第四章系统频率特性资料
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自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
第四章频率特性
第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。
问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。
频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。
设系统的传递函数为又设其中：的振幅为常值：正弦函数的角频率有一般地A（s），B（s）为s的多项式;为的极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。
（设系统无重极点）其中，待定，是的共扼复数，为待定系数。
由拉氏反变换可得：则输出信号的稳态分量：（对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有k个重极点，则在中将会出现象（j=0，1，2，……，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。
因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。
可按下式计算：（由留数公式）及其中为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明，是的偶函数是的奇函数证明：设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为：可见：线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。
其振幅是输入信号振幅R的倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移，同样是的函数，对确定的来说，振幅C及相移将是确定的。
综上：在正弦输入信号的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。
它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。
相对于输入信号r(t)的相移也是的函数，是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。
系统的频率特性分析
系统的型号:一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少 来对系统进行分类的方法
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总
非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2020/3/10
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2020/3/10
信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2020/3/10
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2020/3/10
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2020/3/10
信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
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信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
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信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
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信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
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信号与系统
幅频特性： 相频特性：
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信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
信息光学-----第4章 光学成像系统的频率特性
只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对Ul(x,y)进行相位变换。
§4-1 透镜的相位变换作用: 广义透镜
任何衍射屏，若其复振幅透过率可写为 的形式，都可看成一个焦距为 f 的透镜
exp
jk
x2 y2 2f
屏的复振幅透过率：
t ( x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar
2
)circ
