课时作业3：5.2.1 第2课时 等差数列的性质

第2课时等差数列的性质
1．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m的值为() A．12 B．8 C．6 D．4
答案 B
解析由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
2．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为()
A．7 B．5
C．3 D．1
答案 D
解析由于{a n}，{b n}为等差数列，故数列{2a n－3b n}的公差d＝(2a n＋1－3b n＋1)－(2a n－3b n)＝2(a n＋1－a n)－3(b n＋1－b n)＝2d1－3d2＝1.
3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为()
A．26 B．29 C．39 D．52
答案 C
解析∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
4．(多选)若{a n}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是()
A．{|a n|} B．{a n＋1－a n}
C．{pa n＋q}(p，q为常数) D．{2a n＋n}
答案BCD
解析数列－1，1，3是等差数列，
取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立．
若{a n}是等差数列，由等差数列的定义，
知{a n ＋1－a n }为常数列，
故{a n ＋1－a n }是等差数列，B 成立．
若{a n }的公差为d ，
则(pa n ＋1＋q )－(pa n ＋q )＝p (a n ＋1－a n )＝pd 为常数，
故{pa n ＋q }是等差数列，C 成立．
(2a n ＋1＋n ＋1)－(2a n ＋n )＝2(a n ＋1－a n )＋1＝2d ＋1，
故{2a n ＋n }是等差数列，D 成立．
5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )
A ．无实根
B ．有两个相等的实根
C ．有两个不等的实根
D ．不能确定有无实根
答案 A
解析 因为a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝9，
所以a 5＝3，
则方程为x 2＋6x ＋10＝0，
因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．
6．在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________.
答案 10
解析 由5是a 3和a 6的等差中项，可得a 3＋a 6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.
7．若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为________． 答案 98
解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )a (a ＋d )＝－36.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，d ＝－5. ∴这三个数为－1，4，9或9，4，－1.
∴它们的平方和为98.
8．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是________． 答案 a ＝－b 或a ＝3b
解析 由等差中项的定义知，x ＝a ＋b 2，x 2＝a 2－b 22
，
∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭
⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0， ∴(a －3b )(a ＋b )＝0，∴a ＝3b 或a ＝－b .
9．在等差数列{a n }中．
(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；
(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .
解 方法一 (1)直接化成a 1和d 的方程如下：
(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，
即4(a 1＋12d )＝48，
∴4a 13＝48，∴a 13＝12.
(2)直接化成a 1和d 的方程如下：
⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1
＋4d )＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝16，d ＝－3. ∴d ＝3或－3.
方法二 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，
得4a 13＝48，∴a 13＝12.
(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，
得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17，
由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5
＝17， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2
＝4－133＝－3. 10．已知四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．
解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，
依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＝26，a 2－d 2＝40， 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32.
又四个数成递减等差数列，∴d <0，
∴d ＝－32
，故所求的四个数为11，8，5，2.
11．(多选)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )
A ．a 1＋a 101>0
B ．a 2＋a 101<0
C ．a 3＋a 99＝0
D ．a 51＝0
答案 CD
解析 根据等差数列的性质得，a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，
所以a 51＝0，a 3＋a 99＝2a 51＝0.
12．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13
a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17
答案 C
解析 设公差为d ，
∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，
∴5a 8＝120，a 8＝24，
∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23
a 8＝16. 13．(多选)下列命题中，正确的是( )
A ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列
B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列
D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列
答案 AC
解析 A 项中，∵a ，b ，c 为等差数列，
∴2b ＝a ＋c ，
∴2·(2b )＝2a ＋2c ，∴2a ，2b ，2c 成等差数列，故A 正确．
C 项中，∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，
∴2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，
∴a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．故C 正确．
14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面
包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( )
A.53
B.103
C.56
D.116
答案 A
解析 设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0， 则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.
由17
(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ， 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，
∴24d ＝11a ，∴d ＝556
， ∴最小的一份为a －2d ＝20－553＝53. 15．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m 的值为________，n 的值为________．
答案 316 35144 解析 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4.则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m ＞0，1－4n ＞0)．
设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2，由题意知x 1＝14
， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16
， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712
. ∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144
. 16．已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b k }：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
解 由题意，知a n ＝3n ＋2(n ∈N ＋)，b k ＝4k －1(k ∈N ＋)，
两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，
所以n ＝43
k －1，而n ∈N ＋，k ∈N ＋，
所以设k ＝3r (r ∈N ＋)，得n ＝4r －1.
由已知⎩⎪⎨⎪⎧
1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100， 且r ∈N ＋，可得1≤r ≤25. 所以共有25个相同数值的项.。