 2)(2-+-+-=a x ax x x x f 。

（Ⅰ）当0≤a 时，证明：函数)(x f 只有一个零点； （Ⅱ）若函数)(x f 的极大值等于0，求实数a 的取值范围。

【解析】
36.（聊城一模21）已知函数f （x ）＝alnx +x 2
+（a +2）x ．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜0，若不相等的两个正数x1，x2满足f（x1）＝f（x2），证明：f′（）＞0．【解析】解：（1）f′（x）＝+2x+（a+2）＝＝，x＞0，当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＜0时，当0＜x＜﹣时，f′（x）＜0，当x＞﹣时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，
证明（2）∵f（x1）＝f（x2），
∴alnx1+x12+（a+2）x1＝alnx2+x22+（a+2）x2，
∴a（lnx1+lnx2）＝x22﹣x12+（a+2）（x2﹣x1）＝（x2﹣x1）（x2+x1+a+2）
∴x2+x1+a+2＝，
∵f′（x）＝+2x+（a+2），
∴f′（）＝+x2+x1+a+2＝+
＝a（﹣）
＝（﹣ln）
＝（﹣ln），
不妨设x2＞x1＞0，则＞1，
要证明：f（）＞0，a＜0，
只要证﹣ln＜0，
令＝t＞1，
∴g（t）＝﹣lnt＝2﹣﹣lnt，
∴g′（t）＝﹣＝＝﹣＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（t）＜g（1）＝﹣ln1＝0，
∴﹣ln＜0，
∴f′（）＞0．
37.（烟台一模21）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x（0，+∞）使g min（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．
【解析】解：（1）由题意可知，＝，………………（1分）
当a＝0时，f'（x）＝e x＞0，此时f（x）在R上单调递增；………………（2分）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），
当x（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（3分）当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），
当x（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（4分）综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，x（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减，
x（ln（3a），+∞）时单调递增；
当a＜0时，x（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减，
x（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分）
（2）由e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x），
可得，e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0，
令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10
只需在x（0，+∞）使g min（x）＞0即可，
g'（x）＝e x（x﹣a﹣1）+e x﹣2x+2a＝（e x﹣2）（x﹣a），………………（6分）当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，
只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，
解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0；………………（8分）当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数，
在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，
则，解得0＜a＜ln2，………………（9分）
③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，
而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分）
④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数，
在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，。