常用积分表

常 用 积 分 公 式
（一）含有的积分() ax b +0a ≠1．
d x ax b +∫＝1
ln ax b C a ++
2．＝
()ax b x μ
+∫
d 11
()(1)
ax b C a μμ++++（1μ≠−）
3．
d x x ax b +∫＝21
(ln )ax b b ax b C a +−++
4．2d x x ax b +∫＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤
+−++++⎢⎥⎣⎦
5．
d ()x x ax b +∫＝1ln ax b
C b x +−+
6．
2d ()x x ax b +∫
＝2
1ln a ax b
C bx b x
+−++ 7．
2
d ()x x ax b +∫＝21(ln )b
ax b C a ax ++++b
8．22
d ()x x ax b +∫＝2
31(2ln b ax b b ax b C a ax b +−+−++
9．
2d ()x x ax b +∫
＝211ln ()ax b C b ax b b x
+−++
的积分
10．
x ∫C +
11．x ∫＝2
2(3215ax b C a −+
12．x x ∫＝2223
2(15128105a x abx b C a
−++
13．
x
∫
＝22
(23ax b C a −+
14．
2x ∫
＝2223
2
(34815a x abx b C a −++
15．∫
＝(0)
(0)
C b C b ⎧+>+<
16．
∫
2a bx b −−∫
17．
d x x ∫
＝b + 18．
2d x
x ∫
＝2a x −+ （三）含有22x a ±的积分 19．
22d x x a +∫
=1arctan x
C a
a +
20．
22d ()n x x a +∫=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n n a x a n a x a −−x
−+−+−+∫
21．
22d x x a −∫
=1ln 2x a C a x a
−++
（四）含有的积分
2
(0ax b a +>)22．2d x ax b +∫
＝(0)
(0)
x C b C
b ⎧+>⎪
⎪⎨
+<
23．
2d x x ax b +∫＝21ln 2ax b C a ++
24．22d x x ax b +∫＝2d x b x
a a ax
b −+∫
25．2d ()x x ax b +∫＝2
21ln 2x C b ax b
++
26．
22d ()
x x ax b +∫
＝21d a x
bx b ax b −−
+∫ 27．32d ()x x ax b +∫＝2222
1
ln 22ax b a C b x bx
+−+ 28．
22d ()x ax b +∫＝221d 2()2x x
b ax b b ax b +++∫
（五）含有的积分
2ax bx c ++(0a >)29．2
d x ax bx c ++∫
＝2
2(4)(4)
C b C b ac +<+>ac 30．
2d x x ax bx c ++∫＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c
++−++∫
(0a >)的积分
31
．
∫＝1arsh
x
C a +
＝ln(x C ++ 32
．
∫
C +
33
．
x ∫
C
34
．
x ∫
＝C +
35．
2
x ∫2ln(2a x −++C
36．
2
x ∫
＝ln(x C +++
37．
∫1ln a
C a x −+
38．
∫2C a x −+
40．x ∫＝2243(25ln(88x x a a x C ++++
43．
d x x ∫
ln a a C x −++
44．
2
d x x
∫
＝ln(x C x −+++
(0a >)的积分
45．
＝
1arch x x
C x a
+=C + 46．
∫C +
47．
x ∫
C +
48．
x ∫
＝C +
49．
2
x ∫22a ++C
50．
2
x ∫
＝ln C ++
51．
∫1arccos a
C a x
+
52．
∫2C a x +
53．
x ∫
2ln 2
a −+C
54．x ∫＝2243(25ln 88x x a a C −++
55．x ∫C +
56．x
x ∫
＝422(288
x a x a C −−+
57．
d x x
∫
arccos a
a C x −+
58．
2
d x x ∫
＝
ln C x −++
(0a >)的积分 59．
∫＝arcsin
x
C a + 60．
∫
C +
61．
x ∫＝C +
62．
x ∫
C +
63．
2
x ∫＝2arcsin 2a x C a ++
64．
2
x ∫
C +
65．
∫1ln a C a x −+
66．
∫2C a x −+
67．
∫
x 2arcsin 2a C a
++x
68．
∫x ＝2243(52arcsin 88x x a x a a C −++
69．∫x ＝C +
70．x
∫
x ＝422(2arcsin 88x a x x a C a
−++
71．
d x x ∫
ln a a C x −++
72．
2
d x x
∫
＝arcsin x
C x a −−+
(0a >)的积分
73．
∫
C +
74．
x ∫
2
C +
+
75．
x ∫
C −
+
76．
∫＝C +
77．
x ∫2
C ++
78．
x ∫
＝C ++
79．
x ∫＝((x b b a C −−+
+
80．
x ∫＝((x b b a C −−+
81．
∫C
+()a b <
82．
x ∫
C ++
()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ∫
＝cos x C −+
84．cos d x x ∫＝sin x C + 85．tan d x x ∫＝ln cos x C −+ 86．cot d x x ∫＝ln sin x C + 87．sec d x x ∫＝ln tan(
)42
x
C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ∫
＝ln tan
2
x
C +＝ln csc cot x x C −+ 89．2
sec d x x ∫＝tan x C + 90．2
csc d x x ∫
＝cot x C −+ 91．sec tan d x x x ∫＝sec x C + 92．csc cot d x x x ∫
＝csc x C −+
93．2
sin d x x ∫＝
1
sin 224x x C −+ 94．2
cos d x x ∫＝1sin 224x x C ++
95．sin d n x x ∫＝12
11sin cos sin d n n n x x x n n
−−−−+∫x 96．cos d n x x ∫＝12
11cos sin cos d n n n x x x n n
−−−+∫x 97．d sin n x x ∫＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x