U (x, y) c
t(x0 ,
y0 ) exp
j2p
x
lf
x0
y
lf
y0 dx0dy0
c'
t(x0, y0 )
fx
x lf
,
f
y
y lf
c'T ( fx,
f )y
f
x
x lf
,
f
y
y lf
只要照明光源和观察平面满足共轭关系，衍射场的复振幅分 布是物函数的准确的傅里叶变换。观察面上空间频率与位置
)
从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：
U l(x, y)
A0
jld0 0
t(x0 , y0 ) exp[ jk
x02 2( p
y02 ]exp[ d0 )
jk
(x
x0 )2 ( y' y0 )2 2d 0
]dx0 dy0
略去常数相位因子，Σ0为物函数所在的范围
P2 平面（紧靠透镜后）光场复振幅:
略去常数位相因子 透镜的复振幅透过率或相 位变换因子为：
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
频率特性分析
弹簧阻尼系统对正弦输入的稳态响应
例：机械系统如下图所示，k为弹簧刚度系数，c为阻尼系数， 当输入正弦力信号 f(t)=Fsinωt时，求位移x(t)的稳态输出。
解 该系统的传递函数为：
f(t)=Fsinωt
输入信号的拉氏变换为：
k
位移输出的拉氏变换为：
c
取拉氏反变换，位移输出为
如果系统稳定，频率响应包含二部分：瞬态响应和稳态响 应。瞬态响应不是正弦波，趋于0；稳态响应部分，是与 输入信号频率相同的正弦波，但幅值、相位不同。 所以稳态位移输出为：
10
0
10
1
10
2
2.积分环节
1 G(j) j
L() 20lg
1 20lg j
() 90
各型乃氏图的低频段
对于0型系统，当ω→∞时，幅角为-90°(m-n)
乃氏图的高频段
通常，机电系统频率特性分母的阶次 大于分子的阶次，故当 时，乃氏图 曲线终止于坐标原点处；而当频率特性分 母的阶次等于分子的阶次，当 时， 乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。 一般在系统频率特性分母上加极点， 使系统相角滞后；而在系统频率特性分子 上加零点，使系统相角超前。
当 当
ω=0
时， G(jω)= +∞∠−90°
ω = +∞时， G(jω)= 0∠−270°
其相角范围从-90º ~-270º ，因此必有与负实轴 的交点。
解方程G(j) 90º arctan() arctan(2) 180º
即
arctan(2) 90º arctan()
First-order components
4.一阶惯性环节
u ( )
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
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2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
第四章 频率特性分析
B( s)
(s p )
i i 1
n
A s
2 2
为简单起见，设G(s)的极点均为相异的极点，则将 Xo(s)的表达式进行部分分式分解，得
X o ( s)
i 1
n
bi s pi
n
a1 s j
a2 s j
xo (t ) bi e
i 1
pi t
变乘除运算为加减运算
Bode图的横坐标ω采用对数分度，单位rad/s 线性分度：
0 1 2 3 4 5 6 7
对数分度：
小结
纵坐标：L( ) 20 lg G( j ) 对数幅频特性图
（单位：分贝（dB），线性分度）
横坐标：频率ω Bode图
（单位：rad/s），对数分度）
纵坐标：G ( j ) 对数相频特性图
一、频率特性的图示方法（重点）
1.频率特性的Nyquist图（也叫极坐标图、幅 相频率特性图）
Nyquist图
把频率特性G(j ω)看作ω的复变函数
jG ( j )
G( j ) G( j ) e
u ( ) jv( )
虚频特性
实频特性
2 2
G( j ) u ( ) v ( ) G ( j ) arctan
j
112 0.4 10
3 3
实频特性u(ω)
虚频特性v(ω)
ω
u(ω)
v(ω)
0
20
-2.24
-1.93
-∞
-4.89
30
40
-1.64
-1.36
-2.75
-1.7
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
控制工程基础第4章 控制系统的频率特性
( ) G ( j ) arctanT
As 0， 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方 法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应： 系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时， 系统的稳态输出也是正弦信号，且其频率与输入信号的 频率相同，其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变 化。 当输入为非正弦的周期信号时，可将输入信号利用傅立 叶级数展开成正弦函数叠加的形式，系统的响应也是其 相应正弦函数响应的叠加 输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的 周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图
