成都树德中学七年级数学下册期末压轴难题测试卷及答案

成都树德中学七年级数学下册期末压轴难题测试卷及答案
一、选择题
1．16的平方根是（）
A．4 B．4±C．2 D．2±
2．下列生活现象中，属于平移的是（）．
A．钟摆的摆动B．拉开抽屉
C．足球在草地上滚动D．投影片的文字经投影转换到屏幕上3．在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是（）
A．（0，3）B．（－2，1）
C．（1，－2）D．（－1，－2）
4．有下列命题，①4的算术平方根是2；②一个角的邻补角一定大于这个角；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题有（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
5．如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠1＝125°，则∠C等于（）
A．35°B．45°C．50°D．55°
6．下列语句中正确的是（）
A．-9的平方根是-3 B．9的平方根是3 C．9的立方根是3±D．9的算术平方根是3
7．如图，一条“U”型水管中AB//CD，若∠B=75°，则∠C应该等于（）
A．75︒B．95︒C．105︒D．125︒
8．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(﹣1，1)，A4(﹣1，﹣1)，A5(2，﹣1)……则点A2021的坐标为（）
A ．(505，﹣504)
B ．(506，﹣505)
C ．(505，﹣505)
D ．(﹣506，506)
二、填空题
9．如果1x +和2y -互为相反数，那么xy =________．
10．在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（﹣2，5），点Q 与点A 关于y 轴对称，点P 与点Q 关于x 轴对称，则点P 的坐标是___．
11．如图，点D 是△ABC 三边垂直平分线的交点，若∠A ＝64°，则∠D ＝_____°．
12．如图，直线AB ，CD 相交于点E ，//DF AB ．若100AEC ∠=︒，则D ∠等于_____．
13．如图①是长方形纸带，DEF α∠=，将纸带沿EF 折叠成图②，再沿BF 折叠成图③，则图③中的CFE ∠的度数是________．
14．将2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___
15．已知点()1,2A ，//AC x 轴，5AC =，则点C 的坐标是______ ．
16．在平面直角坐标系中，点A 与原点重合，将点A 向右平移1个单位长度得到点A 1，将A 1向上平移2个单位长度得到点A 2，将A 2向左平移3个单位长度得到A 3，将A 3向下平移4个单位长度得到A 4，将A 4向右平移5个单位长度得到A 5…按此方法进行下去，则A 2021点坐标为_______________．
三、解答题
17．计算：
（13981- （223427(3)-- （32(23) （4353325+18．求下列各式中的x 值 （1）()2
16149x +＝ （2）3()81
125x ﹣＝ 19．根据下列证明过程填空：已知：如图，AD BC ⊥于点D ，EF BC ⊥于点F ，
4C ∠=∠．求证：12∠=∠．
证明：∵AD BC ⊥，EF BC ⊥（已知） ∴______=90ADC ∠=︒（______________）
∴//AD EF （_____________） ∴1______∠=（_____________） 又∵4C ∠=∠（已知） ∴//______AC （_________） ∴2______∠=（_________） ∴12∠=∠（__________）
20．以学校为坐标原点建立平面直角坐标系，图中标明了这所学校附近的一些地方， （1）公交车站的坐标是 ，宠物店的坐标是 ； （2）在图中标出公园()300,200-，书店()100,100的位置； （3）将医院的位置怎样平移得到人寿保险公司的位置．
21．已知21a -的平方根是3,31a b ±+-的立方根是2,c -462a b c ++的算术平方根．
二十二、解答题
22．如图，在99⨯网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形ABCD 的顶点都在网格的格点上．
（1）求正方形ABCD 的面积和边长；
（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标．
二十三、解答题
23．如图1，已知直线CD ∥EF ，点A ，B 分别在直线CD 与EF 上．P 为两平行线间一点．
（1）若∠DAP ＝40°，∠FBP ＝70°，则∠APB ＝
（2）猜想∠DAP ，∠FBP ，∠APB 之间有什么关系？并说明理由； （3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP 1，BP 1分别平分∠DAP ，∠FBP ，请你写出∠P 与∠P 1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP 2，BP 2分别平分∠CAP ，∠EBP ，若∠APB ＝β，求∠AP 2B ．（用含β的代数式表示）
24．（感知）如图①，//,40,130AB CD AEP PFD ︒︒∠=∠=，求EPF ∠的度数．小明想到了以下方法：
解：如图①，过点P 作//PM AB ，
140AEP ︒∴∠=∠=（两直线平行，内错角相等）
//AB CD （已知），
//∴PM CD （平行于同一条直线的两直线平行），
