2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（理）试题

2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（理）试
题
一、单选题 1．设1i
2i 1i
z -=++，则||z =
A ．0
B ．12
C ．1 D
【答案】C
【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()
1i 1i 1i
2i 2i 1i 1i 1i z ---=
+=++-+ i 2i i =-+=，
则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．若x ∈R ，则“31x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分别求解两个不等式再判断即可. 【详解】
因为3
y x =为增函数,故31x >解得1x >,又1x >解得1x >或1x <-,故“31x >”是
“1x >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型. 3．下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．
①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
③若//m α，//n α，则//m n ； ④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②③
C ．①④
D ．②④
【答案】C
【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n α知，存在直线b α⊂内，使n b ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥， ，正确．故正确命题为①④，选C.
4．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的
12
，再向右平移6π
个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为
A ．()sin()6g x x π
=-
B ．()sin()6g x x π
=+
C ．2()sin(4)3
g x x π=- D ．()sin(4)6
g x x π
=-
【答案】C
【解析】将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的
12得到sin 4y x =，再向右平移6
π
个单位长度后 得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63
g x x x ππ
=-=-
，故选C. 5．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…，则这个数列的第19项为（ ）
A ．55
B ．110
C ．58
D ．220
【答案】A
【解析】先对“锯齿形”的数列的奇数项找规律，求出通项公式，然后利用“锯齿形”数列的第19项即为新数列的第10项即可求出结论. 【详解】
设“锯齿形”的数列的奇数项构成数列{}n b ，
由21312b b -=-=，32633b b -=-=，431064b b -=-=，
5415105b b -=-=1n n b b n -⇒-=，
所以可得()()1
212
n
n n b b +-=
+，即22
n
n n
b +=， 又因为“锯齿形”数列的第19项即为新数列的第10项，
2101010552
b +==，
故选：A 【点睛】
本题考查了递推关系式求数列的通项公式，考查了叠加法求通项公式，属于中档题. 6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
43
B ．8
C ．4
D ．83
【答案】D
【解析】由三视图可知几何体为四棱锥,俯视图为底面,主视图的高为棱锥的高, 代入体积公式计算可得选项. 【详解】
由三视图可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，底面是边长为2的正方形，棱锥的高为2，∴218
2233
V =⨯⨯=. 故选:D. 【点睛】
本题考查根据三视图得出原几何体，并且求其体积的问题，关键在于由三视图准确地还原几何体，属于基础题.
7．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】C 【解析】【详解】
因为5a 是2a 与6a 的等比中项，
()()2
25262222689a a a a a a a ∴=∴+=+∴=-，
所以通项公式为
()()22922213n a a n d n n =+-=-+-=-，
令0n a ≤得6n ≤，所以该数列的前n 项和n S 取最小值时n 的值等于6 8．假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下： Y
X 1y 2y
总计
1x
a
10
10a +
2x
c
30 30c +
总计 60
40
100
对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A ．45a =，15c = B ．40a =，20c = C ．35a =，25c = D ．30a =，30c =
【答案】A
【解析】由题意得，当10a a +与30
c
c +相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即可得到答案. 【详解】 由题意可得，当
与
相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，分析四组选
项，A 中的a ，c 的值最符合题意，故选A. 【点睛】
本题主要考查了独立性检验的判定及应用，其中熟记独立性检验的相关知识和2K 的计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占
1
2
，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ） A ．甲400法郎，乙300法郎 B ．甲500法郎，乙200法郎 C ．甲525法郎，乙175法郎 D ．甲350法郎，乙350法郎
【答案】C
【解析】通过分析甲可能获胜的概率来分得奖金，假定再赌一局，甲获胜的概率为12
；若再赌两局，甲才获胜的概率为111
224
⨯=，从而得甲获胜的概率为113424+=，可得
出奖金的分配金额. 【详解】
假定再赌一局，甲获胜的概率为12；若再赌两局，甲才获胜的概率为111
224
⨯=， ∴甲获胜的概率为113424+=，∴甲应分得：3
7005254
⨯=（法郎），乙应分得：
1
7001754
⨯=（法郎）.
故选：C. 【点睛】
本题考查概率知识的实际应用，关键在于明确概率的原理，以达到理论联系实际，属于中档题.