n x n −−−−⋅+
−−∫x 98．d cos n x x ∫＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n x
n x n −−−⋅+−−∫x
99．cos sin d m n x x x ∫＝11211cos sin cos sin d m n m n
m x x x m n m n
−+−x x −+++∫ ＝112
11cos sin cos sin d m n m n n x x x m n m n +−−x x −−+++∫
100．＝sin cos d ax bx x ∫
11
cos()cos()2()2()
a b x a b x C a b a b −
+−−++−
101．＝sin sin d ax bx x ∫11
sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b −
++−++−
102．＝
cos cos d ax bx x ∫
11
sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b ++−++−
103．
d sin x
a b x +∫
tan
x
a b C ++22()a b >
104．d sin x a b x +∫
C
+22()a b <
105．
d cos x
a b x +∫
)2
x C +22()a b >
106．d cos x a b x +∫
C +22()a b <
107．
2222d cos sin x a x b x +∫＝1arctan(tan )b
x C ab a + 108．
2222d cos sin x a x b x 1tan ln 2tan b x a C ab b x a +−∫＝+
−109．sin d x ax x ∫＝
211sin cos ax x ax C a a −+ 110．2
sin d x ax x ∫＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a −+++
111．cos d x ax x ∫＝211
cos sin ax x ax C a a ++
112．2
cos d x ax x ∫＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a
+−+
（十二）含有反三角函数的积分（其中）
0a >113．arcsin d x x a ∫
＝arcsin x
x C a
+
114．arcsin d x
x x a ∫＝C +
115．2
arcsin d x
x x a
∫＝3221arcsin (239x x x a C a ++
116．arccos d x
x a ∫
＝arccos
x
x C a
−+
117．arccos d x
x x a ∫＝C +
118．2
arccos d x
x x a
∫＝3221arccos (239x x x a C a −++ 119．arctan
d x x a ∫＝22
arctan ln()2x a x a x C a −++ 120．arctan d x x x a
∫＝221()arctan 22x a
a x x C a +−+
121．2
arctan d x
x x a
∫＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a −+++ （十三）含有指数函数的积分
122．＝
d x
a x ∫1ln x
a C a + 123．e d ax
x ∫＝1e ax C a +
124．e d ax
x x ∫＝21(1)e ax ax C a −+
125．e d n ax
x x ∫＝11e e n ax n ax n d x x x a a
−−∫
126．d x
xa x ∫
＝
21ln (ln )
x x
x a a a a C −+ 127．d n
x
x a x ∫＝
11d ln ln n x n x
n x a x a a a −−∫x 128．＝e sin d ax
bx x ∫22
1e (sin cos )ax a bx b bx C a b −++ 129．＝e cos d ax bx x ∫22
1e (sin cos )ax
b bx a bx C a b
+++
130．＝e sin d ax n bx x ∫12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n
−−+ 2
2222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n
−−++∫ 131．＝e cos d ax n bx x ∫12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n
−++ 2
2222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n
−−++∫ （十四）含有对数函数的积分
132．ln d x x ∫
＝ln x x x C −+ 133．
d ln x x x ∫＝ln ln x C +
134．ln d n x x x ∫＝111(ln )11n x x C n n +−+++ 135．(ln )d n x x ∫＝1(ln )(ln )
d n n x x n x −−∫x 136．(ln )d m n x x x ∫＝111(ln )(ln )d 11
m n m n n x x x x m m +−−++∫x （十五）含有双曲函数的积分
137．sh d x x ∫＝ch x C +
138．ch d x x ∫＝sh x C +
139．th d x x ∫
＝ln ch x C + 140．2
sh d x x ∫＝1sh224
x x C −++ 141．2ch d x x ∫＝1sh224x x C ++ （十六）定积分
142．
＝＝0 cos d nx x π−π
∫sin d nx x π
−π∫143．＝0 cos sin d mx nx x π−π
∫144．
＝ cos cos d mx nx x π−π∫0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩
145．＝ sin sin d mx nx x π
−π∫0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩146．＝＝0sin sin d mx nx x π
∫0cos cos d mx nx x π∫
0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝
2
0sin d n x x π
∫＝20cos d n x x π∫ n I ＝21n n I n
−− 134225n n n I n n −−=⋅⋅⋅⋅−"3
（为大于1的正奇数），n 1I ＝1 13312422n n n I n n −−π=⋅⋅⋅⋅⋅"n （为正偶数），0I ＝2π −。