2180PFD ︒∴∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）． 130PFD ︒∠=（已知），
218013050︒︒︒∴∠=-=（等式的性质）． 12405090︒︒︒∴∠+∠=+=（等式的性质）．
即90EPF ︒∠=（等量代换）．
（探究）如图②，//AB CD ，50,120AEP PFC ︒︒∠=∠=，求EPF ∠的度数．
（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点
G ，则G ∠的度数是_______________︒．
25．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在ABC 中，若100A ∠=︒，70B ∠=︒，10C ∠=︒，则ABC 是“准互余三角形”； ②若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则20B ∠=︒； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ∠=︒．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB ∠的度数．
26．如图，△ABC 和△ADE 有公共顶点A ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC =45°，∠DAE =30°． （1）若DE //AB ，则∠EAC ＝ ；
（2）如图1，过AC 上一点O 作OG ⊥AC ，分别交A B 、A D 、AE 于点G 、H 、F ． ①若AO ＝2，S △AGH ＝4，S △AHF ＝1，求线段OF 的长；
②如图2，∠AFO 的平分线和∠AOF 的平分线交于点M ，∠FHD 的平分线和∠OGB 的平分线交于点N ，∠N +∠M 的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．
【参考答案】
1．D
解析：D
【分析】
“一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根”即可进行解答．
【详解】
=，
4
∵()224
±=，
∴4的平方根是2±，
故选D．
【点睛】
方根和算术平方根．
2．B
【分析】
根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案．
【详解】
A选项：为旋转，故A错误；
C选项：滚动，故C错误；
D选项：缩放，投影，故D错误．
只有B选项为平移．
故选：B．
【点睛】
解析：B
【分析】
根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案．
【详解】
A选项：为旋转，故A错误；
C选项：滚动，故C错误；
D选项：缩放，投影，故D错误．
只有B选项为平移．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状大小和方向，注意平移是沿着一条直线方向移动，熟练运用平移的性质是解答本题的关键．
3．B
根据平面直角坐标系中点的坐标特征逐项分析即可．
【详解】
解：A.(0，3)在y轴上，故不符合题意；
B.(－2，1)在第二象限，故符合题意；
C.(1，－2) 在第四象限，故不符合题意；
D.(－1，－2) 在第三象限，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
4．A
【分析】
根据算术平方根的定义，邻补角的定义，平行线的判定逐一分析判断即可．
【详解】
①42
=，4的算术平方根是2，∴①是假命题；
②大于90︒的角的的邻补角小于这个角，∴②是假命题；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题．
所以假命题有①②．
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，邻补角的定义，平行线的判定等知识，掌握以上知识是解题的关键．
5．A
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BAE＝∠AEF及∠C ＝∠CEF，结合∠AEF+∠CEF＝90°可得出∠BAE+∠C＝90°，由邻补角互补可求出∠BAE的度数，进而可求出∠C的度数．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF．
∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，即∠AEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠C＝90°．
∵∠1＝125°，∠1+∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣125°＝55°，
∴∠C＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、垂线以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6．D
【分析】
根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐一进行判断即可.
【详解】
A. 负数没有平方根，故A选项错误；
B. 9的平方根是±3，故B选项错误；
C. 9C选项错误；
D. 9的算术平方根是3，正确，
故选D.
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根等知识，熟练掌握相关概念以及求解方法是解题的关键.