10．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2
1e 2e 2
+的最小值为（） A
B ．3
C ．6
D
【答案】C
【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示2
1e 2e 2
+，再利用
均值不等式得到答案. 【详解】
设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c
==， 又
1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，
两式相减，可得：122a a c -=，22112122
242222e a a a c c
e c a ca ++=+=， ()2222222221222
42842422222c a a c e ca a c a c
e ca ca c a ++++∴+===++
. ， 2222
22
2222a a c
c c a c a +≥⋅=，当且仅当2222a c c a =时等立，
2
1e 2e 2
∴
+的最小值为6， 故选:C ．
【点睛】
本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示2
1e 2e 2
+是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
11．已知12,l l 分别是函数()|ln |f x x =图象上不同的两点12,P P 处的切线，
12,l l 分别与y 轴交于点,A B ，且1l 与2l 垂直相交于点P ，则ABP ∆的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2)
C ．(0,)+∞
D ．(1,)+∞
【答案】A
【解析】由题意得()ln ,01
ln ln ,0x x f x x x x -<<⎧==⎨
>⎩
．设11122212(,ln ),(,ln )(1,01)P x x P x x x x -><<，由导数的几何意义可得切线12,l l 的斜率
分别为1212
11
,k k x x =
=-， 由条件可得1212
11k k x x =-
=-，所以121=x x ，故211
x x =．
又切线1l 的方程为111
1ln ()-=
-y x x x x ，切线2l 的方程为2221
ln ()y x x x x +=--，即
111
1
ln ()y x x x x -=--
，在两切线方程中，分别令0x =可得切线与y 轴的交点分别为 11(0,1ln ),(0,1ln )A x B x -++，故||2AB =．
由11111
11ln ()1ln ()
y x x x x y x x x x ⎧
-=-⎪⎪
⎨⎪-=--⎪⎩
，可得点21112211
21(,ln )11x x P x x x -+++． ∴21122
11211
1211ABP
P x x S AB x x x ∆+==<=++（由于11x ≠，故等号不成立）． ∴ABP ∆的面积的取值范围是()0,1．选A ． 点睛：
（1）由于曲线的两条切线垂直，故切点的横坐标必为一个小于1，一个大于1，解题时要注意这一隐含条件．
（2）三角形面积的最值问题可根据题意得到面积的表达式，然后根据表达式的特征，选择是利用基本不等式求解还是利用函数知识求解，利用基本不等式时要注意不等式使用的条件．
12．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）
A ．10
111
432
⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
B ．11
1132⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．11
1132⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．10
111
232
⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走
一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为12
3
n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()11
13
n P --，两种事件又是互斥的,可
得()1121
133
n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项.
【详解】
由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .
①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为
()12
23
n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是
()()11
1,23
n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133
n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
=， ∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232
n
n P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，10
10111
232
P ⎛⎫=⋅+ ⎪
⎝⎭， 故选：D. 【点睛】
本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.
二、填空题 13．设，向量
，且
，则
______ ．
【答案】
【解析】由题意可得，由此解得的值，可得的坐标，从而求得的
值. 【详解】 由题意可得，解得
，
所以，
所以，
故答案是5. 【点睛】
该题所考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，平面向量数量积的运算以及向量的模的求解，正确应用公式是正确解题的关键.
14．有4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每名学生只能被保送到1所学校，每所学校至少1名，则不同的保送方案共有______种.（填写数字） 【答案】36.
【解析】根据题意首先把4名学生分为3组,则有24C 种分法,再把分好的3组分到3个学习小组,则有3
3A 种分法,进而再利用分步计数原理计算出答案 【详解】
因为4名学生分配到3个学习小组,每个小组至少有1学生, 所以首先把4名学生分为3组,则有一个组有2人,共有24C 种分法, 再把分好的3组分到3个学习小组,则有3
3A 种分法,
所以共有23
4336C A ⋅=种分法.
故答案为:36. 【点睛】
本题主要考查了分配问题,解决此类问题的关键是熟练掌握分步计数原理与分步计数原理,一般是先分组再分配，属于基础题.
15．定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为__________．
【答案】{}|1x x >
【解析】设()()1h x f x x =--，则()()/
/
10h x f
x =-<，即()()1h x f x x =--是
单调递减函数，而()()11110h f =--=，所以()1f x x >+等价于()10f x x -->，即()()1h x h >，所以1x >，故不等式的解集为{}
1x x
，应填答案{}
1x x ． 点睛：本题的解答过程中，充分借助题设条件，巧妙地构造函数()()1h x f x x =--，从而借助导数的求导法则及导数与函数单调性的关系，判断出该函数的单调递减函数，进而为解不等式创造出模型．解答本题的难点在于怎样观察并构造出函数，然后再用导数知识判断其单调性，进而将不等式进行等价转化．
16．如图，在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b ，c ，其中3a =，
且
()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，D 是AC 边上一点，若AB AD =，则CBD
∆的周长的取值范围是______.