k
0
积分环节 比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为： 100（0.05s＋1） G（s）＝ s（0.1s＋1）（0.2s＋1） 试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10
第四章 系统的频率特性分析
61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
系统的频率特性分析
例4.3 一典型质量－弹簧－阻尼系统如图所示，系统输入 力f(t)为矩形波。f(t)=f(t-2T)，试求系统的输出位移x(t)。 解：系统的传递函数为
X (s) 1 2 F ( s ) ms Bs k
幅频特性
C( )= j 1
2 ( - m 2 ) + B 2 2 k
相频特性
B G( ) - arctan j = = ( ) 2 k - m
K （ 如图所示系统，传递函数为G s）＝ Ts＋1，求系统的
解：令 s＝j 则系统的频率特性为
K G j）＝ （ jT＋1
系统的幅频特性为
K K G j） （ ＝ ＝ jT＋ 1 1＋T 2 2
系统的相频特性为：
＝G j）＝－arctanT （
系统的稳态响应为：
（t）＝ c AK 1＋T 2 2 sin t－arctanT） （
jt
* jt
t e
k s jt
xi xi jG j xi s j s j G j G j e B Gs s j s j 2j 2j
xi xi jG j B G j G j e 2j 2j
1
4 单位负反馈系统的开环传递函数为 Gs ss 2
若输入信号为
xi t 2 sin 2t
试求系统的稳态输出和稳态误差。
4 G B s 2 s 2s 4
G j
G j
4 4 2 j 2
4
4
2 2
F j） （ X1 j）＝ （ K j） （
由频率响应可知，当系统输入为正弦信号时，系统 （ 输出为同频率正弦信号。显然要使 X1 j） 0 ,则应使 K j） （ k2 2 k2－m2 ＝0 = 2 m2 即当选择吸振器参数满足上式时，可使质量 m1 的振 幅为零，施加于 m1 的干扰被 m2 和 k2 吸收了，这就 是振动控制中的吸振器。
第四章 频率特性分析1
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
线性定常系统对谐波输入的响应为：
xo (t ) = A(ω ) sin[ωt + ϕ (ω )]
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如图4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形
9
例1
设系统的传递函数为G ( s) =
K Ts + 1
输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 得
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
控制工程基础第四章频率特性分析
20 0 -20 -40 10 -1 0 10 0 10 1
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
第四章频率特性的图示方法
K Ts 1
K jT 1 K KT j 1 T 2 2 1 T 2 2
2
频率特性：G( j )
幅频： G( j )
K 1T
2
相频： G(j)=－arctgT
K U 实频： ( ) 1 T 2 2
虚频：
V ( )
KT 1 T 2 2
2.典型环节的Bode图
(3)微分环节 G(s)=s G(j)=j
20lgG(j)＝ 20lg
G(j)= 90o
对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线
对数相频特性：过点（0，90o ）平行于横轴的直线
2.典型环节的Bode图
(4)惯性环节
令： T
1 T
1 G( s) Ts 1
T j T
G ( j )
1 G ( j ) 1 jT T G ( j ) 故： 2 T 2
G ( j ) arctg
T
2 对数幅频特性： 20 lg G ( j ) 20 lg T 20 lg T 2
低频段（ω<<ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB 高频段（ω>>ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lg 始于点（ωT ，0)， 斜率－20dB/dec的直线 ωT : 转角频率
(1)比例环节 G(s)=K G(j)=K
20lgG(j)＝20lgＫ；
G(j)=0o
G(j)=1/j
(2)积分环节
G(s)=1/s
20lgG(j)＝ 20lg 1/=
－ 20lg
G(j)= －90o
对数幅频特性：过点（1，0） 斜率－20dB/dec的直线
K jT 1 K KT j 1 T 2 2 1 T 2 2
2
频率特性：G( j )
幅频： G( j )
K 1T
2
相频： G(j)=－arctgT
K U 实频： ( ) 1 T 2 2
虚频：
V ( )
KT 1 T 2 2
2.典型环节的Bode图
(3)微分环节 G(s)=s G(j)=j
20lgG(j)＝ 20lg
G(j)= 90o
对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线
