江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学(理)试题(解析版)

莲塘一中2019-2020学年上学期高一期末检测理科数学试题
一､填空题(本题共有12小题,四个选项中只有一个是正确的,每小题5分,共60分)
1.下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A. 150︒- B. 680°
C. 220°
D. 320°
【答案】C 【解析】 【分析】
将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C
【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题 2.下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A. 12(0,0),(1,2)e e ==u r u r
B. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r
C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u r
D. 12(2,3),(6,9)e e =-=-u r u r
【答案】B 【解析】 【分析】
若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可
【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,若//a b r r ,则12120y x x y -=,
对于选项A,10e =u r r ,0r
与任意向量共线,故A 错误；
对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e u r 与2e u u r
不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e u r u u r
,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e u r u u r
,故D 错误,
故选:B
【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3.计算2sin 2105°-1的结果等于（ ）
A. B. 12
-
C.
12
【答案】D 【解析】
22sin 1051cos 210cos30-=-==
o o o D ． 4.在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u r u u u r ，且0AB AD ⋅=uu u r uuu r
，则四边形ABCD 是（ ）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 梯形
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形.
【详解】AB DC =uu u r uuu r
Q ，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形
由0AB AD ⋅=uu u r uuu r
可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形 本题正确选项：A
【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题.
5.若sin cos 1
sin cos 2
αααα+=-，则tan 2α等于（ ）
A. 3
4- B. 34
C. 4
3
-
D.
43
【答案】B 【解析】 试题分析：
sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63
tan 21tan 84
ααα-===--.
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系． 【此处有视频，请去附件查看】
6.已知向量(1,3)a m =--r ,(,2)b m =r ,若a b ⊥r r
,则实数m =( )
A. 2-
B. 3
C. 3-或2
D. 2-或3
【答案】D 【解析】 【分析】
若a b ⊥r r ,则0a b ⋅=r r ,求解即可
【详解】若a b ⊥r r ,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=r
r ,
解得3m =或2m =-, 故选:D
【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示
7.若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛
⎫=+++>< ⎪⎝
⎭的最小正周期为π,则( )
A. ()f x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增 B. ()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减 C. ()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增 D. ()f x 在3,44ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇偶性和周期性可得()f x x ,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可
【详解】由题,()4f x x πωθ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭,
因
最小正周期为π,所以22π
ωπ=
=,
又()f x 是偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4
k k Z π
θπ=+∈,
因为2
πθ<,所以当0k =时,4π
θ=,
所以(
)f x x =,
则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2
π
ππ-+≤≤∈k x k k Z ,
即()f x 在,2k k πππ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2
π
ππ≤≤+∈k x k k Z ,
即()f x 在,
2k k π
ππ⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦
()k Z ∈上单调递减； 当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增, 故选:B
【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间
8.已知a r ，b r
为单位向量，且
a b a b +=-r r r r ，则a r 在a b +r
r 上的投影为（ ） A.
1
3
C.
【答案】B 【解析】
a r 由，
b r
为单位向量，又a b b +=-r r r r ，则22|2|a b a b +=-r r r r ，可得13
a b ⋅=r r
，则a b +=
r
r 1cos ,3a b 〈〉=r r ．又(
)
cos ,a a b a a b a a b
⋅+〈+〉==+r r r r r r r r r a r 在a b +r r 上
投影为cos ,a a a b 〈+〉=
r
r r r ．故本题答案选B ． 9.
若sin 6πα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )
A.
59
B. 59
-
C.
79
D. 79
-
【答案】A 【解析】 【分析】 由题,22662π
ππαα⎛
⎫+
=-+ ⎪⎝
⎭,进而求解即可 【详解】由题
,
2
25sin 2sin 2cos 212sin 126626639
πππππαααα⎛⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A
【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值
10.如图，在ABC ∆中，23
AD AC =u u u r u u u r ，13BP BD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则=λ
μ( )
A 3-
B. 3
C. 2
D. 2-
【答案】B 【解析】
∵21,33AD AC BP BD =∴=u u u v u u u v u u u v u u u v 121()393AD AB AC AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v
∴2239
AP AB BP AB AC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
又AP AB AC λμ=+u u u v
u u u v u u u v
，∴22,,339λ
λμμ
=
== 故选 B.
.