【答案】(
23,32⎤⎦
【解析】由已知等式利用正弦定理化简,得到三边的关系式,利用余弦定理求出cos A ,进而确定出角A 的值, 得出ABD ∆为等边三角形，求CBD ∆的周长的取值范围得以转化为求AC 的范围，再运用正弦定理，运用三角函数的值域求得范围. 【详解】
设CBD ∆的周长为l ，
由正弦定理得()()2
a b a b c bc +⋅-=-，即222c b a bc +-=，
∴2221cos 22b c a A bc +-==，0A π<<，∴3
A π=.
∵AB BD =，∴ABD ∆为等边三角形，
∴l BD DC BC AD DC BC AC BC =++=++=+.
在ABC ∆3
sin sin
3
AC
ABC =
∠，∴2sin AC ABC =∠，
∵
23
3ABC π
π<∠<
，
∴sin 12
ABC <∠≤，
2sin 2ABC <∠≤，
2sin 2ABC AC <∠+≤+
∴(
2l ⎤∈⎦
.
故答案为：(
2⎤⎦. 【点睛】
此题考查运用正弦、余弦定理,求解三角形，关键在于得到等边三角形，将所求的周长的范围转化为求三角形的边的范围，再运用正弦定理，转化为求角的三角函数值的范围，属于中档题.
三、解答题
17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +是4与n S 的等比中项. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列()1
11n n n n a a ++⎧⎫-⋅⎪⎪
⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭
的前2n 项和2n T .
【答案】（1）21n a n =-（2）
41
n
n + 【解析】（1）由题意得：()214n n a S +=，①,当2n ≥时，()2
1114n n a S --+=.②，①－②得()()1120n n n n a a a a --+--=. 可得数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式的解法可求得；
（2）()()1111212142121n n n n a a n n n n +⎛⎫
==+ ⎪-+-+⎝⎭，则可得211111
1143354141n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+-++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，可求得答案. 【详解】
（1）由题意得：()2
14n n a S +=，①,当2n ≥时，()2
1114n n a S --+=.②，①－②得
()()1120n n n n a a a a --+--=.
∵0n a >，∴()122n n a a n --=≥，当1n =时，()2
1114a a +=，11a =，
∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-.
（2）
()()111121214212
1n n n n a a n n n n +⎛⎫
==+ ⎪-+-+⎝⎭
， 设()()1
1
1
111
14
2121n n n
n n n
b a a n n +++-⋅-⎛⎫=
=
⋅+ ⎪-+⎝⎭
， ∴211111
1143354141n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+-++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦1114144144141
n n n n n ⎛⎫=
-=⨯= ⎪
+++⎝⎭. 【点睛】
本题考查由数列的前项的和求数列的通项，裂项求和法求数列的和，关键在于先将
1
n n n
a a +式子进行处理，然后再将整个式子按裂项相减法的步骤化简即可得到结果，需要注意的是裂项之后还剩哪些项，搞清楚，属于中档题.
18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，平面PAD ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是AD ，AB 的中点，6AB =，5DP AP ==，60BAD ∠=︒.
（1）求证：AC PE ⊥；
（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（23
12986
【解析】（1）连接BD ，由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：//OE BD ，故OE AC ⊥，再由平面PAD ⊥平面ABCD 可得AC OP ⊥，得AC ⊥平面POE ，可得证；
（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求得平面POE 的一个法向量，向量
PB ，根据线面角的空间向量坐标公式可求得直线PB 与平面POE 所成角的正弦值.
【详解】
（1）连接BD ，由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：
//OE BD ，故OE AC ⊥，
∵5DP AP ==，∴PO AD ⊥，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD =平面PAD
平面ABCD ，PO ⊂平面PAD ，
∴PO ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，故AC OP ⊥， 且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，
PE ⊂平面POE ，∴AC PE ⊥.
（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,4P ，
()
0,33,0B ，()0,0,0O
，33,
3,022E ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =，则：40
33
3022m OP z m OE x y ⎧⋅==⎪
⎨⋅=+
=⎪⎩
， 据此可得平面POE 的一个法向量为(
)
3,1,0m =
-，
而()
0,33,4PB =-，设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则
333
sin 12986
243PB m PB m
θ⋅=
=
=⨯⨯.
