高考数学(文)一轮复习课件：8.6 椭圆(广东专版)

主 1．椭圆的定义
高 考
落
体
实 ·
平面内到两定点F1、F2的距离的和 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
验 ·
固
明
基 础
(或集合)叫椭圆．
考 情
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，
典 c为常数；
例
课
探 究
(1)若2a＞|F1F2| ，则集合P为椭圆；
验 ·
固
明
基 大小关系？与方程有怎样的关系？
考
础
情
【提示】 当点 P 落在椭圆外时，|PF1|＋|PF2|＞2a，ax202＋yb202＞1；
典 例 探
当点 P 落在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，ax202＋by202＝1；
课 时
究
知
·
能
提 知 能
当点 P 落在椭圆内时，|PF1|＋|PF2|＜2a，ax202＋yb202＜1.
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自
高
主
考
落
体
实
验
·
·
固
明
基 础
第六节椭 圆
考 情
典
例
课
探
时
究
知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
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自
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自
【尝试解答】 (1)由已知得 c＝2 2，ac＝ 36，解得 a＝2 3.
高
主
落
又 b2＝a2－c2＝4，
考 体
实
验
· 固 基
所以椭圆 G 的方程为1x22 ＋y42＝1.
· 明 考
础
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m
情
典 例
y＝x＋m， 由1x22 ＋y42＝1，
自
所以 PE⊥AB，
高
主 落 实 · 固 基
所以 PE 的斜率 k＝－23－＋m434m＝－1，
考 体 验 · 明 考
础
解得 m＝2.
情
此时方程①为 4x2＋12x＝0.
解得 x1＝－3，x2＝0，
典 例
所以 y1＝－1，y2＝2. 所以|AB|＝3 2，
课
探 究
此时，点 P(－3,2)到直线 AB：x－y＋2＝0 的距离 d＝|－3－2＋2|
明 考 情
故离心率越接近 1，椭圆越扁；离心率越接近 0，椭圆就越接近于圆．
典
例
课
探
时
究
知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
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自
2．对于椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1，F2 为其左、右焦点．当点
高
主
考
落
体
实 ·
P(x0，y0)落在椭圆外、椭圆上、椭圆内时，|PF1|＋|PF2|与 2a 有怎样的
【尝试解答】 (1)∵x＝1 是圆 x2＋y2＝1 的一条切线，
自 主 落 实
∴椭圆的右焦点为(1,0)，即 c＝1，设 P(1，12)，则 kOP＝12，
高 考
∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线 AB 的方程为 y＝－2(x－1)，它
体 验
· 固
与 y 轴的交点为(0,2)，∴b＝2.
基 础
∴a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x52＋y42＝1.
能 训
知
练
能
菜单
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自
3．(2012·广州模拟)椭圆1x22 ＋y32＝1 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆
高
主
考
落 实
上，如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标是________．
体 验
·
·
固
明
基 础
【解析】 设椭圆的另一个焦点为 F2，由题意知 F2P 垂直于 x
例
课
探
【解析】 若椭圆的焦点在 x 轴上，则 a＝3，从而 b＝1，椭圆
时
究 · 提
方程为x92＋y2＝1，若椭圆的焦点在 y 轴上，则 b＝3，从而 a＝9，椭
知 能 训
知 能
圆方程为8y12 ＋x92＝1.
练
【答案】 D
菜单
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2．已知 F1、F2 为椭圆1x62 ＋y42＝1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭
体 验 ·
固 基 础
12)作圆 x2＋y2＝1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆
明 考 情
的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
(2)已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为
典 例
椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________.
B．3
C．6
D．8
验
·
·
固 基
【解析】 由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设 P(x，y)，
明 考
础
则O→P＝(x，y)，F→P＝(x＋1，y)，
情
∴O→P·F→P＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x，
典
又∵x42＋y32＝1，
例 探 究
∴y2＝3－34x2，
课 时 知
· 提
∴O→P·F→P＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，
高 考
落
体
实
· 固
【解】 由本例(2)知，b＝3，|PF1|·|PF2|＝18，
验 · 明
基
考
础
∴ |PF1|＋ |PF2|≥2 |PF1||PF2| ＝ 2 18 ( 当 且仅 当 |PF1|＝ |PF2|＝
情
18时取“＝”)，
典 例
即|PF1|＋|PF2|的最小值为 2 18，此时 a＝ 18，
时 知
·
能
提 知
(2)若2a＝|F1F2| ，则集合P为线段；
训 练
能
(3)若 2a＜|F1F2| ，则集合P为空集．
菜单
2．椭圆的标准方程和几何性质
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
时 知
·
2
能
提 知 能
＝32 2，
训 练
所以△PAB 的面积 S＝12|AB|·d＝92.
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
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自 主
(2012·佛山质检)设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，过
明 考 情
以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(－3，2)．
典
(1)求椭圆 G 的方程；
例
课
探
时
究 ·
(2)求△PAB 的面积．
知 能
提 【思路点拨】 (1)根据离心率和右焦点坐标直接求出a、b.