11.已知1tan161tan16a ︒︒
+=-,cos330b ︒
=
,c =则,,a b c 的大小关系为( ) A. c a b >> B. c b a >>
C. a c b >>
D. b a c >>
【答案】C 【解析】 【分析】
化简,,a b c 可得tan61a =︒,cos30b =︒,cos29c =︒,进而比较大小即可 【详解】由题,因为tan 451︒=,所以1tan16tan 45tan16tan 61tan 4511tan161tan 45tan16a +︒︒+︒
=
==︒>︒=-︒-︒︒
；
()cos330cos 30360cos30b =︒=-︒+︒=︒；
cos 29c ====︒；
由cos y x =的单调性可知1cos29cos30>︒>︒,所以tan 45cos29cos30︒>︒>︒, 即a c b >>, 故选:C
【点睛】本题考查正切的和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查诱导公式的应用,考查三角函数值的比较大小问题
12.已知函数()()27
303
23(0)
x x f x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪-++>⎩，(
)cos 4g x x x =++，若对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数a 的取值范围为( )
A. (]0,1
B. (]
0,2 C. []
1,2
D. []
2,9
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出()f x a +在[]3,3-的值域，以及()g x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域，令()f x a +在[]3,3-的最大值不小于()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最大值，得到a 的关系式，解出即可.
【详解】对于函数()f x ，当0x ≤时，()7
33
f x x =+， 由30x -≤≤，可得()[]
4,3f t ∈-，
当0x >时，()()2
22314f x x x x =-++=--+， 由03x <≤，可得()[]
0,4f x ∈，
∴对任意[]3,3t ∈-，()[]4,4f t ∈-，()[]4,4f t a a a +∈-+
对于函数()cos 42sin 46g x x x x π⎛⎫
=++=+
+ ⎪⎝
⎭
， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
Q ，
2,663x πππ⎛
⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
()
4g x ⎡⎤∴∈+⎣⎦，
∴对于0,2s π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()4g s ⎡⎤∈⎣⎦，
Q 对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，
46a ∴+≤，解得02a <≤，
实数a 的取值范围为(]
0,2，故选B ．
【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）
12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈ 2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需
()min f x ≥ ()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；（4）
12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥ ()min g x .
二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】
12
【解析】 【分析】
利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可 【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,
所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602
=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案为:
12
【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用
14.若ABCD Y 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1-- 【解析】 【分析】
由ABCD Y 可得AB DC =u u u r u u u r
,进而求解即可 【详解】由题,因为ABCD Y ,所以AB DC =u u u r u u u r
,
设(),D x y ,所以()4,3AB =uu u r
,(),2DC x y =--u u u r ,
所以423x y -=⎧⎨
-=⎩,即4
1x y =-⎧⎨=-⎩
,
故答案为:()4,1--
【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示
15.若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则||OM ON +=u u u u r u u u r
_______.
【答案】π
【解析】 分析】
画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称,进而求解即可 【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,
则M 与N 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称, 所以(),0OM ON π+=u u u u r u u u r
,
所以||OM ON π+=u u u u r u u u r
,
故答案为:π
【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想
16.设A 是平面向量的集合,a r
是定向量,对x A ∈r ，
定义()()
2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，现给出如下四个向量： (
)100442222a a a a ⎛⎛⎛⎫
====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
r r r r ①，；②，；③，；④，，
那么对于任意x y A ∈r u r ，，
使()()
f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立的向量a r
的序号是________(写出满足条件的所有向量a r
的序号).
【答案】①③④ 【解析】 【分析】
【
根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得.
详解】对于①，当()00a =r
，
时，()f x x =r r 满足()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r ； 当0a ≠r r
，因为()()
2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，()
()
2f y y a y a =-⋅⋅u r u r r u r r ，
所以()()2
4()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅r u r r u r r u r r r r r r u r r
若使得()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立，则只需2
1a
=r
，结合所给向量可知③④符合条件；
综上可得答案为：①③④.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，
建立()()
f x f y ⋅r u r
的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.
三､解答题(本大题共6小题,满分10+12+12+12+12+12=70分)
17.已知向量(4,3)a =r ，(1,2)b =r
，
（1）设a r 与b r
的夹角为θ，求cos θ的值； （2）若a b λ-r r 与2a b +r r
平行，求实数λ的值.
【答案】; (2) 12
λ=- 【解析】 【分析】
(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可.
【详解】
(1) cos 5a b a b θ⋅====⋅r r
r r . (2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--r r ,()()()4,312,82,29a b ++==r r
.