对数相频特性：过点（0，90o ）平行于横轴的直线
2.典型环节的Bode图
(4)惯性环节
令： T
1 T
1 G( s) Ts 1
T j T
G ( j )
1 G ( j ) 1 jT T G ( j ) 故： 2 T 2
G ( j ) arctg
T
2 对数幅频特性： 20 lg G ( j ) 20 lg T 20 lg T 2
低频段（ω<<ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB 高频段（ω>>ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lg 始于点（ωT ，0)， 斜率－20dB/dec的直线 ωT : 转角频率
(1)比例环节 G(s)=K G(j)=K
20lgG(j)＝20lgＫ；
G(j)=0o
G(j)=1/j
(2)积分环节
G(s)=1/s
20lgG(j)＝ 20lg 1/=
－ 20lg
G(j)= －90o
对数幅频特性：过点（1，0） 斜率－20dB/dec的直线
4 系统的频率特性响应-2(Nyquist)
G开 ( j ) arctgT1 arctgT2
当＝0时， G开 ( j 0) K , G开 ( j 0) 00 当＝时， G开 ( j) 0, G开 ( j) 1800
16
＝
K T1T2 T1 T2
＝0
曲线与虚轴相交时，相角为90度
arctgT1 arctgT2 900
当当逐渐增长至逐渐增长至时频率特时频率特作为一个矢量其端点在复平作为一个矢量其端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标极坐标图极坐标图也称为曲线曲线
控制工程基础
主讲人：李金平 lijp@ 长安大学工程机械学院
第四章 控制系统的频率特性
4.1 系统频率特性的概念 4.2 频率特性图示方法1：极坐标图（Nyquist图） 4.2频率特性图示方法2：对数坐标图（Bode图） 4.3 频率特性的特征量
20lg G1G2 20lg G1 20lg G2
若系统增加一个积分环节（1型系统） 则
G开 ( s ) K s(T1 s 1)(T2 s 1)
K
G开 ( j )
2T1 2 1 2T2 2 1
G开( j ) 900 arctgT1 arctgT2
2 2
1 T 2T
2
j
1 T 2T
2 2 2
2
2T
2
G j
1
1 T 2 T
2 2 2
2 T 1 arctan 1 T 2 2 T G j 1 180 arctan 2 T 2 2 1 T T
作业
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一、代数解析式
频率特性
( j) A()e j() P() jQ()
幅频特性
A() ( j) P2 () Q2 ()
相频特性
() arctg Q() P()
Im
P()
( )
A()
Re
Q()
( j)
二、图形表示法
1. 极坐标图
它是将 A() 和 () 同时表示在复平面上，向量逆时针方向
的
一倍频程是不均匀的， 十倍频程是均匀的！
L(ω)=20lgA(ω)/dB
40
-20dB/dec
20
0 0.1
-20
-40
-40dB/dec
1
10 ω
-20dB/dec
0 0.1
-90
-180
1
10 ω
§4.2 典型环节的频率特性
系统的传递函数可以看成是由若干个典型环节组成的。
一、比例环节的频率特性 传递函数为 (s) Y (s) K R(s)
X 是输入信号的振幅
信号输入： r(t) X sin(t)
稳态输出： y(t) ( j) X sin(t ( j))
稳态输出的振幅 幅频特性 =
Y ( j)
输入信号的振幅 X
相频特性 = 稳态输出的相位－输入信号的相位
( j)
频率特性 = ( j) ( j) e j( j) 相频特性
转过的角为正角度，顺时针方向转过的角度为负角度。(0 ) 时频率特性的向量端点运动轨迹。
Im
( ) A()
Re
0
( j)
奈奎斯特 (N.Nyquist)在 1932年基于极坐 标图阐述了反馈 系统稳定性
奈奎斯特曲线， 简称奈氏图
2. 幅、相频率特性
它是将 A() 和 () 分别表示在以ω 为横坐标，以 A() 或 () 为纵坐标的平面上。
其拉氏变换
R(s)
X s2 2
A1
s j
A2
s j
则系统输出为
Y
(s)
(s)R(s)
(s
s1 )( s
M (s) s2 ) (s
sn
)
X s2 2
Y (s) A1 A2 B1 B2 Bn
s j s j s s1 s s2
s sn
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
第四章 频率特性分析法
第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的频率特性 第三节 系统的对数频率特性 第四节 频域性能指标及其与时域性能 指标的关系 第五节 频率实验法估计系统的数学模型
频域分析法也是一种常用的图解分析法能， 利用频率特性研究线性系统的经典方法。
☆图形绘制方便简单，并且形象直观和计算量 少的特点。如对高阶系统的稳定性分析是通过开 环频率特性确定的，不必求解特征方程。
幅频特性
[注意] 频
比较 系统频率特性 ( j) 系统传递函数 (s)
(s) s j
( j)
( j) e j( j)
A()e j()
频率特性是 s=jω 时的传递函数,是传递函数的特例!