7．C
【分析】
直接根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠B=180°-75°=105°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．8．B
【分析】
求在平面直角坐标系中的位置，经观察分析所有点，除外，其他所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4＝循环次数＋余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点在第
解析：B 【分析】
求2021A 在平面直角坐标系中的位置，经观察分析所有点，除1A 外，其他所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4＝循环次数＋余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点2021A 在第四象限，根据推导可得出结论； 【详解】 由题可知，
第一象限的点：2A ，6A …角标除以4余数为2； 第二象限的点：3A ，7A ，…角标除以4余数为3； 第三象限的点：4A ，8A ，…角标除以4余数为0； 第四象限的点：5A ，9A ，…角标除以4余数为1； 由上规律可知：20214=5051÷， ∴点2021A 在第四象限， 又∵5(2,1)A -，9(3,2)A -，
即横坐标为正数，数字为角标除以4的商加1；纵坐标为负数，数字为角标除以4的商， ∴2021(506,505)A -． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律，准确理解是解题的关键．
二、填空题 9．-2 【分析】
利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x 与y 的值，进而得出答案． 【详解】
解：∵和|y-2|互为相反数， ∴，
∴x+1=0，y-2=0， 解得：x=-1，y=2， ∴xy
解析：-2 【分析】
利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x 与y 的值，进而得出答案． 【详解】
解：∵|y-2|互为相反数，
∴
20y +=
，
∴x+1=0，y-2=0，
解得：x=-1，y=2，
∴xy=-1×2=-2
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了绝对值和平方数的非负性．互为相反数的两个数相加等于0和|y-2|都是非负数，所以这个数都是0．
10．（2，﹣5）．
【分析】
根据题意分析点P，先关于y轴对称，再求关于x轴对称的点即可
【详解】
∵点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（2，5），
∵点P与点Q关于x轴
解析：（2，﹣5）．
【分析】
根据题意分析点P，先关于y轴对称，再求关于x轴对称的点即可
【详解】
∵点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（2，5），
∵点P与点Q关于x轴对称，
∴点P的坐标是（2，﹣5）．
故答案为：（2，﹣5）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的定义，轴对称，理解题意是解题的关键．
11．128°
【解析】
【分析】
由点D为三边垂直平分线交点,得到点D为△ABC的外心,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果
【详解】
∵D为△ABC三边垂直平分线交点,
∴点D为△ABC的
解析：128°
【解析】
【分析】
由点D为三边垂直平分线交点,得到点D为△ABC的外心,根据同弧所对的圆周角等于圆心
角的一半即可得到结果
【详解】
∵D为△ABC三边垂直平分线交点,
∴点D为△ABC的外心,
∴∠D=2∠A
∵∠A=64°
∴∠D=128°
故∠D的度数为128°
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半来解答
12．80°.
【分析】
先根据补角的定义求出∠BEC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠AEC=100°，
∴∠BEC=180°-100°=80°．
∵DF∥AB，
∴∠D=∠BE
解析：80°.
【分析】
先根据补角的定义求出∠BEC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠AEC=100°，
∴∠BEC=180°-100°=80°．
∵DF∥AB，
∴∠D=∠BEC=80°．
故答案为：80°.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．13．180°-3α
【分析】
由AD∥BC，利用平行线的性质可得出∠BFE和∠CFE的度数，再结合
∠CFG=∠CFE-∠BFE及∠CFE=∠CFG-∠BFE，即可求出∠CFE的度数．
【详解】
解：∵A
解析：180°-3α
由AD ∥BC ，利用平行线的性质可得出∠BFE 和∠CFE 的度数，再结合∠CFG =∠CFE -∠BFE 及∠CFE =∠CFG -∠BFE ，即可求出∠CFE 的度数．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴∠BFE =∠DEF =α，∠CFE =180°-∠DEF =180°-α，
∴图②中∠CFG =∠CFE -∠BFE =180°-α-α=180°-2α，
∴图③中∠CFE =∠CFG -∠BFE =180°-2α-α=180°-3α．
故答案为：180°-3α．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
14．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数， ∵1994493÷=……，即1
∴
故答案为
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
15．（6，2）或（4，2）
【分析】
根据平行于x 轴直线上的点的纵坐标相等求出点C 的纵坐标，再分点C 在点A 的左边与右边两种情况讨论求出点C 的横坐标，从而得解．
【详解】
∵点A （1，2），AC ∥x 轴，
解析：（6，2）或（-4，2）
根据平行于x轴直线上的点的纵坐标相等求出点C的纵坐标，再分点C在点A的左边与右边两种情况讨论求出点C的横坐标，从而得解．
【详解】
∵点A（1，2），AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为2，
∵AC=5，
∴点C在点A的左边时横坐标为1-5=-4，
此时，点C的坐标为（-4，2），
点C在点A的右边时横坐标为1+5=6，
此时，点C的坐标为（6，2）
综上所述，则点C的坐标是（6，2）或（-4，2）．
故答案为（6，2）或（-4，2）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记平行于x轴直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
16．（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1
解析：（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得
A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，
可以看出，3＝51
2
+
，5＝
91
2
+
，7＝
131
2
+
，各个点的纵坐标等于横坐标的相反数+1，
故20211
2
+
＝1011，
∴A2021（1011，﹣1010），
故答案为：（1011，﹣1010）．
【点评】
本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题
17．（1）6；（2）-4；（3）；（4）.