又a b λ-r r 与2a b +r r
平行即()()4,32//9,8λλ--,所以
()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得1
2
λ=-.
【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型.
【
18.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 3α=． ．1）求sin 2α的值；（2）若()3
sin 5αβ+=-．0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，求sin β的值．
【答案】(1) .
(2) 415
+. 【解析】
【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解：
（Ⅰ）Q 2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos 3
α∴=-，-------2分
于是 sin22sin cos ααα==； （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
Q ,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是
()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦
3414535315⎛+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.
19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+.
(1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值;
(2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.
【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
（1）化简()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可； （2）令222242
k x k π
π
π
ππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可
【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭,
所以当2242x k π
π
π-=-+,k Z ∈,即8x k π
π=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）由（1）,令222242k x k π
π
π
ππ-+≤-≤+,k Z ∈, 则388k x k π
πππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
； 当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间
20.如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上
(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ,求λμ+的值
(2)若2AB BC ==,当1AE BF ⋅=u u u r u u u r
时,求DF 的长
【答案】(1)
16
【解析】 【详解】（1）EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r
,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r ，又∵BC AD =u u u r u u u r ,CD AB =-u u u r u u u r ,∴1132EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ， 111326λμ+=-+=； （2）设(0)DF mDC m =>u u u r u u u r ，则()1CF m DC =-u u u r u u u r ，以AB u u u r ，AD u u u r 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又0AB AD ⋅=u u u u r u u u r
， ∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得23m =,故DF
的长为3
． 21.
已知(sin )a x x =r ,(cos ,cos )b x x =-r ,
函数()f x a b =⋅+r r . (1)求函数()f x 图象的对称轴方程;
(2)若方程1()3
f x =
在(0,)π上的解为12,x x ,求()12cos x x -的值. 【答案】（1）5122k x ππ=+,k Z ∈；（2）13 【解析】
【分析】
（1）化简()sin 23πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭,令232
x k πππ-=+,k Z ∈,进而求解即可； （2）设12x x <,由2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得12526123x x πππ<<<<,且1256x x π+=,则()1211155cos cos cos 266x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦,进而求解即可 【详解】（1）由题,
())
211sin cos sin 21cos 2sin 2222f x x x x x x x x =-=-+=- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭, 令232x k π
π
π-=+,k Z ∈,
则对称轴为:5122k x ππ=
+,k Z ∈ （2）由题,121sin 2sin 20333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 设12x x <,因为2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以12526123x x πππ<<<<, 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=
对称, 所以1256
x x π+=
, 所以 ()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663233x x x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
【点睛】本题考查平面向量的数量积,考查正弦型函数的对称性的应用,考查诱导公式的应用 22.已知函数()f x ,若存在实数,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立,则称函数()f x 为“可平衡”函数,有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.
(1)若m ,判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数,并说明理由;
(2)若12,m m R ∈且1,2m π⎛
⎫ ⎪⎝⎭,2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为2()sin f x x =的“可平衡”数对,当03
x π<<时,方程12m m a +=有两个不相等的实根,求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,理由见解析；（2）∅
【解析】
【分析】
（1）()()sin sin x x k x k =++-,2sin cos x x k =,即可求解；
（2）分别将“可平衡”数对代入可得2122cos sin x m x
=,221sin m x =,则122cos 241cos 2x m m a x ++==-,则可转化为4cos 22
a x a -=+有两个解,进而求解即可 【详解】（1）假设()sin f x x =是“可平衡”函数,则由题意应有
:
()()sin sin x x k x k =++-,
sin cos cos sin sin cos cos sin x x k x k x k x k =++-,
2sin cos x x k =,
则cos k =,所以2,6k n n Z ππ=±∈, 所以存在,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立, 所以()sin f x x =是“可平衡”函数
（2）由题,22221sin sin sin 2cos 22m x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 所以2122cos sin x m x
=； 又222222sin sin sin sin cos 14444m x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭, 所以221sin m x
=, 所以()22122222cos 12cos 1cos 222cos 241sin sin sin 1cos 21cos 22
x x x x m m a x x x x x ++++=+====--, 所以4cos 22a x a -=
+有两个解, 因为03
x π
<<,cos 2y x =单调递减, 故4cos 22
a x a -=+不存在两个解, 故a 的解集为∅
【点睛】本题考查和角公式的应用,考查倍角公式的应用,考查新定义的理解,考查运算能力。