r(t), y(t)
XY
输入信号
稳态 输出
t
★频率特性研究的是系统 稳态输出对不同频率的正 弦输入信号在幅值和相位 上的传递关系；
y(t) X ( j) e j( j) e jt X ( j) e j( j) e jt
2j
2j
( j) X e jt( j) e jt( j)
2j
( j) X sin(t ( j))
e j e j sin
2j
Y sin(t ( j))
这里 Y ( j) X 为输出稳态值的振幅
§4.1 频率特性的基本概念
一、频率特性的概念
频率特性就是系统（或元件）对不同频率正弦输 入信号的响应特性。
二、频率特性的定义
设系统的传递函数为
(s) Y (s) M (s)
M (s)
R(s) N (s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
已知输入 r(t) X sin(t)
(s
j)
s j
(
j)
X 2j
由于 ( j) 是一个复数向量，因而可表示为
( j) ( j) e j( j)
( j) ( j) ( j) ( j)
而 ( j) 是偶函数， ( j) 是奇函数，所以
A1
(
j)
e
j(
j )
X 2j
A2
(
j) e j( j)
X 2j
y(t) A1e jt A2e jt
正弦输入下的系统响应为
n
y(t) ( A1e jt A2e jt ) Biesit
i1
系统稳定，当 t →∞ 时： y(t) A1e jt A2e jt
y(t) A1e jt A2e jt
A1
(s)
(s
X j)(s
(s
j)
j)
s j
(
j)
X 2j
A2
(s)
(s
X j)(s
j)
代入 s j ( j) K Ke j0
频率特性
幅频特性、对数幅频特性
A() K L() 20lg K
相频特性、对数相频特性
() 00
L()
40
20
0 0.1
Im
1
10
20Klg K Re
100
( )
0 45°
1
10
100
90°
奈Bo氏de图图
二、积分环节的频率特性
传递函数为 (s) Y (s) 1 R(s) s
★系统能否将特定频率信 号不失真的传递过去，决 定于系统的性能。
[例]变压器绕组变形测试仪
系统
1 变压1器绕组10
s
s2
s3
信号发生器 A/D采样
测试仪
DSP 控制电路
电源电路
A/D采样 通讯电路
频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部 动态结构参数，能够反映了系统的固有特性。
频率特性的表示方法
☆频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 验的方法来确定元部件或系统的数学模型，在工 程中具有重要的实际意义。
☆频率响应法不仅适用于线性定常系统，也适 用于非线性定常系统。对抑制噪声要求较高的系 统，此方法能够提供比较理想的设计方案。
本章需要掌握的主要内容：
（1）典型环节的频率特性 （2）系统开环频率特性的绘制 （3）利用频率特性分析系统的稳定性 （4）系统的稳态性能与动态性能分析 （5）实验法求取元件或系统的数学模型
A()
ω单位为弧度/秒
A() 无量纲
( )
() 单位为度
3. 对数幅、相频率特性——Bode图
纵坐标
幅频： L() 20lg A() 单位：分贝（dB）
相频：
()
单位：度
横坐标 以 lg 来分度，标注 ω ，单位：弧度/秒（rad/s)
均
(lg )
匀
0.1 0.2 0.3 … 1 2 3 … 10 20 30 … 100 200 …
频率特性
( j) A()e j() P() jQ()
幅频特性
A() ( j) P2 () Q2 ()
相频特性
() arctg Q() P()
Im
P()
( )
A()
Re
Q()
( j)
二、图形表示法
1. 极坐标图
它是将 A() 和 () 同时表示在复平面上，向量逆时针方向
的
一倍频程是不均匀的， 十倍频程是均匀的！
L(ω)=20lgA(ω)/dB
40
-20dB/dec
20
0 0.1
-20
-40
-40dB/dec
1
10 ω
-20dB/dec
0 0.1
-90
-180
1
10 ω
§4.2 典型环节的频率特性
系统的传递函数可以看成是由若干个典型环节组成的。
一、比例环节的频率特性 传递函数为 (s) Y (s) K R(s)
X 是输入信号的振幅
信号输入： r(t) X sin(t)
稳态输出： y(t) ( j) X sin(t ( j))
稳态输出的振幅 幅频特性 =
Y ( j)
输入信号的振幅 X
相频特性 = 稳态输出的相位－输入信号的相位
( j)
频率特性 = ( j) ( j) e j( j) 相频特性
转过的角为正角度，顺时针方向转过的角度为负角度。(0 ) 时频率特性的向量端点运动轨迹。
Im
( ) A()
Re
0
( j)
奈奎斯特 (N.Nyquist)在 1932年基于极坐 标图阐述了反馈 系统稳定性
奈奎斯特曲线， 简称奈氏图
2. 幅、相频率特性
它是将 A() 和 () 分别表示在以ω 为横坐标，以 A() 或 () 为纵坐标的平面上。
其拉氏变换
R(s)
X s2 2
A1
s j
A2
s j
则系统输出为
Y
(s)
(s)R(s)
(s
s1 )( s
M (s) s2 ) (s
sn
)
X s2 2
Y (s) A1 A2 B1 B2 Bn
s j s j s s1 s s2
s sn
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
第四章 频率特性分析法
第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的频率特性 第三节 系统的对数频率特性 第四节 频域性能指标及其与时域性能 指标的关系 第五节 频率实验法估计系统的数学模型
频域分析法也是一种常用的图解分析法能， 利用频率特性研究线性系统的经典方法。
☆图形绘制方便简单，并且形象直观和计算量 少的特点。如对高阶系统的稳定性分析是通过开 环频率特性确定的，不必求解特征方程。
幅频特性
[注意] 频
比较 系统频率特性 ( j) 系统传递函数 (s)
(s) s j
( j)
( j) e j( j)
A()e j()
频率特性是 s=jω 时的传递函数,是传递函数的特例!