【分析】
（1）利用算术平方根和立方根、绝对值化简，再进一步计算即可；
（2）利用算术平方根和立方根化简，再进一步计算即可；
（3）类比单项式乘多项式展开计算
解析：（1）6；（2）-4；（3）2+；（4）
【分析】
（1）利用算术平方根和立方根、绝对值化简，再进一步计算即可；
（2）利用算术平方根和立方根化简，再进一步计算即可；
（3）类比单项式乘多项式展开计算；
（4）利用绝对值的性质化简，再进一步合并同类二次根式．
【详解】
解：（11-
=3+2+1
=6；
（2
=2-3-3
=-4；
（33)
=2+；
（4+
=
故答案为（1）6；（2）-4；（3）2+4）
【点睛】
本题考查立方根和算术平方根，实数的混合运算，先化简，再进一步计算，注意选择合适的方法简算．
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据平方根的性质，直接开方，即可解答；
（2）根据立方根，直接开立方，即可解答．
【详解】
解：（1）
，
．
（2）
．
【点睛】
本题考查平方根、立方根，
解析：（1）12311,44x x ==-
；（2）32x =-． 【分析】
（1）根据平方根的性质，直接开方，即可解答；
（2）根据立方根，直接开立方，即可解答．
【详解】
解：（1）2
16(1)49x 249(1)16x 7
14x ，
∴123
11,4
4x x ==-． （2）38(1)125x
3125(1)8x 5
12x
32
x =-． 【点睛】
本题考查平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的相关性质． 19．;垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；GD ；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换
【分析】
结合图形，根据已知证明过程，写出相关的依据即可．
【详解】
解析：FEC ∠;垂直的定义；同位角相等，两直线平行；3∠；两直线平行，同位角相等；GD ；同位角相等，两直线平行；3∠；两直线平行，内错角相等；等量代换
【分析】
结合图形，根据已知证明过程，写出相关的依据即可．
【详解】
证明：证明：∵AD BC ⊥，EF BC ⊥（已知）
∴=90ADC FEC ∠=∠︒（垂直的定义）
∴//AD EF （同位角相等，两直线平行）
∴13∠=∠（两直线平行，同位角相等）
又∵4C ∠=∠（已知）
∴//AC GD （同位角相等，两直线平行）
∴23∠∠=（两直线平行，内错角相等）
∴12∠=∠（等量代换）
【点睛】
本题考查证明过程中每一步的依据，根据推理过程明白相关知识点是解题关键． 20．（1），；（2）见解析；（3）向右5个单位，再向上5个单位
【分析】
（1）观察平面直角坐标系得：公交车站在 轴负半轴距离坐标原点1个单位；宠物店在第四象限内，距离 轴2个单位，距离 轴3个单位，即
解析：（1）()100,0-，()300,200-；（2）见解析；（3）向右5个单位，再向上5个单位
【分析】
（1）观察平面直角坐标系得：公交车站在x 轴负半轴距离坐标原点1个单位；宠物店在第四象限内，距离x 轴2个单位，距离y 轴3个单位，即可求解；
（2）公园在第二象限内，距离x 轴2个单位，距离y 轴3个单位；
书店在第一象限内，距离x 轴1个单位，距离y 轴1个单位；即可解答；
（3）将医院的位置向右5个单位，再向上5个单位得到人寿保险公司的位置，即可．
【详解】
解：（1）观察平面直角坐标系得：公交车站在x 轴负半轴距离坐标原点1个单位，故公交车站的坐标是()100,0-；宠物店在第四象限内，距离x 轴2个单位，距离y 轴3个单位，故宠物店的坐标是()300,200-；
（2）∵公园()300,200-，书店()100,100
∴公园在第二象限内，距离x 轴2个单位，距离y 轴3个单位；
书店在第一象限内，距离x 轴1个单位，距离y 轴1个单位；
位置如图所示：
（3））将医院的位置向右5个单位，再向上5个单位得到人寿保险公司的位置．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系，用坐标来表示点的位置，根据位置写出点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内每个象限内点的坐标的特征是解题的关键．
21．【分析】
首先根据平方根与立方根的概念可得2a−1与a＋3b−1的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a＋2b＋c，根据算术平方根的求法可得答案．
【详解】
解：根据题意，
3
【分析】
首先根据平方根与立方根的概念可得2a−1与a＋3b−1的值，进而可得a、b的值；接着估46c的值；进而可得a＋2b＋c，根据算术平方根的求法可得答案．【详解】
解：根据题意，可得2a−1＝9，a＋3b−1＝-8；
解得：a＝5，b＝-4；
又∵6467，
可得c＝6；
∴a＋2b＋c＝3；
∴a＋2b＋c3
【点睛】
此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，“夹逼法”是估
算的一般方法，也是常用方法．
二十二、解答题
22．（1）面积为29，边长为；（2），，，，图见解析．
【分析】
（1）面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标
解析：（1）面积为29，边长为29；（2）(0,5)A ，(2,0)B ，(7,2)C ，(5,7)D ，图见解析．
【分析】
（1）面积等于一个77⨯大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可．
【详解】
解：（1）正方形的面积217425292
ABCD S =-⨯⨯⨯=正方形，
正方形边长为29S =；
（2）建立如图平面直角坐标系，
则(0,5)A ，(2,0)B ，(7,2)C ，(5,7)D ．
【点睛】
本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形是进一步解题的关键．
二十三、解答题
23．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP ，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．
【分析】
（1）过P 作PM ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=
解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP +∠FBP ，理由见解析；（3）①∠P =2∠P 1，
理由见解析；②∠AP 2B=11802
β︒-．
【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据
∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得
∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【详解】
（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，
∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=1