所以直线PB 与平面POE 所成角的正弦值为
3
12986
.
【点睛】
本题考查空间的线线垂直的证明，线面角的计算，注意在求线面角时，线面角的正弦值是平面的法向量与线向量所成的余弦值的绝对值，这个问题是易错点，属于中档题.
19．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，设直线l ：x ty λ=+是椭圆C 的一条切线，两点
()12,M y -和()22,N y 在切线l 上.
（1）若()11,1P ，()20,1P
，3P ⎛- ⎝⎭
，4P ⎛ ⎝⎭
中恰有三点在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；
（2）在（1）的条件下，证明：当t ，λ变化时，以MN 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）证明见解析；定点
30,
【解析】（1）由于3P ，4P 关于y 轴对称，得C 过3P ，4P ，2P ，C 不过1P ，代入可得椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程消去x 得(
)
2
22
4240t y t y λλ+++-=.由直线与椭圆相切得：224t λ-=，再由M 、N 在切线上，代入可得1212,y y y y +，代入以MN 为直径的圆的方程中，可得定点. 【详解】
（1）由于3P ，4P 关于y 轴对称，∴C 过3P ，4P ，∴
2213
14a b
+=，又由2222
1113
4a b a b +>+知，C 不过1P ， ∴2P 在C 上，∴2
22
1
1131
4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴22
41a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）联立2
214x y x ty λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x 得()222
4240t y t y λλ+++-=.由直线与椭圆相切
得：224t λ-=， ∵M 、N 在切线上，∴1222ty ty λλ
-=+⎧⎨
=+⎩，∴12y t λ--=，22y t λ
-=，
∴22
12224
1t y y t t
λ-=
==，122t y y λ+=-， 而以MN 为直径的圆的方程为()()()()12220x x y y y y +-+--=，
∴2
2
230x y y t λ++-=，令0y =，则2
30x -=，
∴0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，
∴
过定点()
. 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的综合应用能力,具体涉及到求曲线过定点，解题时要注意合理地进行等价转化.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,属于难度题. 20．已知函数()()2
ln 1f x x ax =++，0a >.
（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在区间
1,0有唯一零点0x ，证明：2101e x e --<+<.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()2221
'1
ax ax f x x ++=+， 分0∆<， 0∆=，0∆>，
三种情况讨论可得单调区间.
（Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =且 ()1‘0f x =
所以2
002210ax ax ++=，且()()2
000ln 10f x x ax =++=，消去a 得
()()
00ln 1021x x x +-
=+，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.
试题解析：（Ⅰ）()21221
'211
ax ax f x ax x x ++=+=
++，1x >-， 令()2
221g x ax ax =++，()2
4842a a a a ∆=-=-，
若0∆<，即02a <<，则()0g x >，
当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增， 若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当1
2
x =-
时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点
1x =，
2
x = 由()()1010g g -==>，102g ⎛⎫
-
< ⎪⎝⎭
得121102x x -<<-<<，
当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，
当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；
当2a >时，()f x 在
⎛ - ⎝⎭
和⎫⎪+∞⎪⎝⎭
上单调递增， 在
⎝⎭
上单调递减. （Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =时，符合要求. 此时，1x 就是函数()f x 在区间()1,0-的唯一零点0x .
所以2
002210ax ax ++=，从而有()
001
21a x x =-
+，
又因为()()2000
ln 10f x x ax =++=，所以()()
00ln 1021x x x +-
=+，
令01x t +=，则1
ln 02t t t
--=， 设()11ln 22h t t t =+
-，则()221'2t h t t
-=， 再由（1）知：1
02
t <<，()'0h t <，()h t 单调递减，
又因为()
22
502
e h e
--=>，()1
302e h e --=<， 所以21e t e --<<，即2
101e
x e --<+<
点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
21．据长期统计分析，某货物每天的需求量(
)*
r r N
∈在17与26之间，
日需求量r （件）
的频率()P r 分布如下表所示：
已知其成本为每件5元，售价为每件10元.若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元.假设每天的进货量必需固定.
（1）设每天的进货量为()16,1,2,
,10n n X X n n =+=，视日需求量
()16,1,2,,10i i r r i i =+=的频率为概率()1
,2,,10i P i =，求在每天进货量为n X 的
条件下，日销售量n Z 的期望值()n E Z （用i P 表示）；
（2）在（1）的条件下，写出()n E Z 和()1n E Z +的关系式，并判断n X 为何值时，日利润的均值最大？
【答案】（1）当19n ≤≤时，()()()10
1
1
1616n n i
i
i i n E Z i P n P ==+=
+++∑∑；当10n =时，
()()1
10
1016i i E Z i P ==+∑.