训
知
练
能
(2)设出直线l的方程，表示出线段AB的中点E的坐标，利用PE⊥AB，
求出直线l的方程．
菜单
验 ·
固
明
基 础
由2c＝2，得c＝1，∴4－k＝1，得k＝3；
考 情
焦点在y轴上时，∵a2＝k，b2＝4，
典
由2c＝2，得c＝1，∴k－4＝1，得k＝5.
例
课
探 究
【答案】 3或5
时 知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
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自
高
主
考
落 实 ·
(1)(2011·江西高考)若椭圆ax22＋by22＝1 的焦点在 x 轴上，过点(1，
训 练
菜单
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自
1．(教材改编题)若椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 P(3,0)， 高
主 落 实 ·
则椭圆的标准方程是( A.x92＋y2＝1
)
考 体 验 ·
固 基 础
B．x2＋y92＝1
明 考 情
C.x92＋y2＝1 或 x2＋y92＝1
典
D.x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1
高 考
落
体
实 ·
F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，
验 ·
固 基
A→F＝2F→B.
明 考
础
情
(1)求椭圆 C 的离心率；
(2)如果|AB|＝145，求椭圆 C 的方程．
典
例
【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y1＜0，y2＞0.
能 训
知 能
∵－2≤x≤2，∴当 x＝2 时，O→P·F→P有最大值 6.
练
【答案】 C
菜单
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自 主 落 实
(2011·北京高考)已知椭圆 G：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为
高 考 体
验
·
·
固 基 础
36，右焦点为(2 2，0)．斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
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自
若点 O 和点 F 分别为椭圆x42＋y32＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭
高
主 落
圆上的任意一点，则O→P·F→P的最大值为(
)
考 体
实
A．2
能 训
练
能
入椭圆求 a，b 的值→写出椭圆方程．
菜单
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【尝试解答】 (1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
自
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
高
主 落
∴2a2＝4c2，
实 · 固 基
∴a＝
2c，∴e＝ac＝
2 2.
(2)由题知 A(0，b)，F2(1,0)，设 B(x，y)，
知 能 训
知
练
能
【答案】 (1)x52＋y42＝1 (2)3,
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
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自 主
若本例(2)的所有条件不变，求使|PF1|＋|PF2|最小时椭圆的方程．
课
探
时
究
【思路点拨】 (1)过圆外一点作圆的两条切线，这点和圆心的
知
· 提
连线与过切点的直线垂直，从而直线 AB 的方程可求．
能 训
知 能
(2)利用||PPFF11||＋ 2＋|P|PFF22|＝|2＝2a4，c2 ，可求 b.
练
|PF1|·|PF2|＝18，
菜单
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· 明 考 情
(2)由题意知||PPFF11||＋ 2＋|P|PFF22|＝|2＝2a4，c2，
① ②
典
|PF1|·|PF2|＝18， ③
例 探
把①平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，
课 时
究 ·
把②、③代入上式得 4c2＋36＝4a2，
提
∴a2－c2＝9，即 b2＝9，∴b＝3.
考
情
轴，不妨设 P(3，y0)，则有192＋y320＝1，∴y0＝± 23，
典
例 探 究
∴点
M
的纵坐标为±
3 4.
课 时 知
·
能
提 知 能
【答案】
3 ±4
训 练
菜单
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自 主
4．椭圆x42＋yk2＝1 的焦距为 2，则 k＝________.
高 考
落
体
实 ·
【解析】 焦点在x轴上时，∵a2＝4，b2＝k，
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
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自
高
主 落
1．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
考 体
实
验
·
·
固 基 础
【提示】 a 和 b 分别是椭圆长半轴长和短半轴长，ba＝ 1－e2.
课
探
时
究 · 提
椭圆方程为1x82 ＋y92＝1.,
知 能 训
知
练
能
菜单
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自 主 落
如图 8－6－1，已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，
高 考 体
实
验
· 固
F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，
· 明
基 础
直线 AF2 交椭圆于另一点 B.
考 体 验 · 明 考
础
由A→F2＝2F→2B，
情
解得 x＝32，y＝－b2，
9 b2
典 例 探
代入ax22＋by22＝1，得a42＋b42＝1，
课 时
究 · 提
即49a2＋14＝1，解得 a2＝3，
知 能 训
知 能
∴b2＝a2－c2＝2. 所以椭圆方程为x32＋y22＝1.,
练
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
自
高
主
落 圆于 A、B 两点．若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝________.
考 体
实
验
·
·
固
基
【解析】 如图，由椭圆的定义可知：
明 考
础
情
|F1A|＋|F2A|＝2a＝8，
典
|F1B|＋|F2B|＝2a＝8，
例 探
∴|AB|＝16－|F2A|－|F2B|＝6.
课 时
究
知
· 提
【答案】 6
考 情
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为 2，且A→F2＝2F→2B，求椭圆的方程． 图8－6－1
典
例 探
【思路点拨】 由△AF1F2 为等腰直角三角形找 a，c 的等量关
课 时
究
知
· 提 知
系→计算 e＝ac；利用A→F2＝2F→2B把点 B 的坐标用点 A(0，b)表示→代
得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①