2∠CAP，∠EBP2=1
2
∠EBP，
∴∠AP2B=1
2∠CAP+1
2
∠EBP，
= 1
2（180°-∠DAP）+ 1
2
（180°-∠FBP），
=180°- 1
2
（∠DAP+∠FBP），
=180°- 1
2
∠APB，
=180°- 1
2
β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，
难点在于过拐点作平行线．
24．[探究] 70°；[应用] 35
【分析】
[探究]如图②，根据AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=120°，即可求∠EPF的度数．[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线
解析：[探究] 70°；[应用] 35
【分析】
[探究]如图②，根据AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=120°，即可求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数．
【详解】
解：[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE=∠AEP=50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC=∠MPF=120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°（等式的性质）．
答：∠EPF的度数为70°；
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，PG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG=1
2∠AEP=25°，∠GCF=1
2
∠PFC=60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE=∠AEG=25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），
∴GM ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC=∠MGF=60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°．
答：∠G 的度数是35°．
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
25．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角
解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由90ABC A ∠+∠=︒和BD 是ABC 的角平分线，证明290ABD A ∠+∠=︒即可； （2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A +∠ABC =90°；②∠A +2∠APB =90°；③2∠APB +∠ABC =90°；④2∠A +∠APB =90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，
∴90ABC A ∠+∠=︒，
∵BD 是ABC ∠的角平分线，
∴2ABC ABD ∠=∠，
∴290ABD A ∠+∠=︒，
∴ABD △是“准互余三角形”；
（2）①∵70,10B C ∠=︒∠=︒，
∴290B C ∠+∠=︒，
∴ABC 是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵60A ∠=︒， 20B ∠=︒，
∴210090A B ∠+∠=︒≠︒，
∴ABC 不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为,,αβγ，且αβγ<<，
∵三角形是“准互余三角形”，
∴290αβ+=︒或290αβ+=︒，
∴90αβ+<︒，
∴180()90γαβ=︒-+>︒，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，
故③正确；
综上所述，①③正确，
故答案为：①③；
（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°；
如图①，
当2∠A +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∵∠ABC =50°，
∴∠A =20°，
∴∠APB =110°；
如图②，当∠A +2∠APB =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∵∠ABC =50°，
∴∠A +∠APB =50°，
∴∠APB =40°；
如图③，当2∠APB +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∵∠ABC =50°，
∴∠APB =20°；
如图④，当2∠A +∠APB =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时，ABP
△是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．26．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定
解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．
【详解】
解：（1）如图，
∵AB∥ED
∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
（2）①如图1中，
∵OG⊥AC，
∵∠OAG=45°，
∴∠OAG=∠OGA=45°，∴AO=OG=2，
∵S△AHG=1
2•GH•AO=4，S△AHF=1
2
•FH•AO=1，
∴GH=4，FH=1，
∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．
②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．理由：如图2中，
∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，
∴∠M=180°-1
2（∠AFO+∠AOF）=180°-1
2
（180°-∠FAO）=90°+1
2
∠FAO，
∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，
∴∠N=180°-1
2
（∠DHG+∠BGH）
=180°-1
2
（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）
=180°-1
2
（180°+∠HAG）
=90°-1
2
∠HAG
=90°-1
2
（30°+∠FAO+45°）
=52.5°-1
2
∠FAO，
∴∠M+∠N=142.5°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO表示出∠M，∠N．。