r(t), y(t)
XY
输入信号
稳态 输出
t
★频率特性研究的是系统 稳态输出对不同频率的正 弦输入信号在幅值和相位 上的传递关系；
y(t) X ( j) e j( j) e jt X ( j) e j( j) e jt
2j
2j
( j) X e jt( j) e jt( j)
2j
( j) X sin(t ( j))
e j e j sin
2j
Y sin(t ( j))
这里 Y ( j) X 为输出稳态值的振幅
§4.1 频率特性的基本概念
一、频率特性的概念
频率特性就是系统（或元件）对不同频率正弦输 入信号的响应特性。
二、频率特性的定义
设系统的传递函数为
(s) Y (s) M (s)
M (s)
R(s) N (s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
已知输入 r(t) X sin(t)
(s
j)
s j
(
j)
X 2j
由于 ( j) 是一个复数向量，因而可表示为
( j) ( j) e j( j)
( j) ( j) ( j) ( j)
而 ( j) 是偶函数， ( j) 是奇函数，所以
A1
(
j)
e
j(
j )
X 2j
A2
(
j) e j( j)
X 2j
y(t) A1e jt A2e jt
正弦输入下的系统响应为
n
y(t) ( A1e jt A2e jt ) Biesit
i1
系统稳定，当 t →∞ 时： y(t) A1e jt A2e jt
y(t) A1e jt A2e jt
A1
(s)
(s
X j)(s
(s
j)
j)
s j
(
j)
X 2j
A2
(s)
(s
X j)(s
j)
代入 s j ( j) K Ke j0
频率特性
幅频特性、对数幅频特性
A() K L() 20lg K
相频特性、对数相频特性
() 00
L()
40
20
0 0.1
Im
1
10
20Klg K Re
100
( )
0 45°
1
10
100
90°
奈Bo氏de图图
二、积分环节的频率特性
传递函数为 (s) Y (s) 1 R(s) s
★系统能否将特定频率信 号不失真的传递过去，决 定于系统的性能。
[例]变压器绕组变形测试仪
系统
1 变压1器绕组10
s
s2
s3
信号发生器 A/D采样
测试仪
DSP 控制电路
电源电路
A/D采样 通讯电路
频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部 动态结构参数，能够反映了系统的固有特性。
频率特性的表示方法
☆频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 验的方法来确定元部件或系统的数学模型，在工 程中具有重要的实际意义。
☆频率响应法不仅适用于线性定常系统，也适 用于非线性定常系统。对抑制噪声要求较高的系 统，此方法能够提供比较理想的设计方案。
本章需要掌握的主要内容：
（1）典型环节的频率特性 （2）系统开环频率特性的绘制 （3）利用频率特性分析系统的稳定性 （4）系统的稳态性能与动态性能分析 （5）实验法求取元件或系统的数学模型
A()
ω单位为弧度/秒
A() 无量纲
( )
() 单位为度
3. 对数幅、相频率特性——Bode图
纵坐标
幅频： L() 20lg A() 单位：分贝（dB）
相频：
()
单位：度
横坐标 以 lg 来分度，标注 ω ，单位：弧度/秒（rad/s)
均
(lg )
匀
0.1 0.2 0.3 … 1 2 3 … 10 20 30 … 100 200 …