（2）()1n E Z +=()10
1
n i
i n E Z P =++
∑；20n
X
=时，日利润均值最大
【解析】（1）分日需求量与进货量的大小关系，确定日销售量，从而得出日销售量n Z 的期望值；
（2）由（1）可得()()()110
11
2
16161n n i
i
i i n E Z i P n P ++==+=
++++∑∑，可得()n E Z 和()
1n E Z +的关系，设每天进货量为n X 时，日利润为n ξ，则
()()()()5316n n n E E Z n E Z ξ=-+-⎡⎤⎣⎦()()8316n E Z n =-+，分析
()()1n n E E ξξ+-正负可得出日利润均值的最大值.
【详解】
（1）当日需求量n r X ≤时，日销售量n Z 为r ；当日需求量n r X >时，日销售量n Z 为
n X ，故日销售量n Z 的期望值为：
当1n =时，每天的进货量为116117X =+=，根据货物的日需求量的频率表得，此时的日销售量为17件， ∴()()()11210161P E Z P P =+++
+；
当2n =时，每天的进货量为216218X =+=，根据货物的日需求量的频率表得， 此时日销售量为17件的概率为1P ，日销售量为18件的概率为2310P P P +++，
∴()()()()212310161162P P P E Z P =+++++
+；
当3n =时，每天的进货量为316319X =+=，根据货物的日需求量的频率表得， 此时日销售量为17件的概率为1P ，日销售量为18件的概率为2P ，日销售量为19件的概率为3410P P P ++
+，
∴()()()()()3123410161162163E Z P P P P P =++++++++；
，同理可得：
()()()()()()9123910161162163169P P P P E Z P =+++++++++； ()()()()()10123101611621631610P E P P P Z =++++++
++；
所以当19n ≤≤时，()()()101
1
1616n
n i
i
i i n E Z i P n P ==+=
+++∑∑；当10n =时，
()()1
10
1016i i E Z i P ==+∑.
（2）
()()()1
1011
2
16161n n i i
i i n E Z i P n P ++==+=++
++∑∑()()10
1
1
16161n i
i
i i n i P n P
==+=++++∑∑()10
1
n i
i n E Z P =+=+
∑.
设每天进货量为n X 时，日利润为n ξ，则
()()()()5316n n n E E Z n E Z ξ=-+-⎡⎤⎣⎦()()8316n E Z n =-+，
∴()()()()1183n n n n E E E Z E Z ξξ++-=--⎡⎤⎣⎦()121083n n P
P P ++=++⋅⋅⋅+-.
由()()1125
08
n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+⋅⋅+≤+⋅. 又∵123450.668P P P P +++=>
，123
5
0.538
P P P ++=<， 即()()()()()()1234510E E E E E E ξξξξξξ<<<>>>，
∴()4E ξ最大，∴应进货20件时，日利润均值最大. 【点睛】
本题考查实际问题中的期望值的问题的处理，关键在于对实际问题的理解，如何将生活实际中的数据转化为数学概率中的数据，并且注意对抽象问题的处理的方式，逐一推导找到一般的规律和利用递推之间的关系，属于难度题. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），在以坐标原点为
极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（
且
）
. （I ）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）已知是直线上的一点，
是曲线上的一点，
，，
若
的最大值为2，求的值.
【答案】(I)
；
. (Ⅱ)
【解析】（I ）利用参数方程、极坐标方程和普通方程互化的公式求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）先利用极坐标方程求出，
，再
求出，即得
，解之即得a 的值.
【详解】
解：（I ）消去参数，得直线的普通方程为，
由
，
，
得直线的极坐标方程为，即
. 曲线的极坐标方程为（
且
），即
，
由，
，得曲线的直角坐标方程为
.
（Ⅱ）∵在直线上，
在曲线上， ∴
，
，
∴
∴，.
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
【答案】(I) 最大值为1. (Ⅱ)
【解析】（I）利用绝对值三角不等式求函数的最大值；（Ⅱ）利用函数f(x)的单调性化简得，再解不等式得解.
【详解】
解：（Ⅰ）函数可化为，
由，
即时“=”成立，
所以原函数取得最大值为1.
（Ⅱ）函数在上单调递增，
∵，，，
∴，
即，
所以，
∴.
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式，考查函数单调性的应用和绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。